広島大学 2016年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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広島大学 2016年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読むと得られる3つの価値

広島大学 2016年度数学過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、2016年度広島大学の数学入試について、問題の背景から解法の本質まで徹底的に解説していきます。

この記事を読むことで、以下の3つが手に入ります：

✅ 広島大学数学の出題傾向と対策方針が完全に把握できる
✅ 2016年度の全大問の解法ステップを途中計算まで含めて理解できる
✅ 合格に直結する公式・解法パターンを体系的に身につけられる

👨‍🏫 藤原先生から一言：「広島大学の数学は、難問奇問ではなく、正統派の思考力を問う良問が揃っています。基礎をしっかり積み上げた生徒が正しく報われる試験です。一緒に本質から理解していきましょう！大丈夫、必ずできるようになるよ！」

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

広島大学の数学（理系）は以下の形式で実施されます：

項目	内容
試験時間	150分（9:00〜11:30）
大問数	5問（数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B）
解答形式	記述式（論述答案）
対象科目	数学Ⅰ、数学Ⅱ、数学Ⅲ、数学A、数学B
難易度帯	標準〜やや難（偏差値60〜65程度）

150分で5問を解くため、1問あたり平均30分が目安です。ただし、問題によって難易度差があるため、得意な大問から先に手をつける戦略が重要です。

広島大学数学の偏差値帯と求められるレベル

広島大学（理工系学部）の合格者平均偏差値は概ね60〜65程度です。数学に関しては、青チャート（チャート式基礎からの数学）の例題レベルが完璧に解けることが最低ライン、さらに1対1対応の演習（東京出版）で入試標準レベルまで仕上げることが理想的な準備となります。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

広島大学数学の頻出単元ランキングは以下の通りです：

順位	単元	出題頻度
1位	微分・積分（数学Ⅱ・Ⅲ）	ほぼ毎年
2位	図形と方程式・空間ベクトル	ほぼ毎年
3位	確率・場合の数	ほぼ毎年
4位	数列・漸化式	ほぼ毎年
5位	データの分析・統計	近年頻出

特筆すべきは、数学Ⅲの微積分が毎年出題されており、逆関数・置換積分などの技法が問われます。また、ベクトルを用いた空間図形も頻出で、内積の計算や直交条件を活用する問題が多いです。

他大学との違い・特徴

東京大学：論述の厳密さと発想力が最優先。一行一行の論理展開が採点対象。
京都大学：計算量は少なめだが、独自の発想・洞察力が問われる。
広島大学：正統派の計算力と基礎理論の正確な理解が問われる。公式の暗記ではなく「なぜその公式が成り立つか」を理解している生徒が有利。

広島大学の特徴として、問題文が複数のパートに分かれており、前の小問の結果を次の小問で利用する連鎖構造になっていることが多いです。これは「前の答えを間違えると後ろも全滅する」というリスクがある一方、「誘導に乗れれば解ける」という安心感もあります。

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな問題が多いんですか？傾向を教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学はね、ベクトルの内積を使った直交条件 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ や、逆関数・置換積分 といった数学Ⅲの技法が特に頻出なんだ。例えば、2016年度は $\vec{OA} \perp \vec{d}$ という条件から $\vec{OA} \cdot \vec{d} = 0$ を立てて $t$ を求めさせる問題が出たよ。公式を暗記するだけじゃなく、『内積がゼロになると垂直』という本質を理解していれば、初見の設定でも対応できるんだ！」

📢 まずは広島大学の出題スタイルを把握することが第一歩！基礎を固めれば必ず解けるようになるよ！

【セクション3】2016年度出題テーマ速報と分析

2016年度大問別テーマ一覧

大問	テーマ	単元	難易度
大問1（試験紙1）【1】	空間ベクトル・内積・四面体の体積	数学B（ベクトル）	★★★☆☆
大問1（試験紙1）【2】	逆関数・導関数・定積分	数学Ⅲ（微積分）	★★★★☆
大問2（試験紙2）【1】	円と放物線の接線・面積	数学Ⅱ（図形と方程式・積分）	★★★☆☆
大問2（試験紙2）【2】	四角形・余弦定理・角度	数学Ⅰ（図形と計量）	★★★★☆
大問2（試験紙2）【3】	空間ベクトル（再掲・同一問題）	数学B	★★★☆☆
大問2（試験紙2）【4】	確率・状態遷移	数学A（確率）	★★★★☆
大問2（試験紙2）【5】	データの分析・分散の証明	数学Ⅰ（データの分析）	★★★☆☆

難易度評価と合格ラインの目安

2016年度の全体的な難易度は標準〜やや難で、例年通りの水準です。5問中、【1】空間ベクトル、【1】の【2】微積分（逆関数）、【4】確率（状態遷移） が難所でした。

