早稲田大学 2000年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾の藤原進之介です。

早稲田大学の2000年度入試数学は、難関大が求める「本質的な理解」と「計算処理能力」の両立が試される良問揃いです。この記事では、5つの大問すべてを丁寧に解説していきます。「なぜそうなるのか」という根本理解を大切にしながら、あなたの得点力をぐんぐん伸ばしていきましょう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

早稲田大学の数学は、以下の特徴を持っています：

【試験形式】
- 大問数：5問
- 出題範囲：三角関数、積分・微分、数列、確率、ベクトル、複素数など広範囲
- 難易度：標準～やや難レベル
- 時間配分が重要

【大学の特徴】
早稲田大学の数学は、「計算量が多い」「時間配分がシビア」という点で有名です。これはちょうど、料理で言えば「複数の料理を同時に作りながら、それぞれの火加減を調整する」ようなもの。

一つの問題に時間をかけすぎると、後の問題が解けなくなってしまいます。だからこそ、どの単元がどの解法を使うのか、素早く判断する力が求められるんです。

🧑 生徒：「早稲田って、問題がすごく難しいって聞いたんですけど…」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！確かに「難しい」と思える問題が多いんだ。でも実は、使う公式や定理自体は基本的なものがほとんどなんだよ。違うのは、その組み合わせ方や応用の仕方。だから、青チャートやフォーカスゴールドで基礎をしっかり固めれば、十分対応できるよ。」

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2000年度 全問題と解説

大問1

【問題文】

$-90° \leq x \leq 30°$ のとき

とする。このとき、次の問いに答え、解答欄に答の記号せよ。

(1) $f(0) = 1, f(30°) = \frac{3}{2}$ のとき、$a, b$ を求めよ。

(2) このとき、$f(x)$の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。

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【解法ポイント】

• ステップ①： 三角関数の値を代入して連立方程式を立てる
• ステップ②： $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いて、$\sin x$ に関する関数に変換
• ステップ③： 置換積分的な考え方で、新しい変数で最大最小を求める

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【解説】

(1) $a, b$ を求める

$f(0) = 1$ より：
$$f(0) = (a + b\sin 0°) \cos 0° = a \cdot 1 = a = 1$$

したがって $a = 1$。

$f(30°) = \frac{3}{2}$ より：
$$f(30°) = (1 + b \sin 30°) \cos 60° = (1 + b \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

整理すると：
$$\frac{1 + \frac{b}{2}}{2} = \frac{3}{2}$$
$$1 + \frac{b}{2} = 3$$
$$b = 4$$

答：$a = 1, b = 4$

(2) 最大値・最小値を求める

$f(x) = (1 + 4\sin x) \cos 2x$ を整理します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いて：
$$f(x) = (1 + 4\sin x)(1 - 2\sin^2 x)$$

$t = \sin x$ とおくと、$-90° \leq x \leq 30°$ のとき $-1 \leq t \leq \frac{1}{2}$ です。

$$f(t) = (1 + 4t)(1 - 2t^2)$$
$$= 1 - 2t^2 + 4t - 8t^3$$
$$= -8t^3 - 2t^2 + 4t + 1$$

$f'(t) = -24t^2 - 4t + 4$ を求めます：
$$f'(t) = -4(6t^2 + t - 1) = -4(3t - 1)(2t + 1)$$

臨界点は $t = \frac{1}{3}, t = -\frac{1}{2}$

🧑 生徒：「なぜ $\cos 2x$ を $1 - 2\sin^2 x$ に変えるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！この問題では既に $\sin x$ が入っているから、全部を $\sin x$ で統一したいんだ。そうすれば $t = \sin x$ と置いて、一変数関数の最大最小問題に変えられるんだよ。これは二倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ の重要な使い方だね。」

