早稲田大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

👨‍🏫 藤原先生です！

今回は、早稲田大学 2007年度の数学入試について、受験生の皆さんと一緒に詳しく解説していきます。この試験は「多くの問題を限られた時間で解く」という、早稲田数学の典型的な特徴がよく表れています。

この記事では、すべての大問を具体的な解き方とともに紹介し、「どの公式を使うのか」「なぜこの方法なのか」という本質的な理解を目指します。大丈夫、一緒に頑張ろう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式と特徴

早稲田大学の数学は、多くの大学と異なり、問題数が圧倒的に多いのが特徴です。2007年度は8つの大問が出題されており、実質的に「短時間で精密な判断ができるかどうか」を問う試験になっています。

難易度は標準～やや難レベルで、「超難問」はあまりありません。しかし、各問題が様々な単元から出題されるため、「どの単元に属する問題か」を素早く見抜く力が必須です。

🧑 生徒：「問題数が多いと、どうすればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！早稲田の多問型試験は『時間配分の最適化』が重要なんだ。例えば、野球で言えば『打数は多いけど、一球ごとの判断速度が大事』ってわけ。易しい問題は素早く解いて、難しい問題に時間を使うバランス感覚を磨くことが大切だよ。」

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📝 2007年度 全8問 完全解説

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大問1：ベクトルと内積

【問題文】

空間内に異なる3点O、A、Bがあり、それらは一直線上にない。点Oを始点とし、終点をそれぞれA、Bとするベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$とするとき、次の各問に答えよ。

(1) A、Bを通る直線ℓのベクトル方程式を、$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。ただし、直線ℓ上の任意の点をP、かつ、$\vec{OP}=\vec{p}$とし、媒介変数をtとせよ。

(2) $|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=2$かつ$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角をθ（$0°\leq θ \leq 180°$）とし、ベクトル$\vec{p}$と直線ℓが直交するとする。このとき、$\vec{p}$、$\vec{a}$、$\vec{b}$およびθを用いて表せ。

(3) (2)の条件のもとで、Pが線分ABを12:7に内分するとき、角θを求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：直線の基本ベクトル方程式を立てる
• ステップ②：ベクトルの垂直条件（内積＝0）を適用する
• ステップ③：内分点の条件から角度を求める

【解説】

(1) 直線ℓのベクトル方程式

直線ℓ上の点Pは、点Aを通り方向ベクトルが$\vec{AB}$の直線上にあります。したがって：

これを整理すると：

または、$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$という形で答えられます。

(2) 垂直条件から$\vec{p}$を求める

ベクトル$\vec{p}$と直線ℓが直交する⟹$\vec{p} \perp \vec{AB}$

(1)の形を代入します：

数値を代入：

したがって：

(3) 内分12:7の条件

Pが線分ABを12:7に内分⟹$t = \frac{12}{19}$

交差乗算：

🧑 生徒：「なぜ内分比が$\frac{12}{19}$になるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「優れた質問だね！線分ABを12:7に内分するというのは『AからBへ向かう方向に、全体の$\frac{12}{12+7}=\frac{12}{19}$だけ進んだ地点』という意味なんだ。内分点の公式$\vec{p} = \frac{7\vec{a} + 12\vec{b}}{19}$と比較してみると、tの値が直接対応することがわかるよ。」

このセクションのまとめ：ベクトルの垂直条件と内分比をしっかり理解できれば、空間図形問題も怖くありません。繰り返し練習しましょう！

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大問2：背理法による証明問題

【問題文】

a、bが有理数のとき、$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0$であれば、$a=b=0$であることを証明する。

【解法ポイント】

• 背理法を使う
• 有理数と無理数の性質を活用

【解説】

証明 $b≠0$と仮定します。すると：

左辺は有理数（$a,b$が有理数で$b≠0$）なので：

（$m,n$は互いに素な正の整数）と書けます。両辺を2乗：

2と3が互いに素なので、$m^2$は2の倍数⟹$m$は2の倍数です。

$m = 2ℓ$とおくと：

これより$n^2$は6の倍数⟹$n$も6の倍数。

しかしこれは「$m,n$が互いに素」という仮定に矛盾します。

したがって$b=0$、このとき$a=0$。∴$a=b=0$ □

このタイプの問題は、「有理数・無理数の関係」をしっかり理解していれば確実に得点できます！

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大問3：対数関数と最大・最小値

【問題文】

$a>1/2$を満たす定数とする。$1 \leq x \leq 2a$のとき、

の最大値と最小値を求めよ。

【解法ポイント】

• 対数の性質：$\log_a(x^2/a^2) = 2\log_a(x/a)$
• 置換して二次関数の最大・最小を求める
• $a$の値による場合分け

【解説】

まず対数を整理します：

$X = \log_a x$とおくと、$1 \leq x \leq 2a$より：

すると：

これは頂点が$(1/2, -1/2)$の上に凸な放物線です。

場合分け：

• $a > 2$のとき：$1 + \log_a 2 < 1 + \log_2 2 = 1$
  最大値：$f(0) = 0$、最小値：$f(1/2) = -1/2$

• $1/2 < a \leq 2$のとき：$0 < 1 + \log_a 2 \leq 1$
  最大値：$f(1+\log_a 2) = 2(1+\log_a 2)(log_a 2) = 2\log_a 2(1+\log_a 2)$
  最小値：$f(1/2) = -1/2$

このように、$a$の範囲によって答えが変わることに気づく力が重要です。ブルーチャート『チャート式 基礎からの数学』などで、このような「場合分けを伴う最大・最小問題」を繰り返し練習しましょう！

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大問4：確率と最大値

【問題文】

表が出る確率が$p$（$0

(1) $p$がいろいろな値をとるとき、$x$のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $p^2+q^2$、$p^4+q^4$をそれぞれ$x$で表せ。

(3) 試行がちょうど7回で終了する確率$y$を$x$で表せ。

(4) $y$を最大にする$x$の値を求めよ。

【解法ポイント】

• $x=pq$の範囲：相加相乗平均
• $p^2+q^2$：$(p+q)^2 - 2pq$ を活用
• 試行パターンの列挙
• 導関数で最大値を求める

【解説】

(1) $x$の範囲

$0 < p < 1$のとき、最大値は$p=1/2$で$x=1/4$です。

(2) べき乗和の計算

(3) ちょうど7回で終了する確率

終了パターンを考えると、「表→裏→表」の後、残り6回で表と裏の切り替わりが高々1回です。

可能なパターンは：

回数	パターン（O=表、U=裏）
1-5	OOOOOU, OOOUU, OOUUU, OUUUU, UUUUU

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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