広島大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で広島大学数学を完全制覇しよう！

広島大学 2012年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、広島大学2012年度の数学過去問を、基礎から丁寧に・徹底的に解説していきます。

この記事で得られる3つの価値：
- ✅ 2012年度全大問の完全解法：途中計算を一切省略せず、なぜその解法を選ぶのかを根本から理解できる
- ✅ 広島大学数学の傾向と対策：頻出単元・出題パターン・合否を分けたポイントを完全網羅
- ✅ 合格までのロードマップ：レベル別参考書ガイドと時期別学習計画で、今日から動ける！

👨‍🏫 藤原先生より：「広島大学の数学は『標準レベルの問題を確実に解ける力』が問われる試験です。難問に時間をかけるより、基礎・標準問題を丁寧に積み上げることが合格への最短ルートです。一緒にやっていきましょう！」

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

試験形式・配点・時間

広島大学の数学（理系）は、以下のような形式で実施されます：

記述式なので、途中の論理展開・計算過程を明確に示すことが非常に大切です。答えだけ合っていても、論述が不完全では満点はもらえません。「証明せよ」型の問題が多く出題されるのも広島大学の特徴です。

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学の理系学部の偏差値は概ね 55〜65 程度（学部により異なる）。数学に求められるレベルは、青チャートやフォーカスゴールドを完璧にこなした上で、標準問題精講や1対1対応の演習で応用力を鍛えた受験生が合格ラインに届くイメージです。

奇をてらった超難問は少なく、教科書〜標準レベルの問題を着実にこなせるかが勝負の分かれ目となります。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

広島大学では「証明問題」が頻出で、単に答えを出すだけでなく、論理的に式を展開して結論を導く力が試されます。また、複数の大問が「連問形式」になっており、(1)→(2)→(3)と前の小問の結果を使って解き進める構造が多いです。前の設問を落とすと後が解けなくなる危険があるため、序盤の小問を確実に取る戦略が重要です。

他大学との違い・特徴

• 東大・京大：高度な発想力・論述力が問われる難問が中心
• 阪大・名大：標準〜難問、計算量が多め
• 広島大学：標準問題中心・論述の丁寧さが重視・図形と微積分が毎年の柱

広島大学は「基礎の徹底」と「論述の丁寧さ」さえできれば、しっかり得点できる入試です。逆に言えば、基礎が固まっていないと太刀打ちできません。

👨‍🏫 藤原先生と生徒の会話①

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな勉強をすれば一番効果的ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学は数学的帰納法・証明問題・微積分が特に頻出だよ。だから勉強の軸は2つ：①青チャートやフォーカスゴールドで基礎・標準問題を網羅すること、②証明問題の論述をノートに書く練習をすること。答えを出すだけの練習じゃなくて、『なぜそうなるか』を文章で説明する練習が合否を分けるよ！」

広島大学の数学は「基礎の積み上げ」が全てです。難問を解く前に、まず標準問題を完璧にしましょう！

【セクション3】2012年度 出題テーマ速報と分析

2012年度の出題テーマ一覧

難易度評価と合格ライン

2012年度の難易度は全体的に「標準〜やや難」といった評価。特に大問1-[1]の行列問題（特に(3)(4)）は固有値・固有ベクトルの概念を知っていないと手が止まる問題で、差がつきやすい問題でした。

大問2はいずれも標準的で、対数の計算・放物線の接線・面積計算と、基礎を固めた受験生であれば完答を狙える問題でした。

合格ライン目安：大問2を完答（50点前後）＋大問1の(1)(2)を確実に取る（部分点含め40点前後）で計90点前後が目安です。

前年度との傾向変化

2012年度は行列問題が大問1の主役を担いました（現在の学習指導要領では行列は削除されていますが、2012年当時は重要単元）。また数列と帰納法の組み合わせは広島大学の定番であり、この傾向は現在も続いています。

