早稲田大学 2008年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾の藤原進之介です。

今回は、早稲田大学の2008年度入試数学について、詳しく解説していきます。この年度の早稲田数学は、問題数が多く、時間配分の工夫が合否を左右する重要な年でもあります。「どうやって時間内に全問解き切るのか」「どの分野が頻出なのか」といった疑問を、この記事で完全に解決していきますよ。

受験生の皆さんが「この問題はこの公式を使うんだ！」と気づける瞬間を大切にしながら、一緒に解いていきましょう。

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度の特徴

早稲田大学の数学は、全9問で標準～やや難レベルの問題が幅広い範囲から出題されることが特徴です。

試験の全体像：
- 大問数：9問
- 解答形式：記述式・マーク式混在
- 時間：60～90分（学科による）
- 難易度：標準レベル60%、やや難40%程度

なぜ時間配分が重要なのか？

想像してみてください。野球やテニスで「どのボールを打つか」を判断できる選手は、そうでない選手より圧倒的に有利ですよね。入試数学も同じです。全問を丁寧に解こうとすると、確実に時間が足りなくなります。解ける問題・解きにくい問題を見分け、戦略的に問題を選ぶ——それが早稲田攻略の鍵なんです。

🧑 生徒：「先生、9問全部解かないといけないんですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。実は全問解く必要はないんだ。大切なのは『確実に得点できる問題を最優先で解く』という戦略。たとえば対数や確率の計算問題から始めて、難しそうな空間図形は後回しにするとか。そういう時間管理が受験では生死を分けるんだよ。」

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2008年度 全問題と詳しい解説

大問1：対数と放物線

【問題文】

正の数 $x, y$ が等式
$$\log_a x = 1 + \log_a y$$
をみたす。ただし、$a$ は1でない正の定数とする。

(1) $y$ を $x$ の式で表せ。

(2) $x - y$ の最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：対数法則を使って式を整理
  $$\log_a x = 1 + \log_a y \Rightarrow \log_a x = \log_a a + \log_a y$$
  $$\Rightarrow \log_a x = \log_a(ay)$$

• ステップ②：同一底の対数は削除可能
  $$\log_a x = \log_a(ay) \Rightarrow x = ay$$
  $$\therefore y = \frac{x}{a} \quad (x > 0)$$

• ステップ③：$x - y$ を $x$ の関数で表す
  $$x - y = x - \frac{x}{a} = x\left(1 - \frac{1}{a}\right) = \frac{x(a-1)}{a}$$

【解説】

この問題のポイントは、対数方程式から直線関係を導き出すことです。

(1)では、$\log_a x = \log_a(ay)$ から $x = ay$ という直線関係が得られます。これは $y = \frac{x}{a}$ の放物線ではなく、原点を通る直線です。

(2)では、$x - y = x - \frac{x}{a} = -\frac{1}{a}(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a}{4}$ と平方完成すると、$x = \frac{a}{2}$ のとき最大値 $\frac{a}{4}$ をとることがわかります。

🧑 生徒：「対数の底がいろいろあるのに、答えは $a$ の式になるんですね。」
👨‍🏫 藤原先生：「その通り！対数方程式を扱うときの鉄則は『同じ底に統一する』ってこと。$\log_a x = \log_a(ay)$ に整理できれば、あとは『同じ対数なら中身も等しい』という指数法則の逆を使うだけ。ここで $x = ay$ という関係式を見つけることが全体の流れをつかむカギなんだよ。」

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大問2：ベクトルと空間図形

【問題文】

空間内に、同一平面上にない相異なる4点 $O, A, B, C$ がある。$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ は互いに直交し、$|\vec{OA}| = 1, |\vec{OB}| = 2, |\vec{OC}| = 3$ である。

(1) 線分 $BC$ を $t:(1-t) \, (0

(2) 三角形 $OAK$ で、$O$ から $AK$ に引いた垂線の足を $H$ とする。このとき、$AH : HK$ を $|\vec{a}|, |\vec{k}|$ を用いて簡潔に表せ。

(3) $\vec{OH}$ を、$t, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

(4) $\vec{OH}$ が3点 $A, B, C$ のつくる平面に垂直であるとき、$t$ の値を求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：内分点の公式とベクトルの直交性を利用
  $$\vec{k} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$$
  $$\vec{a} \cdot \vec{k} = \vec{a} \cdot ((1-t)\vec{b} + t\vec{c}) = 0$$
  （$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が互いに直交するため）

