和歌山大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾グループの藤原進之介です。

今日は、和歌山大学 2012年度の数学入試問題を、じっくり丁寧に解説していきます。この記事を読み終わる頃には、「あ、この問題はこの公式を使うんだ！」「計算の流れがわかった！」という感覚が掴めるはずです。

和歌山大学の問題は「基礎を大切にしながらも、ちょっと計算が複雑」という特徴があります。つまり、基本的な公式や定理をしっかり理解していれば、じっくり計算すれば解けるということ。決して難しすぎることはありませんので、一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

和歌山大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度

和歌山大学の数学入試は、標準レベルの問題が中心です。以下が特徴です：

この大学の数学の特徴

和歌山大学の数学は、野球に例えるなら「基本に忠実なプレイが得点に結びつく」という感じです。派手な応用技巧はあまり要求されず、むしろ：

• 基本公式の理解が深いか
• 計算を正確に進められるか
• グラフや図形をイメージできるか

こういった点が求められます。つまり、「青チャート」や「フォーカスゴールド」で丁寧に学んだ内容が、そのまま問題に出てくる傾向があります。

先生と生徒の会話

🧑 生徒：「和歌山大学の数学は、どういう対策をすればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！和歌山大学の数学は標準的な公式と計算力があれば大丈夫。例えば、対数計算、三角関数の合成公式、ベクトルの内積、積分計算みたいな基本が中心だよ。だから『基礎問題精講』や『フォーカスゴールド』で丁寧に一つ一つ理解していくのが合格への近道だね。派手な難問解法よりも、確実に点を取ることが大事だよ。」

2012年度 全問題と解説

それでは、実際の問題を見ていきましょう。全5問のうち、代表的な問題をピックアップして詳しく解説します。

大問1【全学部共通】対数と三角関数の大小比較

【問題文】

次の問いに答えよ。

(1) $\log_6 11$ と $\log_6 15$ と $\frac{3}{2}$ の大小を比較し、小さい方から順に並べよ。

(2) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。$\tan\frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$ であるとき、$\alpha$ と $\frac{\pi}{4}$ の大小を比較せよ。

【解法ポイント】

ステップ①：対数を同じ形に統一する
- $\log_6 11$ と $\frac{3}{2}$ を比較するために、$\frac{3}{2}$ を対数形に変換
- $\frac{3}{2} = \log_6 6^{3/2} = \log_6 \sqrt{216}$

ステップ②：対数関数の単調性を利用
- $f(x) = \log_6 x$ は単調増加なので、底の数を比較すればよい
- $11$ と $\sqrt{121}$ を比較

ステップ③：二倍角公式を繰り返し適用
- $\tan\frac{\alpha}{2}$ を求めるために、$\tan\frac{\alpha}{4}$ から二倍角公式を使う

【解説】

(1) 対数の大小比較

ここで重要なのは「対数関数の単調性」です。$y = \log_6 x$ は $a = 6 > 1$ なので、単調増加関数。つまり、$x_1 < x_2$ なら $\log_6 x_1 < \log_6 x_2$ が成り立ちます。

まず $\frac{3}{2}$ を対数で表します：

次に $\log_6 11$ と比較。$\frac{3}{2} = \log_6 \sqrt{216}$ なので：

よって $\sqrt{121} < \sqrt{216}$ だから：

同様に $\log_6 15$ と $\frac{3}{2}$ を比較します：

$\sqrt{225} = 15$ なので $\sqrt{216} < \sqrt{225}$：

答え： $\boxed{\log_6 11 < \frac{3}{2} < \log_6 15}$

(2) 三角関数の大小比較

与えられた情報：$\tan\frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$

ここで使うのは「二倍角公式」です：

ステップ①： $\tan\frac{\alpha}{2}$ を求める

ステップ②： $\tan\alpha$ を求める

ステップ③： $\tan\frac{\pi}{4}$ と比較

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ では $y = \tan x$ は単調増加なので：

答え： $\boxed{\frac{\pi}{4} < \alpha}$

大問2【全学部共通】ベクトルの内積と大きさ

【問題文】

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が
$$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5} \quad \text{と} \quad |2\vec{a} - \vec{b}| = 2$$
を満たしている。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $|\vec{a}| = k$ とするとき、$|\vec{b}|$ と $\vec{a} \cdot \vec{b}$ をそれぞれ $k$ を用いて表せ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、$|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ の値をそれぞれ求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：与式を2乗して内積に関する式を立てる
- $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ という展開公式を使う
- $|2\vec{a} - \vec{b}|^2$ も同様に展開

ステップ②：連立方程式を解く
- 2つの式から $|\vec{b}|$ と $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を $k$ で表す

ステップ③：内積公式と組み合わせる
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ を使って、角度条件を利用

【解説】

(1) $|\vec{b}|$ と $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を $k$ で表す

ベクトルの大きさの条件を内積の形に変換します。「ベクトルの大きさの2乗は内積で表される」という性質を使います：

与式を2乗します：

左辺を展開（$\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v}$ という対称性を使う）：

同様に第2の条件：

$|\vec{a}| = k$ を代入すると、①と②は：

①から②を引きます（①から②を引くテクニック — 1つの未知数を消去する）：

これを①に代入：

$|\vec{b}| > 0$ なので：

答え (1)： $\boxed{|\vec{b}| = \sqrt{2k^2 + 6}, \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3k^2 + 1}{2}}$

(2) なす角が $\frac{\pi}{4}$ のとき

内積の定義より：

(1)の結果と等置：

$$k\sqrt{k^2 + 3} = \frac{3k^

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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