合格ライン目安：5問中3問完答＋2問で部分点（総得点の60〜65%程度）が合格圏とされます。特に【5】データの分析は証明問題も含まれますが、丁寧に論述すれば部分点を積み重ねやすい大問です。

得点戦略

まず手をつけるべき問題：大問【1】のベクトル(1)(2)、【1】の逆関数(1)、【5】の(1)(2)(3)
時間をかける問題：大問【4】の確率（状態遷移を正確に把握するのに時間を要する）
捨て問候補：大問【4】の(4)（一般化されており難度が高い）

📢 2016年度は「基礎をしっかり積んだ受験生」が有利な年でした。一つ一つ確実に取っていこう！

【セクション4】全大問問題・解説

大問1【1】：空間ベクトル・内積・四面体の体積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

座標空間に4点 $O(0,0,0)$，$A(s,s,s)$，$B(-1,1,1)$，$C(0,0,1)$ がある。ただし，$s > 0$ とする。$t, u, v$ を実数とし，

$$\vec{d} = \vec{OB} - t\vec{OA}, \quad \vec{e} = \vec{OC} - u\vec{OA} - v\vec{OB}$$

とおく。

(1) $\vec{OA} \perp \vec{d}$ のとき，$t$ を $s$ を用いて表せ。

(2) $\vec{OA} \perp \vec{d}$，$\vec{OA} \perp \vec{e}$，$\vec{d} \perp \vec{e}$ のとき，$u, v$ を $s$ を用いて表せ。

(3) (2)のとき，2点 $D, E$ を $\vec{OD} = \vec{d}$，$\vec{OE} = \vec{e}$ となる点とする。四面体 $OADE$ の体積が 2 であるとき，$s$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
内積の定義	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
直交条件	$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
ベクトルの大きさ	$\vert \vec{a} \vert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
四面体の体積	$V = \frac{1}{3} \times \text{（底面積）} \times \text{（高さ）}$

【解法ステップ】

(1) $t$ を $s$ を用いて表す

ステップ① $\vec{d}$ を成分で表す：

$$\vec{OA} = (s, s, s), \quad \vec{OB} = (-1, 1, 1)$$

$$\vec{d} = \vec{OB} - t\vec{OA} = (-1, 1, 1) - t(s, s, s) = (-1-st,\ 1-st,\ 1-st)$$

ステップ② $\vec{OA} \perp \vec{d}$ の条件（内積＝0）を立てる：

$$\vec{OA} \cdot \vec{d} = s(-1-st) + s(1-st) + s(1-st) = 0$$

ステップ③ 展開して整理する：

$$-s - s^2 t + s - s^2 t + s - s^2 t = 0$$

$$s - 3s^2 t = 0$$

$$s(1 - 3st) = 0$$

$s > 0$ なので $s \neq 0$ より：

$$1 - 3st = 0 \implies \boxed{t = \frac{1}{3s}}$$

(2) $u, v$ を $s$ を用いて表す

ステップ① (1) の結果 $t = \frac{1}{3s}$（つまり $st = \frac{1}{3}$）を使う。

$\vec{e}$ を成分で表す：

$$\vec{OC} = (0, 0, 1)$$

$$\vec{e} = \vec{OC} - u\vec{OA} - v\vec{OB} = (0,0,1) - u(s,s,s) - v(-1,1,1)$$

$$= (0 - su + v,\ 0 - su - v,\ 1 - su - v) = (-su+v,\ -su-v,\ 1-su-v)$$

ステップ② $\vec{OA} \perp \vec{e}$ の条件（内積＝0）：

$$\vec{OA} \cdot \vec{e} = s(-su+v) + s(-su-v) + s(1-su-v) = 0$$

$$-s^2 u + sv - s^2 u - sv + s - s^2 u - sv = 0$$

$$s - 3s^2 u - sv = 0$$

$$1 - 3su - v = 0 \implies 3su + v = 1 \quad \cdots②$$

ステップ③ $\vec{d} \perp \vec{e}$ の条件（内積＝0）。ここで $st = \frac{1}{3}$ を代入：

$\vec{d}$ の成分は $t = \frac{1}{3s}$ のとき：

$$\vec{d} = \left(-1 - s \cdot \frac{1}{3s},\ 1 - s \cdot \frac{1}{3s},\ 1 - s \cdot \frac{1}{3s}\right) = \left(-\frac{4}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\right)$$

$$\vec{d} \cdot \vec{e} = \left(-\frac{4}{3}\right)(-su+v) + \frac{2}{3}(-su-v) + \frac{2}{3}(1-su-v) = 0$$

