広島大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読む前に

広島大学 2014年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2014年度の広島大学数学を徹底解剖し、合格に必要なすべての知識・解法・対策を網羅します。

この記事で得られる3つの価値：

• ✅ 大問1・大問2 の完全解説（行列・1次変換・三角関数の積分・図形・等差数列）を途中計算まで丁寧に解説
• ✅ 広島大学数学の出題傾向と頻出テーマを把握し、効率的な学習計画が立てられる
• ✅ 合否を分けたポイントと典型的なミスを知ることで、本番での失点を防げる

👨‍🏫 藤原先生からの一言メッセージ

「広島大学の数学は『基礎の確実な運用』が合格への鍵だよ！難問奇問は少ないけれど、公式を使いこなす力・論述を正確に書く力・計算を丁寧にやり切る力が問われる。焦らず、一緒に一問一問攻略していこう！」

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

広島大学 数学の試験形式

広島大学の理系数学（前期日程）は、試験時間120分、大問数は例年4〜5問構成です。解答形式は記述式（論述形式）で、答えだけでなく「なぜそうなるか」という過程の論述が求められます。配点は各大問20〜25点程度で、全体で100点満点が基本です。

数学の偏差値帯は、理学部・工学部・医学部（保健学科）など学部によって異なりますが、おおむね偏差値55〜65程度のレベルを想定した問題が中心です。「東大・京大のような発想の転換が必要な難問」は少なく、「教科書の内容をしっかり理解して標準問題を確実に解ける力」を測る大学といえます。

広島大学 数学の過去傾向（頻出単元ランキング）

過去10年間の出題を分析すると、以下の単元が繰り返し登場しています：

特に「積分を使った面積・不等式証明」「数学的帰納法を使った証明」「確率の漸化式・期待値」が頻出です。2014年度はまさにこれらが凝縮された年度です。

他大学との違い・特徴

• 東大・京大：高度な発想力・思考の転換が必要。問題文は短くても本質的な難しさがある
• 阪大・名大：計算量が多く、ハイレベルな標準問題が中心
• 広島大学：標準問題をいかに確実・丁寧に解けるかが勝負。論述の形式・論理展開のきれいさも評価される

藤原先生コメント：「広島大学は『丁寧にやれば解ける問題』が多い大学なんだ。逆に言うと、基礎が曖昧なままだと取れる点数がガクッと落ちる。一問で5〜10点の部分点がもらえるから、途中まで正しく解けたら絶対に書き切ろう！」

会話①：広島大学数学の特徴について

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな単元が得意だと有利ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学では特に微積分の不等式証明・面積計算と数学的帰納法を使った数列の証明が頻出なんだ。例えば $F(x) = h(x) - g(x)$ とおいて $F''(x) \geq 0$ から単調性を導く手法や、$A^n \vec{w} = (-2)^n \vec{w}$ を帰納法で示す問題がよく出る。この2つの型を完璧にマスターするだけで、かなり点数が安定するよ！」

【セクション3】2014年度 出題テーマ速報と分析

2014年度 広島大学 数学 出題テーマ一覧

難易度評価と合格ライン

大問1は行列の固有値・固有ベクトル的な扱いと数学的帰納法が組み合わさった出題で、やや骨がある問題です。特に(2)(3)(4)の連携した論述が合否を左右します。大問1の[2]は三角関数の積分（部分積分）と不等式証明が組み合わさった問題で、計算力と証明力が試されます。

大問2は比較的取り組みやすい標準問題です。[1]は円の接線の性質をしっかり理解していれば、軌跡の導出は計算の流れで解けます。[2]は放物線の接線・等差数列・面積計算とオーソドックスな問題です。

