広島大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で合格への道筋を掴もう

広島大学 2011年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介です。

この記事を読むと、以下の3つの価値が手に入ります：

• ✅ 広島大学数学の出題傾向と狙われるポイントが完全に分かる
• ✅ 2011年度の全大問を、途中計算ゼロ省略で丁寧に解説してもらえる
• ✅ 合否を分ける論述・計算のコツと今後の学習ロードマップまで理解できる

👨‍🏫 藤原先生より：「広島大学の数学は『基礎力×論理的思考力』の掛け算で勝負が決まります。難問を解く必要はありません。今日この解説でしっかり土台を作っていきましょう！一緒に頑張ろう！」

セクション1：広島大学の数学 — 入試の全体像

試験形式・配点・時間

広島大学の数学入試は、理系・文系で試験時間と問題構成が異なります。

答案はすべて記述式。途中の論理展開や計算過程が採点対象になります。これが広島大学数学の最大の特徴であり、「答えだけ合っていても部分点が取れない」という落とし穴があります。

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学の偏差値は学部によって異なりますが、主要学部（医学部を除く理工系）で偏差値55〜62程度。求められる数学力は「標準レベルの問題を確実に解ける力」＋「論理的な記述力」です。

東大・京大のような超難問はほぼ出ません。むしろ、標準的な問題をいかに正確に・論理的に書けるかが勝負です。青チャートやフォーカスゴールドをしっかりマスターした上で、記述の練習を積めば必ず得点できます。

過去5〜10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

他大学との比較・広島大学数学の特徴

• 東大・京大：高度な発想力・論述の完成度が必要。難問が多い。
• 広島大学：発想力より基礎知識の確実な運用と論理的記述が問われる。標準〜やや難の問題を丁寧に解く力が必要。
• 同レベル帯の大学（岡山・熊本等）と比較しても、証明問題の出題が多いのが特徴。

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな力が一番大事なんですか？青チャートだけでは足りないですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！広島大学で一番大事なのは『標準問題を論理的に記述する力』なんだ。青チャートで基礎を固めて、次に1対1対応の演習（東京出版）や数学 標準問題精講（旺文社）で記述答案の書き方を練習するのが最強ルートだよ。答えが合っているだけではなく、$\because$（なぜなら）の部分をしっかり書けるようになることが合格への鍵だよ。」

基礎力と記述力、両方を鍛えれば広島大学の数学は必ず攻略できます！

セクション2：2011年度 出題テーマ速報と分析

2011年度 大問別テーマ一覧

OCRデータを精査した結果、2011年度の出題テーマは以下のとおりです（理系・文系それぞれ）：

理系（数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C）

文系（数学Ⅰ・Ⅱ・A・B）

難易度評価と合格ライン

2011年度は全体として標準〜やや難のセットでした。特に[2]の対数の証明問題は、帰謬法（背理法）の使い方を正確に理解していないと手が出ない問題です。一方、[1]や[3]は基礎〜標準レベルの計算問題が中心で、しっかり得点できるはず。

合格ライン（推定）：全体の60〜70%程度。証明問題で完全正答できると大きなアドバンテージになります。

前年度との傾向変化

2010年度と比較すると、2011年度は証明問題の比重が増加しました。単純計算だけでなく、論理展開の明確な記述が要求される問題が増えており、これは近年の広島大学数学のトレンドと一致しています。