展開すると：

$$\frac{4}{3}su - \frac{4}{3}v - \frac{2}{3}su - \frac{2}{3}v + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}su - \frac{2}{3}v = 0$$

$su$ の係数：$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$（消える）

$v$ の係数：$-\frac{4}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$

定数：$\frac{2}{3}$

$$-\frac{8}{3}v + \frac{2}{3} = 0 \implies -4v + 1 = 0 \implies \boxed{v = \frac{1}{4}}$$

ステップ④ $v = \frac{1}{4}$ を②に代入：

$$3su + \frac{1}{4} = 1 \implies 3su = \frac{3}{4} \implies su = \frac{1}{4} \implies \boxed{u = \frac{1}{4s}}$$

(3) 四面体 $OADE$ の体積が 2 のとき $s$ を求める

ステップ① 各ベクトルの大きさを求める：

$$\vert \vec{OA} \vert = \sqrt{s^2 + s^2 + s^2} = \sqrt{3}\, s$$

$$\vec{d} = \left(-\frac{4}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\right) \implies \vert \vec{d} \vert = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$

$$\vec{e} = \left(0 - s\cdot\frac{1}{4s} + \frac{1}{4},\ -s\cdot\frac{1}{4s} - \frac{1}{4},\ 1 - s\cdot\frac{1}{4s} - \frac{1}{4}\right) = \left(0,\ -\frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)$$

$$\vert \vec{e} \vert = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

ステップ② $\vec{OA}$，$\vec{OD}$，$\vec{OE}$ が互いに直交しているので，四面体 $OADE$ の体積公式を適用：

3辺が互いに直交する四面体（直角四面体）の体積は：

$$V = \frac{1}{6} \vert \vec{OA} \vert \cdot \vert \vec{OD} \vert \cdot \vert \vec{OE} \vert$$

$$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3}\,s \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

ステップ③ 計算を丁寧に進める：

$$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3}\,s \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$= \frac{1}{6} \cdot \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{6} \cdot s$$

$$= \frac{1}{6} \cdot \frac{2\sqrt{36}}{6} \cdot s = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 6}{6} \cdot s = \frac{1}{6} \cdot 2s = \frac{s}{3}$$

ステップ④ $V = 2$ とおいて $s$ を求める：

$$\frac{s}{3} = 2 \implies \boxed{s = 6}$$

【藤原先生の解説】

このベクトルの問題で大切なのは、「直交する＝内積がゼロ」という内積の直交条件を自動的に思い浮かべる習慣です。料理に例えると、「塩を入れすぎると辛い」という法則を知っているように、「垂直ならば内積はゼロ」という法則を反射的に使えるようにしておくことが大事です。

また、(3)のポイントは「$\vec{OA}$，$\vec{OD}$，$\vec{OE}$ が互いに直交」という条件から、直角四面体の体積公式 $V = \frac{1}{6}|\vec{OA}||\vec{OD}||\vec{OE}|$ を導けるかどうかです。通常の四面体の体積公式 $V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ から、直交三辺の場合は $\frac{1}{6}$ になることを理解しておきましょう。

🧑 生徒：「(3)の四面体の体積って、どうやって計算するんですか？三辺が直交しているのを使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「そう！$\vec{OA}$，$\vec{OD}$，$\vec{OE}$ が互いに直交しているとき、四面体 $OADE$ は直角四面体になるんだ。このとき体積は $V = \frac{1}{6}|\vec{OA}||\vec{OD}||\vec{OE}|$ で求められるよ。これは「$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}|\vec{OD}||\vec{OE}| \times |\vec{OA}|$」という順序で、まず底面（$\vec{OD}$ と $\vec{OE}$ が直交して作る直角三角形の面積 $= \frac{1}{2}|\vec{OD}||\vec{OE}|$）を求めて、高さ $|\vec{OA}|$ をかける、という流れで導けるんだ。だから結果として $\frac{s}{3} = 2$ より $s = 6$ になるよ！」

【この大問で身につく力】

内積を用いた直交条件の設定と連立方程式の解法、さらに直交四面体の体積公式への応用力が鍛えられます。空間ベクトルの本質的な理解が深まります。

📢 ベクトルは「成分計算に落とし込む」と機械的に解ける！内積の意味を体で覚えよう！

大問1【2】：逆関数・導関数・定積分（難易度★★★★☆）

【問題文】

(1) $a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = \dfrac{e^x - ae^{-x}}{2}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。