合格ライン目安：100点満点中 55〜65点程度（学部・年度によって変動あり）。大問2を確実に取り、大問1でも部分点を最大化するのが合格への戦略です。

【セクション4】全大問 問題・解説（最重要）

大問1 [1]：行列・1次変換・固有ベクトル・数学的帰納法（難易度★★★★☆）

【問題文】

$a, b$ を実数、$a > 0$ とし、行列 $A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -2 & b \end{pmatrix}$ の定める1次変換を $f$ とする。$f$ によって、点 $P(1,0)$ が点 $P_1$ に移され、点 $P_1$ が点 $P_2$ に移されるものとする。$P$ が線分 $P_1P_2$ の中点であるとき、次の問いに答えよ。

(1) $a, b$ を求めよ。

(2) ある実数 $c$ に対して $c\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OP_1} = (v_1, v_2)$ とするとき、$A\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ が成り立つ。$c$ を求めよ。

(3) $\overrightarrow{PP_1} = (w_1, w_2)$ とする。すべての自然数 $n$ に対して $A^n \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = (-2)^n \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}$ が成り立つことを、数学的帰納法によって証明せよ。

(4) (2) と (3) の $v_1, v_2, w_1, w_2$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s(v_1, v_2) + t(w_1, w_2)$ となる実数 $s, t$ を求め、$A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $n$ を用いて表せ。（$n$ は自然数）

【使う公式・定理】

【(1) の解法ステップ】

ステップ① 1次変換の性質から各点の座標を求める。

$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、

ステップ② 中点条件を立式する。

$P$ が線分 $P_1P_2$ の中点であるから、

これを成分ごとに書くと：

ステップ③ 連立方程式を解く。

上の式から：$2 = a^2 + a - 4$ すなわち $a^2 + a - 6 = 0$、つまり $(a+3)(a-2) = 0$

$a > 0$ より $a = 2$

下の式から：$0 = -2 + (-2 \cdot 2 - 2b)$ すなわち $0 = -2 - 4 - 2b$、$2b = -6$、$b = -3$

この時点で $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$、$\overrightarrow{OP_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$、$\overrightarrow{OP_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ と確定します。

【(2) の解法ステップ】

ステップ① $A\vec{v} = \vec{v}$ の意味を整理する。

ステップ② $A\vec{v} = \vec{v}$ を解く。

これが $\vec{v} = \begin{pmatrix} c+2 \\ -2 \end{pmatrix}$ に等しいから：

ステップ③ 上の式から $c = 2$、下の式からも $c = 2$（一致することを確認）

このとき $\vec{v} = (v_1, v_2) = (4, -2)$

【(3) の解法ステップ：数学的帰納法】

ステップ① $(w_1, w_2)$ を求める。

よって $(w_1, w_2) = (1, -2)$、$\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

ステップ② 数学的帰納法で「$A^n \vec{w} = (-2)^n \vec{w}$（★）」を示す。

(I) $n = 1$ のとき：

$n = 1$ で（★）は成立。

(II) $n = k$ で成立を仮定（$A^k\vec{w} = (-2)^k\vec{w}$）して $n = k+1$ を示す：

$n = k$ で成立を仮定すれば $n = k+1$ でも（★）は成立。

(I)(II) より、すべての自然数 $n$ に対して（★）は成立。（証明終）

【(4) の解法ステップ】

ステップ① $\overrightarrow{OP} = s\vec{v} + t\vec{w}$ の $s, t$ を求める。

連立方程式：

下の式から $s = -t$。上の式に代入：$4(-t) + t = 1$、$-3t = 1$、$t = -\dfrac{1}{3}$、$s = \dfrac{1}{3}$

ステップ② $A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を求める。

$A\vec{v} = \vec{v}$（固有値1に対する固有ベクトル）より $A^n\vec{v} = \vec{v}$

【藤原先生の解説：行列の固有値・固有ベクトルのイメージ】

「$A\vec{v} = \vec{v}$ や $A\vec{w} = -2\vec{w}$ って何を意味するの？」

スポーツで例えると、ベクトル $\vec{v}$ は「1次変換 $A$ をかけても方向が変わらないベクトル（固有値1）」、ベクトル $\vec{w}$ は「$A$ をかけると逆向きに2倍になるベクトル（固有値$-2$）」だよ。バスケのパスをイメージして、どんな方向のパスを出しても、着地点が決まった比率でしか変わらない、特別な方向があるというイメージだね。