今年度もしっかり過去問を解いて、記述の書き方を身につけましょう！

セクション3：全大問 問題・解説

大問1：行列と1次変換（難易度★★★☆☆）

【問題文】

実数 $a, b$ に対して、2次正方行列 $A$ とベクトル $B$ を

と定め、$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。等式

により、座標平面上の点 $P(x, y)$ に対し点 $P'(x', y')$ が定まるものとする。

(1) $a = b = -1$ のとき、点 $P'(3, 2)$ となる点 $P(x, y)$ を求めよ。

(2) $A^2 = kE$（$k$ は実数）を満たすとき、$a, k$ の値を求めよ。

(3) どんな点 $P$ に対しても点 $P'$ が原点 $O$ に一致しないための $a, b$ の条件を求めよ。

【使う公式・定理】

【小問(1)の解法ステップ】

ステップ① $a = b = -1$ を代入して行列を具体化する。

ステップ② $P'(3, 2)$ となる条件を立式する。

ステップ③ $\det A = (-1)(2) - (3)(0) = -2 \neq 0$ なので逆行列が存在する。

ステップ④ 解を求める。

【小問(2)の解法ステップ】

ステップ① ケーリー・ハミルトンの定理を適用する。

$A$ のトレース（対角成分の和）は $a + 2$、行列式は

よって、ケーリー・ハミルトンの定理より：

ステップ② $A^2 = kE$ を①に代入する。

$$kE - (a+2)A + (a^2+a-2)E = O$$
$$\Leftrightarrow (a+2)A = (a^2+a-2+k)E \quad \cdots ②$$

ステップ③ 場合分けで解く。

(i) $a = -2$ のとき：

②の左辺は $0 \cdot A = O$ になるから、右辺も $O$ でなければならない。

$$a^2 + a - 2 + k = (-2)^2 + (-2) - 2 + k = 0 + k = 0$$
$$\therefore k = 0$$

このとき $A = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ であり、確認すると：

(ii) $a \neq -2$ のとき：

②より $A = \frac{a^2+a-2+k}{a+2} E = \alpha E$（$\alpha$ は実数）と表せる。

しかし $A = \alpha E$ となるためには $2-a = 0$ かつ $1+a = 0$ が同時に必要で、これを満たす実数 $a$ は存在しない。よって不適。

ステップ④ 結論をまとめる。

【小問(3)の解法ステップ】

ステップ① 問題の意味を整理する。

$P'$ が原点 $O$ に一致するとは、$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + B$、すなわち

が成立するような実数 $(x, y)$ の組が存在しないことを求める。

ステップ② $\det A$ を計算する。

ステップ③ $\det A \neq 0$ の場合：

逆行列が存在するので、③を満たす $(x, y)$ が必ず存在してしまう。つまり P' が原点に一致する点 P が存在する。 → 条件を満たさない

よって $\det A = 0$、すなわち $a = -2$ または $a = 1$ の場合を詳しく調べる。

ステップ④ $a = -2$ のとき：

③は

第1行：$-2x + 4y = -2b \Rightarrow -x + 2y = -b$
第2行：$-x + 2y = -b$（第1行と同じ）

→ これを満たす実数 $(x, y)$ は無数に存在する。条件を満たさない。→ 不適

ステップ⑤ $a = 1$ のとき：

③は

第1行：$x + y = -2b \quad \cdots ⑤_1$
第2行：$2x + 2y = -b \Rightarrow x + y = -\frac{b}{2} \quad \cdots ⑤_2$

$⑤_1$ と $⑤_2$ が矛盾する（解なし）ための条件は $-2b \neq -\frac{b}{2}$、すなわち

ステップ⑥ 結論：

【藤原先生の解説】

この問題は「行列の1次変換」という単元ですが、核心は連立方程式の解の存在条件です。

料理に例えると、行列 $A$ は「レシピ」で、$B$ は「調味料（定数ベクトル）」です。「どんな材料 $P(x,y)$ を入れても完成品が原点にならない」ためには、まずレシピが「同じ結果を出せる自由度を持たない（$\det A \neq 0$）」ときは必ず解が存在してしまいます。だから $\det A = 0$ の場合だけを調べて、さらに「矛盾した方程式になる」ような条件を探すのです。

小問(2)のケーリー・ハミルトンの定理は、覚えているだけでは不十分。「どう使うか」を理解することが大切です。$A^2 = kE$ という条件をケーリー・ハミルトンに代入して $(a+2)A = \text{（スカラー行列）}$ の形を作り出す、この流れが美しいですね。

