早稲田大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは、藤原進之介です！

今回は早稲田大学 2011年度の数学入試を徹底解説します。この年の問題は「幅広い範囲から出題」「時間配分が勝負」という特徴を持った、受験生にとって非常に良い練習材料です。

この記事を読み終わると、「この問題はこの公式を使う！」「なぜこの解法なのか納得できた！」という感覚が身につきます。さあ、一緒に頑張りましょう！

早稲田大学の数学ってどんな試験？

📋 試験形式

• 大問数：9問
• 時間：90分（通常）
• 難易度：標準～やや難
• 特徴：問題数が多く、時間配分が重要

🎯 出題範囲の特徴

早稲田大学の数学は「深さと広さの両立」を求めます。

たとえば、カレーの調理を考えてみてください。
- 基本的な材料（数学ⅠA）の使い方は完璧に
- でも時には複数の鍋を同時に扱い（複合問題）
- スピーディーに完成させる（時間管理）

これが早稲田数学のイメージです。計算量が多く、1問あたりの時間が限られているため、解法の判断が素早いことが求められます。

🧑 生徒：「9問も解くなんて、時間足りないんじゃないですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「そこが早稲田の狙いだね。全問完答を目指すのではなく『自分が確実に解ける問題を見極めて、そこで確実に得点を稼ぐ』が大事なんだ。つまり『選別力』が必要ってわけだよ。」

2011年度 大問1：対数関数と平面図形

【問題文】

曲線 $y = \log_a x$ 上に、その $x$ 座標をそれぞれ $\frac{1}{t}$, $t$, $2t$ （$t > 0$）とする3点P、Q、Rをとる。このとき、PとRの距離は ■① であり、△PQRの面積は ■② である。

【解法ポイント】

ステップ①：各点の座標を確定する

• $P\left(\frac{1}{t}, \log_a \frac{1}{t}\right) = \left(\frac{1}{t}, -\log_a t\right)$
• $Q(t, \log_a t)$
• $R(2t, \log_a 2t)$

ステップ②：ベクトル $\vec{PR}$ を計算する

ステップ③：距離 $|\vec{PR}|$ を計算する

■① の答え：$\sqrt{\frac{(2t^2-1)^2}{t^2} + (\log_a 2t^2)^2}$

ステップ④：三角形の面積を計算する

外積の大きさを利用：

$$= \frac{1}{8}|3t^2 - 1|\log_a t$$（$t > 0$ かつ $t \neq 1$ と仮定）

■② の答え：$\frac{1}{8}(3t-1)\log_a t$ または $\frac{3t}{8}$ （$a$ の値に応じて）

🧑 生徒：「なぜベクトルを使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。点の座標がわかっているときは『ベクトルと外積』を使うのが鉄則なんだ。外積で $\vec{PR} \times \vec{PQ} = |PR| \cdot |PQ| \cdot \sin\theta$ の形になるから、面積が一発で計算できるよ。」

2011年度 大問2：数論と確率

【問題文 第（1）問】

$a$, $b$ は整数で、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha$, $\beta$ をもつとする。α, β はともに整数であるか、ともに無理数であるかのいずれかであることを証明せよ。

【解法ポイント】

ステップ①：既約分数表現を仮定

$\alpha$, $\beta$ が整数でも無理数でもない有理数だと仮定し、矛盾を導く。

ここで $\gcd(q_i, p_i) = 1$（既約分数）。

ステップ②：解と係数の関係を利用

$$\alpha + \beta = -a \quad \text{(整数)}$$
$$\alpha\beta = b \quad \text{(整数)}$$

から、

ステップ③：分母の関係を導く

$p_2q_1 + p_1q_2 = mp_1p_2$ より、$p_1 \mid p_2q_1$。

$\gcd(p_1, q_1) = 1$ だから、$p_1 \mid p_2$。

同様に $p_2 \mid p_1$ であるから、$\boxed{p_1 = p_2}$ を得る。

ステップ④：既約分数の矛盾を導く

$\alpha\beta = \frac{q_1q_2}{p_1^2} = b$ （整数）なのに、既約性に矛盾。

結論：α, βは両方とも整数か、両方とも無理数である。✓

🧑 生徒：「『既約分数の矛盾』ってどういうことですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いいポイント！もし $q_1q_2 = b \cdot p_1^2$ なら、$q_1$ と $q_2$ の少なくとも一方は $p_1$ を因数に持つことになるんだ。でも既約性から $\gcd(q_i, p_i) = 1$ だから矛盾。つまり『整数でも無理数でもない有理数』は存在しえないってわけだよ。」

2011年度 大問3：確率と二項分布

【問題文】

コインを1日に4回投げる試行をTとする。表が出る確率を $p$ とするとき、2回以上表が出る確率 A を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：余事象を利用

ステップ②：二項分布で計算

ステップ③：確率Aを計算

展開して、

あるいは、$A = p^2[6 - 4p + p^2]$ とも表記できます。

検算：$p = 1$ を代入すると $A = 1$（必ず表が出る）✓

2011年度 大問4：軌跡と回転体の体積

【問題文】

$xy$平面上に3点 $O(0,0)$, $A(a,0)$, $P(x,y)$ がある。$P$ が

をみたすとき、$P$ の集合が空集合でないための $a$ の条件を求め、軌跡の方程式を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：距離の式を展開

ステップ②：円の方程式に整形

ステップ③：空集合でない条件

半径 $\geq 0$ だから、

ステップ④：軌跡の方程式

中心 $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$、半径 $\sqrt{l^2 - \frac{2a^2}{9}}$ の円です。

よくあるミスと注意点

❌ ミス1：「既約分数の仮定を見落とす」

誤り例：
$$\alpha = \frac{q_1}{p_1}, \quad \beta = \frac{q_2}{p_2}$$
と置いても、既約性を明記しないと、矛盾導出がうまくいきません。

正解：
必ず「$\gcd(q_i, p_i) = 1$（既約分数）」と明記してから進めましょう。

❌ ミス2：「ベクトル外積の符号を無視」

誤り例：
$$\text{面積} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \times \vec{b}$$

絶対値記号を忘れると負の面積が出ます。

正解：
$$\text{面積} = \frac{1}{2}|a_xb_y - a_yb_x|$$

❌ ミス3：「確率の余事象を計算し忘れ」

誤り例：
$A = P(\text{2回表}) = \binom{4}{2}p^2(1-p)^2$ だけで終了。

正解：
$A = P(\text{2回以上}) = 1 - P(\text{0回または1回})$ と明確に。

合格に向けた勉強法・おすすめ参考書

📚 参考書選びの戦略

早稲田の2011年度問題を解くなら、以下のレベル進行が効果的です。

基礎固め段階 → 標準問題 → 難問演習 → 実戦問題

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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