各点での値を計算：
- $f(-1) = -(-8) - 2 + (-4) + 1 = 8 - 2 - 4 + 1 = 3$
- $f(-\frac{1}{2}) = -8 \cdot (-\frac{1}{8}) - 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = 1 - \frac{1}{2} - 2 + 1 = -\frac{1}{2}$
- $f(\frac{1}{3}) = -8 \cdot \frac{1}{27} - 2 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 1 = -\frac{8}{27} - \frac{6}{27} + \frac{36}{27} + \frac{27}{27} = \frac{49}{27}$
- $f(\frac{1}{2}) = -8 \cdot \frac{1}{8} - 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = -1 - \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{3}{2}$

最大値：$3$（$\sin x = -1$，すなわち $x = -90°$）

最小値：$-\frac{1}{2}$（$\sin x = -\frac{1}{2}$，すなわち $x = -30°$）

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大問2

【問題文】

$a, b, c, d$ を実数とし、$ac \neq 0, a \neq c$ とする。このとき、

とする。次の問いに答え。解答欄に答のみ記入せよ。

(1) $a, b, c, d$ の整式 $I_1 - I_2$ を、因数分解した形で書せよ。

(2) $I_1 = I_2$ が成立するとき、2つの1次関数

のグラフは、必ず1つの共有点をもつ。その共有点の座標を求めよ。ただし、答は $a$ を含む形で表す。

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【解法ポイント】

• ステップ①： コーシー・シュヴァルツ不等式の形を認識する
• ステップ②： $I_1 - I_2$ は展開して整理する（直接計算）
• ステップ③： 等号条件から、2つの関数の比例関係を導く

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【解説】

(1) $I_1 - I_2$ を因数分解する

これはコーシー・シュヴァルツ不等式の問題です：

等号は $f = kg$（定数倍）のときに成立します。

$f(x) = ax + b, g(x) = cx + d$ とおくと、

この差は$36(ad - bc)^2$ の形になります。

実際に計算すると：
$$\int_0^1 (ax+b)(cx+d)\,dx = \frac{ac}{3} + \frac{ad+bc}{2} + bd$$

展開して整理すると：

🧑 生徒：「どうしてコーシー・シュヴァルツ不等式が出てくるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。この問題の形を見ると『$(∫fg)^2$ と $∫f^2 · ∫g^2$』という形になっているでしょ？これがコーシー・シュヴァルツ不等式の標準形なんだ。不等式問題で『積の積分』と『積分の積』が両方出てくるときは、まずこれを疑おう。」

(2) 共有点の座標を求める

$I_1 = I_2$ より $I_1 - I_2 = 0$、すなわち：
$$36(ad - bc)^2 = 0$$
$$ad = bc$$

これは $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ を意味します。

$\frac{a}{c} = k$ とすると、$a = kc, b = kd$ となります。

しかし $a \neq c$ という条件から $k \neq 1$ です。

2つの直線 $y = ax + b$ と $y = cx + d$ の交点は：
$$ax + b = cx + d$$
$$(a - c)x = d - b$$
$$x = \frac{d - b}{a - c}$$

$a = kc, b = kd$ を代入：
$$x = \frac{d - kd}{kc - c} = \frac{d(1-k)}{c(k-1)} = \frac{-d}{c}$$

答：$\left(-\frac{d}{c}, 0\right)$

または $a$ を含む形：$\left(\frac{ad-bc}{a(c-a)}, \frac{c(ad-bc)}{a(c-a)}\right)$ など複数表現が可能ですが、簡潔なのは上記です。

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大問3

【問題文】

関数 $f(x)$ は $x > 0$ で定義された増加関数で、

をみたしている。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $f(x) = 4$ をみたす $x$ の値を求め、解答欄に答の記号を記入せよ。

(2) 不等式

を解き、その答を解答欄に記入せよ。また、その理由も記せ。

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【解法ポイント】

• ステップ①： 関数方程式 $f(xy) = f(x) + f(y)$ から、$f(x) = \log_a x$ の形を推定する
• ステップ②： $f(3) = 2$ の条件から、底 $a$ を決定する
• ステップ③： 対数不等式として解く（定義域に注意）

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【解説】

(1) $f(x) = 4$ をみたす $x$ を求める

関数方程式 $f(xy) = f(x) + f(y)$ は対数関数の性質です。

つまり、$f(x) = \log_a x$ という形をしています。

$f(3)

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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