🧑 生徒：「小問(2)で、なぜケーリー・ハミルトンの定理を使うんですか？直接 $A^2$ を計算してはだめですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「もちろん直接計算しても解けるよ！でも、ケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (a+2)A + (a^2+a-2)E = O$ を使う方が断然スマートなんだ。直接計算すると $A^2 = \begin{pmatrix} a^2+(2-a)(1+a) & a(2-a)+2(2-a) \\ a(1+a)+2(1+a) & (2-a)(1+a)+4 \end{pmatrix}$ という複雑な式になって、$A^2 = kE$ から4つの等式を立てなきゃいけない。ケーリー・ハミルトンを使えば $A$ の式に変形できて、行列の成分比較がずっと楽になるんだよ。道具を正しく使うことで計算量を劇的に減らせる — これが数学の美しさだね！」

行列の問題は「ケーリー・ハミルトン」が頼もしい武器。使いこなせれば大きな差がつきます！

【この大問で身につく力】

行列の成分計算と「解が存在しない条件＝矛盾する方程式系」の論理構造を正確に記述する力が鍛えられます。行列の1次変換は旧課程（数学C）の単元ですが、線形代数の基礎として重要な思考パターンです。

大問2：対数の無理性と小数部分（難易度★★★★☆）

【問題文】

(1) $\log_2 3 = \frac{m}{n}$ を満たす自然数 $m, n$ は存在しないことを証明せよ。

(2) $p, q$ を異なる自然数とするとき、$p\log_2 3$ と $q\log_2 3$ の小数部分は等しくないことを証明せよ。

(3) $\log_2 3$ の値の小数第1位を求めよ。

【使う公式・定理】

【小問(1)の解法ステップ：背理法による無理数の証明】

ステップ① 背理法の仮定を立てる。

$\log_2 3 = \frac{m}{n}$（$m, n$ は自然数）を満たす $m, n$ が存在すると仮定する。

ステップ② 対数の定義を使って変換する。

ステップ③ 矛盾を導く。

①の左辺 $2^m$：$m$ は自然数なので $2^m$ は偶数

①の右辺 $3^n$：$n$ は自然数なので $3^n$ は奇数（3の何乗も奇数×奇数×…＝奇数）

偶数 $=$ 奇数 となり、矛盾が生じる。

ステップ④ 結論。

よって仮定が誤りであり、$\log_2 3 = \frac{m}{n}$ を満たす自然数 $m, n$ は存在しない。　（証明終）

【小問(2)の解法ステップ：対比法（背理法）】

ステップ① $p \neq q$（$p, q$ は自然数）として、一般性を失わず $p > q$ と仮定する。

ステップ② $p\log_2 3$ と $q\log_2 3$ の小数部分が等しいと仮定して矛盾を導く。

小数部分が等しければ、$p\log_2 3 - q\log_2 3$ は整数（しかも $p > q$ より正の整数）になる。

よって、ある自然数 $k$ が存在して：

ステップ③ (1)の結果と矛盾する。

$k$ は自然数、$p - q$ は自然数（$p > q$ より）なので、$\frac{k}{p-q}$ は正の有理数。

しかし(1)で $\log_2 3$ は自然数比で表せないことを証明した。矛盾！

ステップ④ 結論。

よって仮定が誤りであり、$p, q$ が異なる自然数であるとき、$p\log_2 3$ と $q\log_2 3$ の小数部分は等しくない。　（証明終）

【小問(3)の解法ステップ：不等式による近似】

ステップ① $\log_2 3$ の値の範囲を不等式で挟む方針を立てる。

小数第1位の数字が分かれば十分なので、$1.5$ と $1.6$ の間に $\log_2 3$ があることを示す。

ステップ② 具体的な累乗の比較を計算する。

ステップ③ $\ast$ に $\log_2$ を取る。

$\log_2$ は単調増加関数なので：

ステップ④ 結論。

$1.5 < \log_2 3 < 1.6$ より、$\log_2 3 = 1.

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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