2012年度の特徴は「連問形式の徹底」：(1)の結果が(2)へ、(2)の結果が(3)(4)へと連なる構成で、一問落とすと連鎖的に失点するリスクがありました。

2012年度は基礎・標準をしっかりやった人が報われる年でした！得点のチャンスを逃さないように！

【セクション4】全大問 問題・解説

大問1-[1]：行列と1次変換・固有ベクトルへの応用（難易度★★★★☆）

【問題文】

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の表す1次変換によって、2点 $P(1,1)$、$Q(2,2)$ は連立不等式 $1 \leq x \leq 2$、$1 \leq y \leq 2$ の表す領域内の点 $P'$、$Q'$ にそれぞれ移される。ただし、$a, b, c, d$ は正の実数で $a > c$ を満たすとする。

(1) $a + b = 1$ および $c + d = 1$ が成り立つことを証明せよ。

(2) 4点 $O(0,0)$、$R(a,c)$、$S(a+b, c+d)$、$T(b,d)$ を頂点とする平行四辺形 $ORST$ の面積を $p$ とするとき、

が成り立つことを証明せよ。

(3) 自然数 $n$ に対して、$a_n$、$b_n$、$c_n$、$d_n$ を

で定める。このとき $a_n$、$b_n$、$c_n$、$d_n$ を $b, c, n$ および $p$ を用いて表せ。

(4) $A^3 = \dfrac{1}{27}\begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$ となるように $A$ を定めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) $a+b=1$、$c+d=1$ の証明

ステップ① 行列 $A$ によって点 $P(1,1)$ が $P'$ へ移ることを計算する：

ステップ② 行列 $A$ によって点 $Q(2,2)$ が $Q'$ へ移ることを計算する：

ステップ③ 条件「$P'$、$Q'$ はいずれも $1 \leq x \leq 2$、$1 \leq y \leq 2$ の領域内」より：

$$1 \leq a+b \leq 2 \quad \cdots ①$$
$$1 \leq 2a+2b \leq 2 \quad \cdots ②$$
$$1 \leq c+d \leq 2 \quad \cdots ③$$
$$1 \leq 2c+2d \leq 2 \quad \cdots ④$$

ステップ④ ②を $2$ で割ると：

①と②'の共通部分をとると：

同様に③と④から：

(2) 固有ベクトルの証明

ステップ① (1)の結果 $a+b=1$、$c+d=1$ より $d = 1-c$、$a = 1-b$ と書ける：

ステップ② $A\begin{pmatrix} b \\ -c \end{pmatrix}$ を計算する：

ステップ③ 平行四辺形 $ORST$ の面積 $p$ を求める。$\overrightarrow{OR} = (a,c)$、$\overrightarrow{OT} = (b,d)$ なので：

ステップ④ $a > c$ の条件を使う：

よって $p = 1 - b - c$（正）

ステップ⑤ ④に $p = 1-b-c$ を代入：

(3) $a_n$、$b_n$、$c_n$、$d_n$ の計算

ステップ① (2)の結果から $\begin{pmatrix} b \\ -c \end{pmatrix}$ は固有値 $p$ に対応する固有ベクトルであることがわかる：

ステップ② (1)の結果から $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有値 $1$ に対応する固有ベクトル：

ステップ③ これら2つをまとめると：

ステップ④ 問題の定義より：

(4) 具体的な行列 $A$ の決定

ステップ① (3)の結果を用いて：

ステップ② 一方、与えられた $A^3$ を使って左辺を計算：

ステップ③ 右辺と等置：

$$\frac{14b-13c}{27} = bp^3 \quad \cdots ⑤$$
$$\frac{13b-14c}{27} = -cp^3 \quad \cdots ⑥$$

ステップ④ ⑤+⑥：

$b+c > 0$ より（$b, c$ は正の実数）：

待ってください。もう一度計算します。⑤-⑥：

ステップ⑤ $p = 1-b-c = \dfrac{1}{3}$ より $b+c = \dfrac{2}{3}$。⑤に $p^3 = \dfrac{1}{27}$ を代入：