この問題の本質は、「行列のべき乗を固有ベクトルに分解して計算する」 という発想です。ランダムなベクトルを固有ベクトルの線形結合で表せれば、$A^n$ の計算が格段に楽になります。これが行列のパワーだよ！

会話②：固有ベクトルと帰納法について

🧑 生徒：「(3)の数学的帰納法で、$A^{k+1}\vec{w}$ の変形がよくわかりません。どうして $A \cdot A^k\vec{w}$ の順番で変形するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！$A^{k+1} = A \cdot A^k$ という行列の積の結合法則を使っているんだ。$A^{k+1}\vec{w} = A \cdot (A^k\vec{w})$ と分けて、帰納法の仮定 $A^k\vec{w} = (-2)^k\vec{w}$ を代入すると、$A \cdot (-2)^k\vec{w} = (-2)^k \cdot A\vec{w}$（スカラーは前に出せる）、そして $n=1$ で示した $A\vec{w} = -2\vec{w}$ を使って $(-2)^k \cdot (-2)\vec{w} = (-2)^{k+1}\vec{w}$ となるんだ。帰納法の仮定と $n=1$ の結果を組み合わせて示すのがポイントだよ！」

【この大問で身につく力】

行列の1次変換を「固有ベクトルへの分解」という視点で捉える思考力と、数学的帰納法を用いた論述力が鍛えられます。行列のべき乗計算の本質的な理解につながります。

大問1 [2]：三角関数・接線・不等式証明・面積計算（難易度★★★★☆）

【問題文】

二つの関数 $f(x) = x\sin x$、$g(x) = \sqrt{3}\,x\cos x$ について次の問いに答えよ。

(1) 2曲線 $y = f(x)$、$y = g(x)$ の共有点のうち、$x$ 座標が $-\pi \leq x \leq \pi$ であるものをすべて求めよ。

(2) (1) で求めた共有点のうち、$x$ 座標が正である点を $A(a, f(a))$ とする。点 $A$ における曲線 $y = g(x)$ の接線を $y = h(x)$ と表し、$h(x)$ を求めよ。

(3) $0 \leq x \leq a$ のとき、$h(x) \geq g(x)$ であることを示せ。

(4) $0 \leq x \leq a$ の範囲において、$y$ 軸、曲線 $y = g(x)$、および直線 $y = h(x)$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【(1) の解法ステップ】

ステップ① $f(x) = g(x)$ を解く。

ステップ② 合成公式を使う。

よって $x \cdot 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$

ステップ③ 各因数が0の場合を解く。

$x = 0$ または $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$

$-\pi \leq x \leq \pi$ より $-\dfrac{4\pi}{3} \leq x - \dfrac{\pi}{3} \leq \dfrac{2\pi}{3}$

この範囲で $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$ となるのは $x - \dfrac{\pi}{3} = -\pi$ または $0$

すなわち $x = -\dfrac{2\pi}{3}$ または $x = \dfrac{\pi}{3}$

共有点：

• $x = 0$：$(0, 0)$
• $x = -\dfrac{2\pi}{3}$：$f\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{2\pi}{3}\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{2\pi}{3} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi$、点 $\left(-\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{\sqrt{3}\pi}{3}\right)$
• $x = \dfrac{\pi}{3}$：$f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}$、点 $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}\right)$

【(2) の解法ステップ】

ステップ① $x$ 座標が正の共有点は $A\!\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}\right)$ なので $a = \dfrac{\pi}{3}$。

ステップ② $g(x) = \sqrt{3}\,x\cos x$ を微分する（積の微分）。

ステップ③ $x = \dfrac{\pi}{3}$ での接線の傾きを求める。

$$g'!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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