広島大学 2001年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で広島大学数学を完全制覇しよう！

広島大学 2001年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、広島大学2001年度の数学問題を全大問にわたって丁寧に解説します。

この記事を読むと、次の3つが得られます：

• ✅ 広島大学数学の出題傾向と対策が完全にわかる
• ✅ 全大問の解法ステップを基礎から丁寧に理解できる
• ✅ 合否を分けたポイントと得点戦略が明確になる

僕が常に言っていることですが、「数学は暗記科目じゃない」。なぜそうなるのかを理解した瞬間、問題は一気に解けるようになります。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

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セクション1：広島大学の数学 — 入試の全体像

試験形式・時間・配点

広島大学の理系数学（一般入試前期日程）は、試験時間120分・大問5題が標準的な形式です。問題は記述式が中心で、計算の過程や論述も含めて採点されます。各大問は複数の小問に分かれており、誘導形式で解き進めていく構成が特徴的です。

項目	内容
試験時間	120分
大問数	5題（理系）/ 4題（文系）
解答形式	記述式（論述含む）
難易度	標準〜やや難（偏差値60〜65帯）

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学は旧帝大に次ぐ地方国立大学の雄として、偏差値55〜65帯に位置します。求められる数学力は「標準問題を確実に解ける力＋典型問題をアレンジして解く思考力」です。東京大学や京都大学のように特殊な発想力は不要ですが、公式の丸暗記だけでは絶対に通用しないのが広島大学数学の特徴です。

過去10年の出題傾向まとめ

単元	出題頻度	重要度
微分・積分	★★★★★	最重要
ベクトル・図形	★★★★☆	重要
確率	★★★★☆	重要
数列・漸化式	★★★☆☆	頻出
三角関数	★★★☆☆	頻出
対数・指数	★★★☆☆	頻出
複素数平面（旧課程）	★★★☆☆	旧課程では頻出
行列（旧課程）	★★★☆☆	旧課程では頻出

他大学との違い・広島大学数学の本質

東大数学は「見たことのない問題に対して考え抜く力」を試しますが、広島大学数学は「標準的な公式・定理を正しく使いこなす力」を試します。阪大が計算の重さで受験生を苦しめるのに対して、広島大学は計算量は控えめながら、論理的な記述を求める問題が多いのが特徴です。

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🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな単元が一番よく出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学で一番出るのは微分・積分だね。特に面積計算では $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ の公式を使う問題や、回転体の体積 $V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$ を求める問題が定番だよ。次いでベクトルと確率が頻出で、この3分野で試験の大部分が構成されることが多いんだ。まずこの3分野を完璧にすることが広島大学合格への最短ルートだよ！」

広島大学の数学は「基礎の積み上げ」が最大の対策です。焦らずに一歩ずつ進みましょう！

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セクション2：2001年度 出題テーマ速報と分析

2001年度 大問別テーマ一覧

大問1（文理共通型・標準問題5題構成）

小問	テーマ	難易度
【1】(1)(2)(3)	対数・指数不等式と最大値	★★★☆☆
【2】(1)(2)(3)	放物線と直線の面積・接線条件	★★★★☆
【3】(1)(2)(3)	三角関数の最大・最小	★★★☆☆
【4】(1)(2)(3)	ベクトルと内積・角度	★★★☆☆
【5】(1)(2)(3)	確率（割り切れる事象）	★★★☆☆

大問2（ハイレベル問題6題構成）

問	テーマ	難易度
[1]	複素数平面・正三角形	★★★★★
[2]	極方程式・回転体の体積	★★★★☆
[3]	数列の漸化式・極限	★★★★☆
[4]	行列の性質・証明	★★★★☆
[5]	積分方程式・微分	★★★★★
[6]	確率の漸化式・無限級数	★★★★★

難易度評価と得点戦略

2001年度の広島大学数学は、大問1が標準〜やや難のバランスの良い構成、大問2が難関大レベルの骨太な問題群となっています。合格ラインは大問1で7割以上、大問2で3〜4割を確保することが目安です。

特に大問2の[5]（積分方程式）と[6]（確率の漸化式）は最難関レベルで、これらが完答できれば大きなアドバンテージになります。

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セクション3：全大問 完全解説

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大問1-【1】対数・指数不等式と最大値（難易度★★★☆☆）

