早稲田大学 1996年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは、藤原進之介です！

今回は、早稲田大学 1996年度の数学過去問について、徹底解説していきます。

この大学は入試数学の難関校として知られていますが、「解法パターンを理解して丁寧に計算すれば絶対に解ける」という特徴があります。この記事を読めば、早稲田の数学がどんな傾向で、どの単元が頻出で、どうやって対策すればいいのか、すべてがわかりますよ！

大丈夫、一緒にやっていきましょう。

早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式と特徴

早稲田大学の数学試験は、以下の特徴があります：

• 大問数：5問（理工・教育・人科・社学など学部によって異なる）
• 試験時間：通常60～90分
• 難易度：標準～やや難
• 出題範囲：数I～数III、確率・統計、ベクトル、行列など幅広い

最大の特徴は、「問題数が多く時間配分が重要」という点です。これは、ちょうど料理のレシピを時間制限の中で完成させるようなもの。全部を完璧に仕上げようとすると時間切れになってしまいます。そこで必要なのは、「どの料理を優先するか」「どこを簡略化するか」という戦略なんです。

先生と生徒の対話

🧑 生徒：「先生、早稲田の数学って時間が足りなくなるって聞いたんですが、どうしたら良いですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。実は「全問を解く」というのは目標じゃないんだ。大事なのは各大問で部分点をいかに稼ぐかということ。特に（1）や（2）の基本問は絶対に落としちゃダメ。その代わり難しい問題は一度飛ばしておいて、時間が余ったら戻るくらいの気持ちでいいんだ。」

1996年度 全問題と解説

大問Ⅰ（理工学部） — 微分方程式と積分方程式

【問題文】

関数 $y(t)$ は等式

をみたすものとする。ただし、$a$ は定数である。次の各問に答えよ。

（1）$(\ast)$ を微分することにより、$y(t)$ がみたす微分方程式を求めよ。

（2）$y(t)$ を求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：Leibniz積分則を使って右辺を微分する
• ステップ②：微分方程式 $y' + ay = ae^{-at}$ を得る
• ステップ③：1階線形微分方程式の標準形として解く

【解説】

この問題は、積分方程式から微分方程式を導くという重要な技法を問うています。

（1）左辺を微分します：

右辺を微分するにはLeibniz積分則（ライプニッツルール）を使います：

を $t$ について微分すると：

元の等式より $\int_0^t e^{-a(t-s)} y(s) \, ds = y(t) - 1$ なので：

あるいは整理して $\boxed{y' - (1-a)y = -a}$ となります。

（2）これは1階線形微分方程式です。

標準形 $y' + ay = b$ の形に直すと：

積分因子を $\mu(t) = e^{(1-a)t}$ として両辺に掛けます：

左辺は $\frac{d}{dt}\left[e^{(1-a)t}y(t)\right]$ になるので：

両辺を積分すると：

$t=0$ のとき、元の等式から $y(0) = 0 + 1 = 1$ なので：

したがって：

あるいは $y(t) = \frac{a + (1-2a)e^{-(1-a)t}}{1-a}$ と書けます。

🧑 生徒：「Leibniz積分則がなぜこうなるのか、もう一度教えてもらえますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だ。これはパラメータを含む積分の微分という重要な定理だね。上端が $t$ で変わるから、その部分が微分されるんだ。料理で例えるなら、鍋に入っている材料（$0$ から $t$ までの範囲）を時間ごとに増やしていく時、全体の量がどう変わるかを計算するようなもの。新しく入った材料（$y(t)$ の部分）と、既に入っている材料が熱を受けて変わる部分（積分の中の偏微分）の両方を足す必要があるんだ。」

大問Ⅱ（理工学部） — 円上の点の列と距離

【問題文】

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ について $f(P) = (\cos 2\theta, \sin 2\theta)$ とする。$0 \le \alpha \le \pi$ なる $\alpha$ に対して $P_0 = (\cos\alpha, \sin\alpha)$、$P_{n+1} = f(P_n)$ により、点の列 $P_0, P_1, P_2, \ldots$ を定める。また、$A = (1, 0)$ とおく。次の各問に答えよ。

（1）$|P_1A| \ge \sqrt{3}$ となる $\alpha$ の範囲を求めよ。

（2）初めて $|P_n A| \ge \sqrt{3}$ となる $n$ ($n \ge 0$) の値が 2 である $\alpha$ の範囲を求めよ。

（3）$\alpha \ne 0$ のとき、$|P_n A| \ge \sqrt{3}$ となる $n$ ($n \ge 0$) が存在することを示せ。

【解法ポイント】

• ステップ①：点 $P_n$ の座標を極角で表現し、$P_nA$ の距離公式を立てる
• ステップ②：$|P_nA|^2 = 2 - 2\cos(2^n\alpha)$ という形に整理する
• ステップ③：$|P_nA| \ge \sqrt{3}$ ⟺ $\cos(2^n\alpha) \le -\frac{1}{2}$ という不等式を解く

【解説】

（1） $P_0 = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ なので、$P_1 = f(P_0) = (\cos 2\alpha, \sin 2\alpha)$ です。

点 $P_1$ と $A = (1, 0)$ の距離は：

$|P_1A| \ge \sqrt{3}$ であるから：

$0 \le \alpha \le \pi$ より $0 \le 2\alpha \le 2\pi$ であり、$\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ は $\frac{2\pi}{3} \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$ のとき成り立ちます。

したがって：

（2） 初めて条件を満たすのが $n=2$ ということは、$|P_0A| < \sqrt{3}$ かつ $|P_1A| < \sqrt{3}$ かつ $|P_2A| \ge \sqrt{3}$ を満たす必要があります。

$P_2 = (\cos 4\alpha, \sin 4\alpha)$ なので、同様に：

$0 \le \alpha \le \pi$ より $0 \le 4\alpha \le 4\pi$ であり、$\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ は：

ここで $|P_0A| < \sqrt{3}$ ⟺ $\cos\alpha > -\frac{1}{2}$ ⟺ $0 \le \alpha < \frac{2\pi}{3}$

$|P_1A| < \sqrt{3}$ ⟺ $\cos 2\alpha > -\frac{1}{2}$ ⟺ $0 \le \alpha < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \alpha \le \pi$

これらの条件を満たすのは：

（3） $\alpha \ne 0$ のとき、角度 $2^n\alpha$ は $\bmod 2\pi$ で無理数比を形成するため、任意に大きな $n$ について $2^n\alpha$ の値が密に分布します。特に、$\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ を満たす区間（例：$[\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$）に無限に多くの $2^n\alpha$ が入り込みます。したがって、ある $n$ について $|P_nA| \ge \sqrt{3}$ となる $n$ が存在します。 ✓

大問Ⅲ（理工学部） — 確率と漸化式

【問題文】

AとBの二人が以下のゲームを行なおう。表の出る確率が $p$ ($0 < p < 1$)、裏の出る確

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう

情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！

LINEに登録すると受け取れる特典 🎁

• ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
• ✅ 入試傾向の最新分析レポート
• ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
• ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから

👉 プレゼント付き公式LINE ▶ 今すぐ登録（無料）

数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう

藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！

👉 数強塾オンライン公式サイト（sukyojuku.com）