早稲田大学 2006年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

今回は、早稲田大学の2006年度入試数学を徹底解説します。この年度の問題は、時間配分が鍵となる標準〜やや難レベルの良問ぞろい。幅広い単元から出題されているため、受験生たちを悩ませた問題ばかりです。

「早稲田に合格したい！」「数学の点数を伸ばしたい！」そんなあなたのために、この記事では各大問を丁寧に解説し、受験当日に実際に使える解法パターンを手に入れてもらいます。一緒に頑張りましょう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式

早稲田大学の数学は、学部によって問題が異なります。2006年度は政治経済学部、教育学部、商学部、人間科学部、スポーツ科学部、理工学部、国際教養学部など、8つの異なる入試問題が実施されました。

• 問題数：大学・学部によって異なるが、通常4〜5問
• 時間：60〜90分（学部による）
• 難易度：標準〜やや難

特徴

早稲田大学の数学の最大の特徴は「時間に追われる」ことです。例えるなら、「レストランで5皿のコース料理が次々と運ばれてくるのに、一皿ごとにじっくり味わう時間がない」という感じ。

そこで重要なのが、「この問題はどの公式を使うのか」を瞬時に判断する力です。計算力よりも、本質的な理解が合格を分ける分かれ道になります。

🧑 生徒：「早稲田の数学は何が難しいんですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「実は、個々の問題の難易度はそこまで高くないんだよ。でも『4問を90分で解く』という時間圧力と『複数の単元が混在している』ことが難しいんだ。例えるなら、野球で時速130kmのストレートを打つのと、その中から変化球を見分けて打つのでは全く違うでしょ？早稲田はその『見分ける力』を試してくるんだ。」

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📝 2006年度 全問題と解説

大問1（政治経済学部）

【問題文】

$x$軸と円 $c: x^2+y^2-y=0$ から等距離にある点$P(x,y)$の軌跡は、曲線 $m:$ ア および直線 $m':$ イ である。ここで、円$c$と点$P$の距離は、円$c$の点と点$P$の最短距離を表す。得られた曲線と直線$m: y=x$に囲まれた領域で、円$c$の外側にある部分の面積は ウ である。

【解法ポイント】

• ステップ①：円$c: x^2+y^2-y=0$の標準形を求める
• ステップ②：点$P$から$x$軸までの距離と、円の中心から$P$までの距離を計算
• ステップ③：等距離条件を立式し、軌跡を導出
• ステップ④：領域の面積を積分で計算

【解説】

まず円を整理します：
$$x^2 + y^2 - y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

中心は$(0, \frac{1}{2})$、半径は$\frac{1}{2}$です。

点$P(x,y)$から$x$軸までの距離は$|y|$です。一方、点$P$から円$c$までの距離は：
$$\text{距離} = \sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2})^2} - \frac{1}{2}$$

等距離条件より、$y > 0$かつ円の外部にある場合：
$$\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2})^2} - \frac{1}{2} = y$$

両辺を二乗すると：
$$x^2 + y^2 - y + \frac{1}{4} = y^2 + y + \frac{1}{4}$$

ここで ア $= \boxed{y = \frac{x^2}{2}}$

次に、直線$m': x=0$かつ$y \leq \frac{1}{2}$の条件下で等距離になります。

ウ：曲線$y = \frac{x^2}{2}$と直線$y = x$の交点を求めます：
$$\frac{x^2}{2} = x \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ または } x = 2$$

交点は$(0,0)$と$(2,2)$です。

求める面積は：
$$\int_0^2 \left(x - \frac{x^2}{2}\right)dx - \left[\text{円の一部の面積}\right]$$

大丈夫です。一つひとつステップを踏めば、確実に解ける問題ですよ！

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大問2（政治経済学部）

【問題文】

1から8までの正の整数の集合$X$を奇数と偶数に分けて、$A=\{1,3,5,7\}$、$B=\{2,4,6,8\}$とする。$X$の要素を並べ替えた順列$P:(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8)$を以下の規則で定める：

（i）$x_1$は$X$の要素を任意に一つ定める

（ii）$(x_1,x_2), (x_3,x_4), (x_5,x_6), (x_7,x_8)$の各組で：
$$\begin{cases}
x_{2i-1}\in A \Rightarrow x_{2i}\in B \\
x_{2i-1}\in B \Rightarrow x_{2i}\in A
\end{cases}$$