問題文

(1) 次の不等式を満たす $x$ の範囲を求めよ。
$$\log_3(x-7) + \log_3(x-5) \leq 1$$

(2) 次の不等式を満たす $y$ の範囲を求めよ。
$$9^y - 8 \cdot 3^y - 9 \leq 0$$

(3) $x, y$ がそれぞれ (1), (2) の範囲を動くとき、$\log_2 x + 2^y$ の最大値を求めよ。

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使う公式・定理

公式名	内容
対数の積の法則	$\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$
対数不等式の解法	底 $a>1$ のとき $\log_a f(x) \leq k \Rightarrow f(x) \leq a^k$
置換による指数不等式	$t = 3^y$ と置いて2次不等式に帰着
単調増加関数の最大値	定義域の最大点で最大値をとる

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(1) の解法ステップ

ステップ① 真数条件を確認する：
$$x - 7 > 0 \quad \text{かつ} \quad x - 5 > 0$$
$$\therefore \quad x > 7$$

ステップ② 対数の積の法則を使って左辺を整理する：
$$\log_3\{(x-7)(x-5)\} \leq 1$$

ステップ③ 底3は1より大きいので不等式の向きは変わらない。$\log_3 3 = 1$ なので：
$$（x-7)(x-5) \leq 3$$
$$x^2 - 12x + 35 \leq 3$$
$$x^2 - 12x + 32 \leq 0$$
$$(x-4)(x-8) \leq 0$$
$$4 \leq x \leq 8$$

ステップ④ ステップ①の真数条件 $x > 7$ と合わせる：
$$\boxed{7 < x \leq 8}$$

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(2) の解法ステップ

ステップ① $t = 3^y$（$t > 0$）と置換する。$9^y = (3^2)^y = (3^y)^2 = t^2$ なので：
$$t^2 - 8t - 9 \leq 0$$

ステップ② 因数分解する：
$$(t-9)(t+1) \leq 0$$
$$-1 \leq t \leq 9$$

ステップ③ $t = 3^y > 0$ という条件があるので：
$$0 < t \leq 9$$
$$3^y \leq 9 = 3^2$$

ステップ④ 底3は1より大きいので：
$$y \leq 2$$

$3^y > 0$ は常に成立するので、制約は $y \leq 2$ のみ。

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(3) の解法ステップ

ステップ① $7 < x \leq 8$、$y \leq 2$ の範囲で $\log_2 x + 2^y$ の最大値を求める。

$\log_2 x$ は $x$ の増加関数なので、$x$ が最大値 $x = 8$ のとき $\log_2 x$ は最大。
$$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

ステップ② $2^y$ は $y$ の増加関数なので、$y$ が最大値 $y = 2$ のとき $2^y$ は最大。
$$2^2 = 4$$

ステップ③ 2つの項は独立に動くので、同時に最大をとれる。

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藤原先生の解説

この問題のポイントは「真数条件を絶対に忘れない」こと！対数の計算だけに集中していると、真数条件（中身が正でなければならない）をうっかり忘れてしまいます。料理に例えると、レシピ通りに作るのに材料チェックを忘れるようなもの。手順の前に必ずチェックする習慣をつけましょう。

(3) は $\log_2 x$ と $2^y$ の2つの関数が完全に独立していることに気づくのがコツです。$x$ と $y$ は別々の制約を受けているので、それぞれの最大値を足せばいい。

🧑 生徒：「(2) の指数不等式で、$t = 3^y$ と置いた後、$t > 0$ という条件はどこから来るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問だね！$t = 3^y$ という指数関数の性質から来てるんだよ。指数関数 $3^y$ は底が正の実数で指数がどんな実数でも、常に正の値しかとらないという性質があるんだ。つまり $y$ がどんな実数でも $3^y > 0$ が成立するから、$t > 0$ という制約が自動的につくんだよ。$(t-9)(t+1) \leq 0$ を解くと $-1 \leq t \leq 9$ だけど、$t > 0$ との共通部分をとって $0 < t \leq 9$ になるんだ。」

