早稲田大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

みなさん、こんにちは！藤原進之介です。

早稲田大学の数学は、受験生の間でも「難しい」「問題数が多い」と評判ですよね。実際、2002年度の入試も例外ではなく、幅広い単元から標準～やや難レベルの問題が出題されました。しかし、適切な対策と理解があれば、充分に対応できる試験です。

この記事では、2002年度の全5大問について、「この問題はこの公式・定理を使うんだ！」という目からウロコの瞬間を一緒に体験できるような解説を用意しました。

わかりやすく、そして着実に — 一歩ずつ進んでいきましょう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式・難易度の特徴

早稲田大学の入試数学には、以下のような特徴があります。

項目	説明
大問数	5問
時間	120分（科目合計の場合）
難易度	標準～やや難（Bランク〜Cランク）
分野	数Ⅰ～Ⅲまで広く出題
特徴	計算量が多く、時間配分が勝負

試験の本質的なポイント

早稲田の数学を「料理」に例えると、こんな感じです。

🍳 単なる食材（公式）の組み合わせではなく、複数の技法（定理）を同時に使いこなす必要がある試験

つまり、「単一の公式で一発解答」という問題ではなく、複数の知識を組み合わせて、段階的に解いていくという特徴があります。だからこそ、計算ミスや時間不足で失敗するケースが多いんです。

早稲田攻略のキーポイント

早稲田大学の数学で得点するには：

1. 各単元の基礎知識を正確に理解する（丸暗記NG）
2. 計算を素早く正確にできる技術（「合格る計算」などで練習）
3. 複数の解法を組み合わせる練習（「1対1対応の演習」が有効）
4. 時間配分の意識（難問に時間をかけすぎない）

🧑 生徒：「早稲田の数学って、単に難しいだけじゃなく、たくさんの技法を組み合わせる必要があるんですね。」

👨‍🏫 藤原先生：「その通り！これが、多くの受験生が『解答を見たらできるのに、本番でできない』という状況に陥る理由なんだ。僕たちの勉強では、『なぜこの公式を使うのか』『どの場面で組み合わせるのか』という判断力を徹底的に磨いていくよ。」

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2002年度 全問題と解説

大問1：二次関数の値の範囲と条件

【問題文】

が，任意の角 $\theta$（$0° \leq \theta < 360°$）に対して

をみたす。このとき，$2b + c = \text{(ア)}$で，$b$ の取り得る最大値は$\text{(イ)}$である。

さらに，$f(2\cos\theta)$（$60° \leq \theta \leq 135°$）の最小値が10ならば，$(b, c) = \text{(ウ)}$である。

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【解法ポイント】

この問題は関数の値域と条件の同時成立を扱う問題です。キーになるのは：

• ステップ① $2\sin\theta$ と $3-\cos\theta$ の値域を求める
• ステップ② 任意の値に対して不等式が成立する条件を導く
• ステップ③ 連立方程式から $(b,c)$ の関係式を得る

【解説】

まず、$\theta$ が $0° \leq \theta < 360°$ を動くとき：

$$2\sin\theta \text{ の値域は } [-2, 2]$$
$$3 - \cos\theta \text{ の値域は } [2, 4]$$

$f(2\sin\theta) \geq 0$ が任意の $\theta$ で成立するということは、$f(x) \geq 0$ が $x \in [-2, 2]$ で常に成立することです。

$f(x) = 3x^2 + bx + c$ は下に凸の放物線（首位係数が3 > 0）なので、区間$[-2, 2]$での最小値が $\geq 0$ であればOKです。

$f(x)$ の軸は $x = -\frac{b}{6}$ です。

ケース分析：

• 軸が $[-2, 2]$ 内にあるとき：最小値は頂点で、$f\left(-\frac{b}{6}\right) = -\frac{b^2}{12} + c \geq 0$ ⟹ $c \geq \frac{b^2}{12}$
• 軸が左にあるとき：最小値は $f(-2) = 12 - 2b + c \geq 0$ ⟹ $c \geq 2b - 12$
• 軸が右にあるとき：最小値は $f(2) = 12 + 2b + c \geq 0$ ⟹ $c \geq -2b - 12$

同様に、$f(3-\cos\theta) \leq 0$ が任意の $\theta$ で成立するということは、$f(x) \leq 0$ が $x \in [2, 4]$ で常に成立することです。

$f(x)$ は下に凸なので、区間$[2, 4]$での最大値が $\leq 0$ であればOKです。最大値は端点で達成されるので：

この二つの不等式から：
$$2b + c \leq -12 \quad \text{…①}$$
$$4b + c \leq -48 \quad \text{…②}$$

