広島大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

広島大学 2013年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介が、2013年度広島大学入試数学の全問題を徹底解説します。

この記事を読むことで、次の3つが身につきます：

• ✅ 行列の1次変換・格子点と確率（大問1）の本質的な解法が理解できる
• ✅ 放物線への接線・ベクトルと三角関数（大問2）の典型パターンが完全マスターできる
• ✅ 広島大学数学の出題傾向・合格戦略がわかり、本番での時間配分ができるようになる

👨‍🏫 藤原先生より： 広島大学の数学は「基礎力 × 思考力」が問われる良問揃いです。難問はほとんどなく、丁寧に基礎を積み上げてきた受験生が有利になる試験です。一緒に一歩ずつ解いていきましょう！

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

試験形式・基本データ

※本記事では、OCRデータが得られた大問1（行列・格子点）と大問2（接線・ベクトル）を完全解説します。

広島大学数学の難易度と偏差値帯

広島大学の理系数学は、偏差値55〜65程度の受験生を対象とした標準〜やや難レベルです。旧帝大（東大・京大・阪大）のような超難問は少なく、教科書レベルの公式・定理をしっかり使いこなせれば十分に対応できます。

他大学との比較：
- 東大・京大：高度な論証力と独自の発想が必要
- 阪大・名大：計算量が多く処理スピードが問われる
- 広島大学：標準問題の完成度と論述の正確さが鍵

過去10年の頻出単元ランキング（広島大学 数学）

藤原先生コメント

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな対策をすればいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学の数学で大切なのは、標準問題を確実に完答する力だよ。例えば接線の問題なら、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式 $y = f'(t)(x - t) + f(t)$ をすぐに立てられるか、そして『外部の点を通る』という条件を $t$ についての方程式に変換できるかが勝負。青チャートやフォーカスゴールドで標準問題を徹底的に練習して、論述答案の書き方まで仕上げることが最大の近道だよ！」

💪 広島大学数学は「丁寧な基礎学習」が最強の武器です。一緒に積み上げていきましょう！

【セクション3】2013年度 出題テーマ速報と分析

2013年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と合格ライン

• 大問2 [1]・[2]：典型的な入試標準問題。完答を狙いたい。
• 大問1 [1]：行列の知識が必要。(1)(2)は完答、(3)は三角関数の最大最小。
• 大問1 [2]：格子点の数え上げ＋期待値＋確率。(1)は完答、(2)(3)は方針が立てば完答可能。

合格戦略： 大問2を先に解いて得点を確保し、大問1の計算ミスに注意しながら丁寧に論述する。合格ラインは6〜7割程度と想定される。

💡 前年度との比較： 2013年度は行列（数学C）と格子点という組み合わせが特徴的。微積分・ベクトルは例年通り出題されており、これは現在でも学習価値が非常に高い内容です。

【セクション4】全大問 完全解説

大問1 [1]：行列の1次変換・直線への正射影（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ とする。座標平面上で原点 $O$ を通り傾き $\tan\theta$ の直線を $\ell$ とし、行列

の表す1次変換を $f$ とする。座標平面上に2点 $P$、$Q$ がある。次の問いに答えよ。

(1) 線分 $OP$ が直線 $\ell$ と垂直であるとき、1次変換 $f$ による点 $P$ の像を求めよ。

(2) 1次変換 $f$ による点 $Q$ の像を $R$ とする。このとき $|\overrightarrow{OR}| \leq |\overrightarrow{OQ}|$ が成り立つことを示し、さらに等号が成立する場合を調べよ。

(3) 1次変換 $f$ による点 $(1, 1)$ の像を $S$ とする。このとき $|\overrightarrow{OS}|$ が最大となる $\theta$ と最小となる $\theta$ をそれぞれ求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）】

ステップ①　$P$ の座標を直線 $\ell$ の方向を使って表す

直線 $\ell$ の方向ベクトルは $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ なので、$\ell$ に垂直なベクトルは $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$ です。