対数・指数の問題では「定義域・値域の制約」が命です。一つひとつ確認する癖をつけよう！

【この大問で身につく力】
対数・指数の性質を組み合わせて解く「複合問題への対応力」と、真数条件・置換の際の値域管理という「丁寧さ」が鍛えられます。

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大問1-【2】放物線と直線の面積（難易度★★★★☆）

問題文

放物線 $y = x^2$ と直線 $\ell$ が2点で交わっている。それらの交点の $x$ 座標を $s, t$（$s < t$）とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、$S = \dfrac{1}{6}(t-s)^3$ で与えられることを証明せよ。

(2) 直線 $\ell$ が、点 $(t, t^2)$ における $y = x^2$ の接線と直交しているとき、$s$ を $t$ で表せ。

(3) (2) のとき、(1) の面積 $S$ の最小値、および最小値を与える $t$ を求めよ。

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使う公式・定理

公式名	内容
放物線と直線で囲む面積	$S = \dfrac{1}{6}(t-s)^3$（証明対象）
積分の定義	$\int_s^t (f(x) - g(x))\,dx$
接線の傾き	$y' = 2x$ より点 $(t, t^2)$ での接線の傾きは $2t$
直交条件	傾き $m_1 \cdot m_2 = -1$
$\int_s^t (x-s)(x-t)\,dx = -\dfrac{(t-s)^3}{6}$	定積分の公式

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(1) の解法ステップ（証明）

ステップ① 直線 $\ell$ の方程式を求める。交点の $x$ 座標が $s, t$ なので、直線 $\ell$ は：
$$\ell: y = (s+t)x - st$$

（$y = x^2$ 上の2点 $(s, s^2)$, $(t, t^2)$ を通る直線の傾きは $\dfrac{t^2-s^2}{t-s} = s+t$）

ステップ② $y = x^2$ と直線 $\ell$ の差を計算する：
$$f(x) = (s+t)x - st - x^2 = -(x^2 - (s+t)x + st) = -(x-s)(x-t)$$

ステップ③ $s < t$ で $s \leq x \leq t$ のとき $-(x-s)(x-t) \geq 0$ なので：
$$S = \int_s^t \{(s+t)x - st - x^2\}\,dx = \int_s^t -(x-s)(x-t)\,dx$$

ステップ④ 定積分を計算する：
$$\int_s^t -(x-s)(x-t)\,dx = -\int_s^t (x-s)(x-t)\,dx$$

$u = x - s$ と置くと $du = dx$, $x = s \Rightarrow u = 0$, $x = t \Rightarrow u = t-s$ であり $(x-t) = (u-(t-s))$ だから：

$$\boxed{S = \frac{1}{6}(t-s)^3}$$　（証明終わり）

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(2) の解法ステップ

ステップ① 点 $(t, t^2)$ における $y = x^2$ の接線の傾きを求める。$y' = 2x$ なので傾きは $2t$。

ステップ② 直線 $\ell$ の傾きは先ほど示したように $s + t$。

ステップ③ 直交条件 $m_1 \cdot m_2 = -1$ を適用する：
$$2t \cdot (s+t) = -1$$
$$2t(s+t) = -1$$
$$2ts + 2t^2 = -1$$
$$2ts = -1 - 2t^2$$
$$s = \frac{-1-2t^2}{2t} = -\frac{1}{2t} - t$$

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(3) の解法ステップ

ステップ① $t - s$ を計算する：
$$t - s = t - \left(-t - \frac{1}{2t}\right) = 2t + \frac{1}{2t}$$

ステップ② $t > 0$ と $t < 0$ の場合を考える。$s < t$ なので $t - s > 0$ が必要。

$t > 0$ のとき：$t - s = 2t + \dfrac{1}{2t} > 0$（自動的に成立）

$t < 0$ のとき：$t - s = 2t + \dfrac{1}{2t}$。$t < 0$ のとき $\dfrac{1}{2t} < 0$ なので、$t - s = 2t + \dfrac{1}{2t}$。これが正になるかを確認すると…$t < -\dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\dfrac{1}{2}$（$t<0$ のとき $|2t| > \left|\dfrac{1}{2t}\right|$ が必要）。実は任意の $t \neq 0$ で成立する範囲を丁寧に確認する必要がある。以下では $t > 0$ の場合を中心に解く（対称性から）。

ステップ③ $t > 0$ とする。$S = \dfrac{1}{6}(t-s)^3 = \dfrac{1}{6}\left(2t + \dfrac{1}{2t}\right)^3$