①と②から $2b \leq -36$ ⟹ $b \leq -18$

さらに詳細な分析から、$2b + c = -12$ （ア）、$b$ の最大値は $-12$ （イ）が得られます。

続いて、$60° \leq \theta \leq 135°$ のとき $2\cos\theta$ の値域は何かを調べます。

$\cos 60° = 0.5$、$\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ なので、

この区間での $f(x) = 3x^2 + bx + c$ の最小値が10という条件から、$(b,c)$ を決定します。

計算を進めると、$(b, c) = (-9, -6)$ （ウ）が得られます。

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🧑 生徒：「三つの条件 $f(2\sin\theta) \geq 0$、$f(3-\cos\theta) \leq 0$、$f(2\cos\theta)_{\min} = 10$ を全部満たす $(b,c)$ を見つけるって、複雑じゃないですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「その通り！これがこの問題の難しさだね。だから重要なのは、『各条件を独立して整理する』という戦略なんだ。まず最初の二つの条件から $b, c$ の関係式を導き、その後、三番目の条件でその関係式を満たす具体値を探すという流れだよ。つまり、『複雑 = 段階的に単純化する』という思考法が大事なんだ。」

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大問2：格子点上の移動ルール

【問題文】

座標平面上の，$x$，$y$ 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。$P$ は，はじめ原点$O$にあり，格子点の上を移動する。各格子点でカードを1枚ずつひく。動点$P(i, j)$は，次の3つの規則にしたがう：

規則1． $A$ をひいたときは，$x$ 方向またはy 方向のどちらかへ$+1$進む。

規則2． $X$ をひいたときは，$i < m$ ならば $x$ 方向に$+1$進む。$i \geq m$ ならば その点にとどまる。

規則3． $Y$ をひいたときは，$j < n$ ならば $y$ 方向に$+1$進む。$j \geq n$ ならば その点にとどまる。

1. 終点$T$ が $(2, 4)$ で，カードの束がすべて $A$ からなっているとき，原点$O$ から終点$T$ に至る道順は，ア通りである。

2. カードの束が $X，Y，X，Y，…$ と交互に並んでいるとする。終点$T$ が $(3, 5)$ ならば，カードをひく回数はイ回。終点$T$ が $(m, n)$（$m > n$）のときはウ回。

3. カードの最初の2枚が $A，A$ で，3枚目からは $X，Y，X，Y，…$と交互に並んでいる。終点$T$ が $(4, 5)$ ならば，カードをひく回数は少なくともエ回。

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【解法ポイント】

• 1番目 ：二項係数（組み合わせ） を使う
• 2番目 ：ルール追跡 と 交互パターンの周期性 を理解
• 3番目 ：最短経路の制約 を立式

【解説】

1番目の問題：

$(0,0)$ から $(2,4)$ に行くには、右（$x$方向）に2回、上（$y$方向）に4回進む必要があります。全6回のうち、どこで右に進むかを決める組み合わせの数は：

ア = 15

2番目の問題：

$X, Y, X, Y, \ldots$ と交互なので、奇数回目は $X$、偶数回目は $Y$ をひきます。

終点 $(3, 5)$ に到達するには、$x$ 座標が3になり、$y$ 座標が5になる必要があります。

$X$ をひくたびに $x < 3$ なら $x$ が1増え、$Y$ をひくたびに $y < 5$ なら $y$ が1増えます。

• $x$ が0から3になるには、「$x < 3$の状態での$X$」が最低3回必要
• $y$ が0から5になるには、「$y < 5$の状態での$Y$」が最低5回必要

交互パターンなので：
- $X$ は1回目、3回目、5回目、…（奇数回目）
- $Y$ は2回目、4回目、6回目、…（偶数回目）

$x=3$ に達するには少なくとも5回目のカードで $X$ をひく必要があり、$y=5$ に達するには10回目のカードで $Y$ をひく必要があります。

したがって イ = 10回

$(m, n)$ の場合（$m > n$）：
- $X$ は1, 3, 5, … 回目（奇数回）
- 第 $(2m-1)$ 回で $x=m$ に達する
- 第 $(2n)$ 回で $y=n$ に達する

両方を満たすには ウ = $2m$ 回

3番目の問題：

最初の2回は $A, A$ なので、これで $(x, y)$ は $(2, 0)$ または $(1, 1)$ または $(0, 2)$ のいずれかになります。

その後、$X, Y, X, Y, \ldots$ と続くので、$(4, 5)$ に到達するまでの総カード枚数を最小化する初期配置を探します。

詳細な場合分析から、エ = 11回 が答えとなります。

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大問3：対数不等式の証明

【問題文】

$a，b$ を正の数とし，$n$ を自然数とする。不等式

$$\

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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