早稲田大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

今回は、早稲田大学 2009年度の数学入試問題を徹底解説します。この年の早稲田数学は「幅広い範囲」「計算量が多い」「時間配分の工夫が重要」という特徴をもっています。本記事を読めば、「あ、この問題はこの公式・定理を使うんだ！」と具体的な解き方が見えてきますよ。

早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度

早稲田大学の数学入試は、9つの大問から構成されており、試験時間内にいかに効率よく解くかが勝負になります。問題数が多いのが特徴で、標準レベル〜やや難レベルの問題が幅広い分野から出題されます。

難易度の分布：
- 標準問題（50%）：確実に得点すべき問題
- 応用問題（30%）：思考力が必要
- 難問（20%）：差がつく問題

🧑 生徒：「9問も解かなきゃいけないんですか？時間が足りなくなりそう…」
👨‍🏫 藤原先生：「そうだね。だから大事なのは『優先順位』なんだ。得意な分野を先に解いて確実に点を取る、得点率80%を目指すくらいの気持ちでいいんですよ。完璧を目指すと失敗することが多いんだ。」

2009年度 全問題と解説

大問1：数列と空間座標の融合問題

【問題文】

条件 $a_1 = 1, a_2 = 2, 3a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n = 0$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について、次の各問に答えよ。

(1) 第3項 $a_3$ を求めよ。

(2) $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、$b_{n+1}$ を $b_n$ の式で表せ。

(3) 一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

また、座標空間内の点 $O(0, 0, 0)、A(0, 0, 1)、B(0, 2, \sqrt{2})、P(x, y, z)$ について、$\cos\angle OAP = \sqrt{\frac{2}{3}}$ であり、$\angle BOP = 90°$ である。このとき、

(1) $z$ を $y$ の式で表せ。

(2) $y$ を $x$ の式で表せ。

(3) $z$ の最大値を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：特性方程式を立てる

漸化式 $3a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n = 0$ を変形します。

これを 階差数列 として考えるため、$b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義します。

ステップ②：階差数列の漸化式を得る

元の漸化式から：

$$3(a_{n+2} - a_{n+1}) - 2(a_{n+1} - a_n) = 0$$
$$3b_{n+1} = 2b_n$$
$$b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n$$

これは公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列です！

ステップ③：階差数列の一般項

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$ より：

ステップ④：元の数列を求める

階差数列の和の公式を使います：

等比級数の公式 $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r}$ を適用：

【解説】

この問題は「階差数列による漸化式の解法」の重要なパターンです。$3a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n = 0$ という形は、一見複雑に見えますが、差分を取ることで等比数列に変換できます。

青チャート（チャート式 基礎からの数学）の漸化式の章に同じパターンがありますので、そこで基礎を固めておくことをお勧めします。

🧑 生徒：「特性方程式じゃなくて階差数列で解くんですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「そこがポイントだね。特性方程式を使う方法もあるけど、この問題は『階差で置換する』という手法が明示されているんだ。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義したら、その関係式を求める—これが解法の道標になってるんですよ。」

大問2：複素数と行列の計算

【問題文】

(1) $\omega^3 = 1, \omega \neq 1$ とし、$A = \begin{bmatrix} -\omega^2 & -\omega \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ とする。

と表すとき、$a + b + c + d$ を求めよ。

(2) $x_1, x_2, \ldots, x_{1005}$ が、

かつ $x_1 + x_2 + \cdots + x_{1005} = 2010$ を満たすとき、$x_{21}$ を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：行列 $A$ の周期性を調べる

$A^2, A^3$ を計算します：

つまり、$A$ は周期3の行列です。

ステップ②：周期3を利用した計算

$2009 = 3 \times 669 + 2$ であるため：

$A + A^2 + E$ を計算し、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を使って簡約します。

最終的に $a + b + c + d = \boxed{4018}$

ステップ③：比例式の解法

(2)の各式 $\frac{x_n}{x_n + (2n-1)} = t$ から：

$\sum x_n = 2010$ の条件を使うと：

したがって：

大問3：積分と確率

【問題文】

0から9までの数字が1つずつ記入された10枚のカードがある。この中から3枚のカードを同時に取り出し、それらの数を $a, b, c$ $(a > b > c)$ とし、

とする。

(1) $S$ を $a, b, c$ で表せ。

(2) $S = 0$ であるためには、$a$ は 3 の倍数でなければならないことを示せ。

(3) $S = 0$ となる確率を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：積分を計算する

整理すると：

ステップ②：$S = 0$ の条件を分析する

$S = 0$ ⟺ $a^3 = 3a(ab - 3c)$ ⟹ $a^2 = 3(ab - 3c)$

$a, b, c$ は整数で、右辺は 3 の倍数なので左辺も 3 の倍数。したがって $a$ は 3 の倍数。

ステップ③：$a = 3, 6, 9$ に場合分けする

• $a = 3$：$c = b - 1$ ⟹ $(3, 2, 1), (3, 1, 0)$ で 2 通り
• $a = 6$：$c = 2b - 4$ ⟹ $(6, 3, 2), (6, 2, 0)$ で 2 通り
• $a = 9$：$c = 3b - 9$ ⟹ $(9, 4, 3), (9, 3, 0)$ で 2 通り

合計 6 通り、総数は $\binom{10}{3} = 120$ なので確率は $\boxed{\frac{1}{20}}$

【解説】

この問題は「積分計算 → 整数論 → 確率」という3段階の思考が必要です。特に(2)で「$a$ が 3 の倍数」という条件を導き出すには、整数の性質をしっかり理解していることが大切です。フォーカスゴールド（啓林館）は このような「なぜそうなるのか」を丁寧に解説している参考書なので、確実に基礎を固めたい人にお勧めです。

大問4：関数と不等式

【問題文】

正の実数 $\alpha, \beta$ について、

とする。このとき、次の各問に答えよ。

(1) $\frac{x^2}{y}$ の最小値を求め、そのときの $\alpha$ と $\beta$ の関係式を求めよ。

(2) 等式 $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha^3 + \beta^3$ が成り立つとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

(3) 等式(2)が成り立つとき、$x$ のとり得る値の範囲を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：相加平均・相乗平均不等式を使う

AM-GM不等式より $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \geq 2$，等号は $\alpha = \beta$ のとき。

したがって最小値は $\boxed{4}$、等号条件は $\alpha = \beta$

ステップ②：条件式を変形する

$\alpha^2 + \beta^2 = \alpha^3 + \beta^3$ から：

$$x^2 - 2y = x^3 - 3xy$$
$$(3x - 2)y = x^3 - x^2$$
$$y = \frac{x^3 - x^2}{3x - 2

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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