$b = c$ と $b+c = \dfrac{2}{3}$ より：

ステップ⑥ $a = 1-b = \dfrac{2}{3}$、$d = 1-c = \dfrac{2}{3}$ より：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「固有値・固有ベクトルの考え方」を自力で発見することです。料理で例えると、「どんな材料（ベクトル）を入れても、行列という調理器で料理すると、比率が変わらないまま量だけ変わる材料（固有ベクトル）がある」というイメージ。(2)の証明が実はその固有ベクトルを直接示す問題で、(3)の計算はそれを道具として使う、美しい構造になっています。

【この大問で身につく力】

行列の固有値・固有ベクトルを直接求めるのではなく、証明から導出する論理的思考力と、行列の $n$ 乗計算における固有分解の考え方が鍛えられます。

大問1-[2]：漸化式・数列と数学的帰納法（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a$ を実数とし、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおく。数列 $\{x_n\}$ を

で定める。

(1) すべての自然数 $n$ について $x_n = a$ となるとき、$a$ を求めよ。

(2) $a < 1$ のとき、$x_n < 1$ $(n = 1, 2, 3, \cdots)$ が成り立つことを証明せよ。

(3) $0 < a < 1$ のとき、$x_n < x_{n+1}$ $(n = 1, 2, 3, \cdots)$ が成り立つことを証明せよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) $x_n = a$ となる $a$ の値

ステップ① $x_n = a$ がすべての $n$ で成り立つとき、特に $n=1$ で $x_2 = f(x_1) = f(a) = a$ が必要。

ステップ② $f(a) = a$ を解く：

(2) $a < 1$ のとき $x_n < 1$ の証明（数学的帰納法）

ステップ① まず $f(x)$ を変形する：

ステップ② 数学的帰納法で証明する。

(I) $n=1$ のとき： $x_1 = a < 1$（条件より）。成立。

(II) $n=k$ のとき成立を仮定： つまり $x_k < 1$ とする。

$x_k < 1$ より $x_k - 1 < 0$ だから $(x_k-1)^3 < 0$：

$n=k+1$ でも成立。

ステップ③ (I)(II)より、すべての自然数 $n$ について $x_n < 1$ が成り立つ。（証明終）

(3) $0 < a < 1$ のとき $x_n < x_{n+1}$ の証明

ステップ① まず $0 < x_n < 1$ であることを示す。

(2)より $x_n < 1$ は成立。$x_n > 0$ を帰納法で示す：
- $x_1 = a > 0$（条件より）
- $x_k > 0$ のとき：

$x_k > 0$ で、$x_k^2 - 3x_k + 3 = (x_k - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ より $x_{k+1} > 0$。

よって帰納的に $x_n > 0$。(2)と合わせると $0 < x_n < 1$。

ステップ② $x_{n+1} - x_n$ を計算する：

ステップ③ $0 < x_n < 1$ のとき各因子の符号：
- $x_n > 0$：正 $(+)$
- $x_n - 1 < 0$：負 $(-)$
- $x_n - 2 < 0$：負 $(-)$

【藤原先生の解説】

この問題の鍵は $f(x) = (x-1)^3 + 1$ という変形です。サッカーで言えば「フォームを整えることで力が最大限発揮される」感じで、この変形をするだけで(2)の証明が劇的にシンプルになります。数学的帰納法は「①最初が成り立つ ②バトンをつなげる」という2ステップだけ。丁寧に書くことが大切です。

👨‍🏫 藤原先生と生徒の会話②

🧑 生徒：「(2)の数学的帰納法で、なぜ $f(x) = (x-1)^3 + 1$ という変形が必要なんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！$x_k < 1$ という仮定から $x_{k+1} < 1$ を示したいとき、$f(x_k)

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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