(2) (1)で求めた $f^{-1}(x)$ の導関数を求めよ。

(3) $c$ を正の定数とする。$x$ 軸，$y$ 軸，直線 $x = c$ および曲線 $y = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + c^2}}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
逆関数の求め方	$y = f(x)$ を $x$ について解き，$x$ と $y$ を入れ替える
合成関数の微分	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
商の微分	$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
逆関数の微分法	$\left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
対数の微分	$(\log(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$

【解法ステップ】

(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める

ステップ① $y = \dfrac{e^x - ae^{-x}}{2}$ とおき，$e^x = X$ と置換する：

$$2y = e^x - ae^{-x} = X - \frac{a}{X}$$

両辺に $X$ をかけると：

$$2yX = X^2 - a$$

$$X^2 - 2yX - a = 0$$

ステップ② 二次方程式の解の公式：

$$X = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 4a}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 + a}$$

$X = e^x > 0$ なので：

$$e^x = y + \sqrt{y^2 + a} \quad \left(\because \sqrt{y^2 + a} > |y| \geq -y \text{ より必ず正}\right)$$

ステップ③ $x$ について解く：

$$x = \log\left(y + \sqrt{y^2 + a}\right)$$

$x$ と $y$ を入れ替えて：

$$\boxed{f^{-1}(x) = \log\left(x + \sqrt{x^2 + a}\right)}$$

(2) $f^{-1}(x)$ の導関数を求める

ステップ① $f^{-1}(x) = \log\left(x + \sqrt{x^2 + a}\right)$ を微分する：

外側 $\log$ の微分と，内側の微分を合成：

$$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{d}{dx}\left(x + \sqrt{x^2+a}\right)$$

ステップ② 内側の微分：

$$\frac{d}{dx}\left(x + \sqrt{x^2+a}\right) = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+a}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{\sqrt{x^2+a} + x}{\sqrt{x^2+a}}$$

ステップ③ 合わせると：

$$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}}$$

(3) 面積を求める

ステップ① 求める面積 $S$ は：

$$S = \int_0^c \frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}\, dx$$

ステップ② (2)の結果を使う：$a = c^2$ と置くと，$\dfrac{d}{dx}\log\left(x + \sqrt{x^2+c^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$

つまり $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$ の不定積分は $\log\left(x + \sqrt{x^2+c^2}\right) + C$

ステップ③ 定積分を計算：

$$S = \left[\log\left(x + \sqrt{x^2+c^2}\right)\right]_0^c$$

$$= \log\left(c + \sqrt{c^2+c^2}\right) - \log\left(0 + \sqrt{0+c^2}\right)$$

$$= \log\left(c + c\sqrt{2}\right) - \log(c)$$

$$= \log\left(\frac{c(1+\sqrt{2})}{c}\right)$$

$$= \boxed{\log(1+\sqrt{2})}$$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「(1)→(2)→(3)の誘導の流れに乗ること」です。(3)の積分 $\int_0^c \frac{dx}{\sqrt{x^2+c^2}}$ が一見して「どう計算するの？」となる生徒が多いですが、(2)で求めた導関数がまさにこれの原始関数になっています。

これはまるでゲームのヒント機能みたいなものです。「前の問題がヒントになっている」という視点を常に持つことが、広島大学の誘導型問題攻略の鍵です。

また、(1)の逆関数の導出では**$e^x = X$ と置いて二次方程式に帰着

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

**藤原進之介**（数強塾グループ代表）

Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。

**主要著書：**
- 『オールカラー高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テストパターンドリル情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ藤原のたった９時間でＩＴパスポート令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書共通テスト７日で完成情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介のゼロから始める情報I』（KADOKAWA）

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カテゴリー: 広島大学

タグ: 2016年度ベクトル・空間図形図形・幾何指数・対数関数

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難易度評価と合格ラインの目安

得点戦略

【セクション4】全大問問題・解説

大問1【1】：空間ベクトル・内積・四面体の体積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) $t$ を $s$ を用いて表す

(2) $u, v$ を $s$ を用いて表す

(3) 四面体 $OADE$ の体積が 2 のとき $s$ を求める

【藤原先生の解説】

【この大問で身につく力】

大問1【2】：逆関数・導関数・定積分（難易度★★★★☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める

(2) $f^{-1}(x)$ の導関数を求める

(3) 面積を求める

【藤原先生の解説】

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【セクション4】全大問 問題・解説

大問1【1】：空間ベクトル・内積・四面体の体積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) $t$ を $s$ を用いて表す

(2) $u, v$ を $s$ を用いて表す

(3) 四面体 $OADE$ の体積が 2 のとき $s$ を求める

【藤原先生の解説】

【この大問で身につく力】

大問1【2】：逆関数・導関数・定積分（難易度★★★★☆）

【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める

(2) $f^{-1}(x)$ の導関数を求める

(3) 面積を求める

【藤原先生の解説】

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