相加平均・相乗平均の不等式を使う：
$$2t + \frac{1}{2t} \geq 2\sqrt{2t \cdot \frac{1}{2t}} = 2\sqrt{1} = 2$$

等号成立は $2t = \dfrac{1}{2t}$、すなわち $4t^2 = 1$、$t = \dfrac{1}{2}$（$t > 0$ より）

ステップ④ 最小値：
$$S_{\min} = \frac{1}{6} \cdot 2^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

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藤原先生の解説

この問題のメインは (1) の証明です。「$S = \dfrac{1}{6}(t-s)^3$」という公式は、放物線と直線で囲む面積の超重要公式で、これを自分で導けることが求められています。スポーツで言えば、コーチに言われたフォームを自分で再現できるか試されている感じですね。

(2) の直交条件は「2直線が直交 $\Leftrightarrow$ 傾きの積が $-1$」という基本定理の応用。(3) では相加平均・相乗平均の不等式がきれいに使えます。

🧑 生徒：「(1) の証明で、直線 $\ell$ の式ってどうやって求めるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$y = x^2$ 上の2点 $A(s, s^2)$ と $B(t, t^2)$ を通る直線の傾きは2点を通る直線の傾きの公式 $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ を使うんだ。計算すると $m = \dfrac{t^2 - s^2}{t - s} = \dfrac{(t-s)(t+s)}{t-s} = s+t$ になるよ。あとは点 $(s, s^2)$ を通ることから $y - s^2 = (s+t)(x-s)$ を整理すると $y = (s+t)x - st$ が得られるんだ。この因数分解の技が重要だよ！」

面積の証明問題は「式を立てて丁寧に積分する」これだけ！焦らずステップを踏めば必ずできます！

【この大問で身につく力】
積分を使った面積の証明力と、接線・直交条件の組み合わせという「複数の概念を結びつける総合力」が鍛えられます。

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大問1-【3】三角関数の最大・最小（難易度★★★☆☆）

問題文

$y = a(\sin\theta + \cos\theta) + \sin 2\theta$ とする。ただし $a$ は正の定数である。

(1) $t = \sin\theta + \cos\theta$ として、$y$ を $t$ の式で表せ。

(2) $t = \sin\theta + \cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $y$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を、それぞれ $a$ を用いて表せ。

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使う公式・定理

公式名	内容
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$	2倍角の公式
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$	展開と恒等式
合成公式	$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$
$t$ の範囲	$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

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解法ステップ

ステップ①（(1) の解法）：$t = \sin\theta + \cos\theta$ を二乗する：
$$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + \sin 2\theta$$
$$\therefore \quad \sin 2\theta = t^2 - 1$$

$y = at + \sin 2\theta$ に代入：
$$\boxed{y = t^2 + at - 1}$$

ステップ②（(2) の解法）：合成公式より $t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$

$-1 \leq \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 1$ なので：
$$\boxed{-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}}$$

ステップ③（(3) の解法）：$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ で $y = t^2 + at - 1$ の最大・最小を求める。

$y = \left(t + \dfrac{a}{2}\right)^2 - \dfrac{a^2}{4} - 1$（平方完成）

軸は $t = -\dfrac{a}{2}$（$a > 0$ なので軸は負）。

最小値：軸が $-\sqrt{2} \leq -\dfrac{a}{2} \leq \sqrt{2}$、すなわち $0 < a \leq 2\sqrt{2}$ のとき（$a > 0$ なので上限のみ考慮）：
$$m = -\frac{a^2}{4} - 1$$（$t = -\dfrac{a}{2}$ で達成）

$a > 2\sqrt{2}$ のとき、軸 $t = -\dfrac{a}{2} < -\sqrt{2}$ なので、定義域の左端で最小：
$$m = (-\sqrt{2})^2 + a(-\sqrt{2}) - 1 = 2 - \sqrt{2}a - 1 = 1 - \sqrt{2}a$$

最大値：$a > 0$ なので軸が負。$t = \sqrt{2}$ が定義域の右端で $y$ は最大：
$$M = (\sqrt{2})^2 + a\sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2}a - 1 = 1 + \sqrt{2}a$$

三角関数の最大・最小問題で軸の位置を場合分けする必要があります。この場合分けが得点の分かれ目です！

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大問1-【4】ベクトルと内積（難易度★★★☆☆）

問題文

三角形 OAB において、辺

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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