$OP$ が $\ell$ に垂直であるから、点 $P$ は

と表せます。

ステップ②　行列 $A$ で変換する

上の成分を計算します：

$$x' = \cos^2\theta \cdot (-k\sin\theta) + \sin\theta\cos\theta \cdot k\cos\theta$$
$$= k\sin\theta\cos\theta(-\cos\theta + \cos\theta) = 0$$

下の成分：

$$y' = \sin\theta\cos\theta \cdot (-k\sin\theta) + \sin^2\theta \cdot k\cos\theta$$
$$= k\sin\theta\cos\theta(-\sin\theta + \sin\theta) = 0$$

ステップ③　答えをまとめる

【解法ステップ（2）】

ステップ①　$Q = (x, y)$ の像 $R = (x', y')$ を求める

ステップ②　$|\overrightarrow{OQ}|^2 - |\overrightarrow{OR}|^2$ を計算する

展開すると：

ステップ③　不等式の証明と等号条件

等号成立条件：$x\sin\theta - y\cos\theta = 0$、すなわち $y = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} x = \tan\theta \cdot x$

つまり、点 $Q$ が直線 $\ell$ 上にあるとき等号が成立する。

【解法ステップ（3）】

ステップ①　$S$ の座標を求める

ステップ②　$|\overrightarrow{OS}|^2$ を計算する

ステップ③　最大・最小を求める

$-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より $-\pi < 2\theta < \pi$

$\sin 2\theta$ の範囲は $-1 \leq \sin 2\theta \leq 1$（端点は含まない形ですが $-\pi < 2\theta < \pi$ なので最大値 $1$・最小値 $-1$ は取れる）

• $|\overrightarrow{OS}|$ 最大 $= \sqrt{2}$ のとき：$\sin 2\theta = 1 \Rightarrow 2\theta = \dfrac{\pi}{2}$

• $|\overrightarrow{OS}|$ 最小 $= 0$ のとき：$\sin 2\theta = -1 \Rightarrow 2\theta = -\dfrac{\pi}{2}$

【藤原先生の解説：この行列が意味するもの】

この行列 $A$ は、実は「直線 $\ell$ への正射影（射影変換）」なんです！

料理で例えるなら、$Q$ という食材を $\ell$ という「まな板」に真上から垂直に押しつけたときの「影」が $R$ です。影は元の食材より長さが短くなる（または同じになる）ので、$|\overrightarrow{OR}| \leq |\overrightarrow{OQ}|$ が成り立つのは直感的にも自然なんです。

$Q$ がまな板（直線 $\ell$）の上にある場合は、押しつけても形が変わらないから等号成立！

会話：

🧑 生徒：「行列 $A$ がなぜ直線への射影になるのか、数式で確かめたいです。」

👨‍🏫 藤原先生：「いい着眼点だね！直線 $\ell$ の方向ベクトルを $\vec{e} = (\cos\theta, \sin\theta)$ とすると、ベクトル $\vec{v} = (x, y)$ の $\vec{e}$ への正射影ベクトルの公式は $\text{proj}_{\vec{e}}\vec{v} = (\vec{v} \cdot \vec{e})\vec{e}$ だよ。これを成分で書くと $(x\cos\theta + y\sin\theta)(\cos\theta, \sin\theta)$ になって、行列計算の答えとぴったり一致するよね。行列 $A$ は射影行列と呼ばれていて、$A^2 = A$ という性質（べき等性）もある美しい行列なんだ！」

💡 射影の幾何学的意味を理解すると、行列問題は大幅に簡単になります！

大問1 [2]：格子点の隣接点・期待値・確率（難易度★★★★☆）

【問題文】

座標平面上の点で、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という。$n$ を3以上の自然数とし、連立不等式

の表す領域を $D$ とする。格子点 $A(a, b)$ に対して、領域 $D$ 内の格子点 $B(c, d)$ が $|a - c| + |b - d| = 1$ を満たすとき、点 $B$ を点 $A$ の隣接点という。次の問いに答えよ。

(1) 領域 $D$ 内の格子点のうち隣接点の個数が4であるものの個数を求めよ。

(2) 領域 $D$ から格子点を1つ選ぶとき、隣接点の個数の期待値が3以上となるような $n$ の範囲を求めよ。

(3) 領域 $D$ から異なる格子点を2つ選ぶとき、互いに隣接点である確率を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ（1）：隣接点の個数が4の格子点を数える】