• ステップ②：$|\vec{k}|$ を計算
  $$|\vec{k}|^2 = (1-t)^2 |\vec{b}|^2 + t^2 |\vec{c}|^2 = 4(1-t)^2 + 9t^2 = 13t^2 - 8t + 4$$
  $$|\vec{k}| = \sqrt{13t^2 - 8t + 4}$$

• ステップ③：垂線の足の位置ベクトルを相似比で求める
  三角形 $OAK$ は $\angle OAK$ が直角に近い幾何で、$OH \perp AK$ より
  $$\vec{OH} = \frac{|\vec{k}|^2 \vec{a} + |\vec{a}|^2 \vec{k}}{|\vec{a}|^2 + |\vec{k}|^2} = \frac{(13t^2 - 8t + 4)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + t\vec{c}}{13t^2 - 8t + 5}$$

【解説】

ベクトル問題で最も大切なのは、与えられた条件（互いに直交）を最大限に活用することです。$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ という条件があるおかげで、計算が大幅に簡潔になります。

(4)では、$\vec{OH}$ が平面 $ABC$ に垂直という条件から、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$ かつ $\vec{OH} \perp \vec{AC}$ が必要です。これから：
$$\vec{OH} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 \quad \text{かつ} \quad \vec{OH} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$$

計算すると $4(1-t) = 9t$ より $t = \frac{4}{13}$ を得ます。

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大問3：三角関数の合成と最大値

【問題文】

$$f(\theta) = 2[(a-1)\sin^2\theta + a\sin\theta\cos\theta + (a+1)\cos^2\theta]$$
ただし、$a$ は正の定数、$0° \leq \theta \leq 180°$ とする。

(1) $f(\theta)$ を $\sin 2\theta, \cos 2\theta$ についてまとめよ。

(2) $f(\theta)$ の最大値と最小値の差が5のとき、$a$ を求めよ。またこのとき $f(\theta)$ の最大値を求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：倍角公式を使って変形
  $$f(\theta) = 2(a-1) \cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2} + a \sin 2\theta + 2(a+1) \cdot \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$
  $$= a\sin 2\theta + 2\cos 2\theta + 2a$$

• ステップ②：合成公式で最大・最小を求める
  $$f(\theta) = \sqrt{a^2+4} \sin(2\theta + \alpha) + 2a$$
  最大値：$\sqrt{a^2+4} + 2a$、最小値：$-\sqrt{a^2+4} + 2a$

• ステップ③：条件から $a$ を計算
  $$(\sqrt{a^2+4} + 2a) - (-\sqrt{a^2+4} + 2a) = 5$$
  $$2\sqrt{a^2+4} = 5 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$$

【解説】

三角関数の問題では、倍角公式と合成公式の組み合わせが鉄則です。

倍角公式：$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$、$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$

これらを使って $f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の一次式に変形したら、合成公式 $p\sin x + q\cos x = \sqrt{p^2+q^2}\sin(x+\alpha)$ を適用します。

🧑 生徒：「合成公式のときの角度 $\alpha$ を求めるのが複雑に感じます。」
👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！実は合成するときに、$\alpha$ の具体的な値を求める必要はないんだ。大切なのは『$\sin(2\theta + \alpha)$ の値域が $[-1, 1]$ だから、全体の最大値・最小値は $\pm\sqrt{a^2+4} + 2a$』って見抜くことだけ。$\alpha$ がいくらであろうと、$0° \leq 2\theta \leq 360°$ の範囲なら $\sin(2\theta+\alpha)$ は必ず $\pm1$ の値をとるんだよ。」

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大問4：等差数列と条件判定

【問題文】

数列 $\{a_n\}$ は初項 $a$、公差 $d$ の等差数列であり、$a_3 = 12$ かつ $S_3 > 0, S_4 \leq 0$ をみたす。ただし $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$。

(1) 公差 $d$ がとる値の範囲を求めよ。

(2) $a_n \, (n > 3)$ がとる値の範囲を $n$ を用いて表せ。

(3) $a_n > 0, a_{n+1} \leq 0$ となる $n$ の値を求めよ。

(4) $S_n$ が最大となるときの $n$ の値をすべて求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：条件から $a$ を $d$ で表す
  $a_3 = a + 2d = 12 \Rightarrow a = 12 - 2d$

• ステップ②：和の公式を使って $d$ の範囲を求める
  $$S_3 = 3a +

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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