（iii）組$(x_{2i-1},x_{2i})$ $(i=1,2,3)$で、大きい方がAならば$x_{2i+1}\in A$、大きい方がBならば$x_{2i+1}\in B$

以下の問いに答えよ。

（1）$P:\langle 1,2,4,3,6,x_6,x_7,x_8 \rangle$のとき、$\langle x_6,x_7,x_8 \rangle$をすべて列挙せよ。

（2）$x_1=1, x_2=4, x_5=8$をみたす順列$P$は何通りあるか。

【解説】

組合せの規則性をきちんと読み取ることが大切です。樹形図を使って、条件を一つひとつ確認していきましょう。

🧑 生徒：「規則（iii）の『大きい方がAならば』ってどういう意味ですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「例えば$(x_3, x_4)=(4,3)$の場合、4と3を比べると4が大きい。そして4は偶数（Bに属する）ですね。だから$x_5 \in B$（偶数）でなければならない、という意味だよ。つまり、『ペアの中での大小関係』と『次の数字の奇偶性』を結びつけるルールなんだ。」

（1）の場合、$x_5=6$（偶数）なので、$(x_3, x_4)=(4,3)$の大きい方は4（偶数・B）です。条件を満たします。

残る数字は$\{5,7,8\}$です。規則（ii）より$x_8$は奇数でなければならず（$x_7$は偶数）、樹形図を描くと：
- $(x_6, x_7, x_8) = (5, 8, 7)$
- $(x_6, x_7, x_8) = (7, 5, 8)$

こういう地道な検討を通じて、組合せの本質が見えてきます。絶対に習得できますよ！

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大問3（政治経済学部）

【問題文】

正の整数$m$に対して、$_mC_k$が$m$で割り切れるための必要十分条件を求めよ。また、$p$を素数、$1 \leq k < p$のとき、$_pC_k$は$p$で割り切れることを示し、$(n+1)^p - n^p - 1$が$p$で割り切れることを示せ。

【解法ポイント】

• ステップ①：二項係数の定義と素数の性質を結びつける
• ステップ②：Lucas定理またはEuclidの補題を活用
• ステップ③：二項展開と整除性を組み合わせる

【解説】

（1）$_mC_k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$が$m$で割り切れるとは、分子が分母で割り切れたとき分母に$m$の素因数が残ることです。

必要十分条件：$m$が3以上の奇数であること。

なぜなら、$m=2q+1$（$q \geq 1$）のとき：
$$_{2q+1}C_2 = \frac{(2q+1) \cdot 2q}{2} = q(2q+1)$$

これは明らかに整数ですが、$2q+1$で割り切れるかどうかは個別に検討が必要です。

（2）$p$が素数のとき：
$$_pC_k = \frac{p!}{k!(p-k)!}$$

左辺は整数だから$p! = _pC_k \cdot k! \cdot (p-k)!$。左辺は$p$を素因数に持つが、$k < p$と$p-k < p$より右辺の$k!$と$(p-k)!$は$p$を素因数に持たない。したがって$_pC_k$は$p$で割り切れます。

（3）二項定理より：
$$(n+1)^p = \sum_{k=0}^{p} _pC_k n^k = 1 + _pC_1 n + _pC_2 n^2 + \cdots + _pC_{p-1} n^{p-1} + n^p$$

したがって：
$$(n+1)^p - n^p - 1 = \sum_{k=1}^{p-1} _pC_k n^k$$

（2）より各$_pC_k$（$1 \leq k \leq p-1$）は$p$で割り切れるため、左辺全体も$p$で割り切れます。

この問題は、青チャート（数研出版）やフォーカスゴールド（啓林館）の「整除性」の章で類似問題が掲載されています。丁寧に学習すれば確実に得点できる分野です！

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大問4（政治経済学部）

【問題文】

四面体$OABC$の辺$AB$を$4:5$に内分する点を$D$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$E$とし、線分$DE$の中点を$P$、直線$OP$が平面$ABC$と交わる点を$Q$とする。

（1）$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とおくとき、$\vec{OP}$を$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$で表せ。また$|\vec{OP}|:|\vec{OQ}|$を最も簡単な整数比で表せ。

（2）$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比を最も簡単な整数比で表せ。

【解説】

（1）点$D$は$AB$を$4:5$に内分するので：
$$\vec{OD} = \frac{5\vec{a} + 4\vec{b}}{9}$$

点$E

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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