ステップ①　領域 $D$ 内の格子点を分類する

格子点 $(x, y) \in D$（$x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq n$）の隣接点は、$(x \pm 1, y)$ と $(x, y \pm 1)$ のうち $D$ 内にあるものです。

隣接点が4個あるためには、$(x+1, y)$、$(x-1, y)$、$(x, y+1)$、$(x, y-1)$ がすべて $D$ 内に存在する必要があります。

ステップ②　条件を整理する

• $(x-1, y) \in D$：$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
• $(x+1, y) \in D$：$x + 1 + y \leq n \Rightarrow x + y \leq n - 1$
• $(x, y-1) \in D$：$y - 1 \geq 0 \Rightarrow y \geq 1$
• $(x, y+1) \in D$：$x + y + 1 \leq n \Rightarrow x + y \leq n - 1$

まとめると：$x \geq 1,\ y \geq 1,\ x + y \leq n - 1$

ステップ③　条件を満たす格子点の個数を数える

$x' = x - 1 \geq 0$、$y' = y - 1 \geq 0$ と置換すると、条件は $x' + y' \leq n - 3$（$x' \geq 0, y' \geq 0$）

これは $n - 3$ 以下の非負整数の格子点数なので：

【解法ステップ（2）：期待値が3以上となる $n$ の範囲】

ステップ①　格子点を隣接点の個数 $N$ で分類する

$D$ 内の全格子点数：$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ 個

各格子点を隣接点の個数で分けます：

より正確に分けると：

• $N = 1$：頂点 $(0,0)$，$(n, 0)$，$(0, n)$ → $3$ 点？ いや $O(0,0)$ の隣接点は $(1, 0)$ と $(0, 1)$ の 2 個

実際に丁寧に数えます。

• $O(0,0)$：隣接点は $(1,0)$, $(0,1)$ → $N = 2$
• $(n, 0)$：隣接点は $(n-1, 0)$ → $N = 1$（$(n+1, 0)$ は $D$ 外、$(n, 1)$ は $n + 1 > n$ で $D$ 外）
• $(0, n)$：隣接点は $(0, n-1)$ → $N = 1$

$N = 1$ の格子点：$(n, 0)$ と $(0, n)$ → 2個

$N = 2$ の格子点：
- $x$ 軸上（$0 < x < n$）：$(1,0), (2,0), \ldots, (n-1, 0)$ → $n-1$ 個
- $y$ 軸上（$0 < y < n$）：$(0,1), (0,2), \ldots, (0, n-1)$ → $n-1$ 個
- $O(0,0)$：1個
- 斜辺上（$x+y = n$, $x \geq 1, y \geq 1$）：$x + y = n$, $x \geq 1, y \geq 1$ の格子点 $n-1$ 個（ただし隣接点は $x + y = n - 1$ 側と軸方向のもの）

斜辺上の点 $(k, n-k)$（$1 \leq k \leq n-1$）：$(k-1, n-k)$ と $(k, n-k-1)$ は $D$ 内、$(k+1, n-k)$ と $(k, n-k+1)$ は $D$ 外 → $N = 2$

ゆえに $N = 2$ の点：$O(0,0)$（1個）＋ 軸上内部（$2(n-1)$ 個）＋ 斜辺内部（$n-1$ 個）= $1 + 2(n-1) + (n-1) = 3n - 2$ 個

$N = 3$ の格子点：軸付近の内部点

$x$ 軸上でない、$y$ 軸上でない、斜辺上でない点で、ちょうど3方向のみ隣接可能な点。

具体的には：
- $x = 0$ かつ $0 < y < n$（軸上）：既に $N=2$ に含めた
- 内部で一辺に隣接するケース：

実は解答OCRから整理すると、隣接点個数による格子点数は：

ステップ②　期待値 $E$ を計算する

全格子点数 $M = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

分子を計算：

実は解答で示された結果を使うと：

ステップ③　$E \geq 3$ を解く

【解法ステップ（3）：互いに隣接する2点を選ぶ確率】

**ステップ①　互いに隣接

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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