広島大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

広島大学 2007年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、広島大学2007年度の数学入試問題を、基礎の確認から丁寧な解説まで完全網羅します。

この記事で得られる3つの価値はこちらです：

• ✅ 広島大学数学の出題傾向と本質的な解法が身につく
• ✅ 2007年度全大問の完全解説を途中計算付きで確認できる
• ✅ 合格点を取るための学習ロードマップが明確になる

👨‍🏫 藤原先生より
「広島大学の数学は、難問よりも『考え方の筋道』を見せることが大切な試験です。解法を丸暗記するのではなく、なぜその方針を選ぶのかを理解することが合格への近道。一緒に丁寧に読み解いていきましょう！」

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

試験形式と求められるレベル

広島大学の数学入試は、以下のような形式で実施されます。

試験時間は120分で5問構成。1問あたり平均24分が目安ですが、易しい問題に時間を使いすぎず、難しい問題は部分点を狙う戦略が重要です。

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学理系（工学部・理学部・医学部など）の数学は、「センター試験で安定して8割以上取れる」レベルを土台に、記述式の論証力が求められます。青チャートや1対1対応の演習レベルの問題が中心で、突出した難問は少ないものの、論述の完成度が合否を分けます。

過去10年の出題傾向まとめ

微積分・ベクトル・数列は必ず対策すること。また、「示せ」「証明せよ」という記述問題が毎年出るため、論証の書き方を身につけることが不可欠です。

他大学との違い・広島大学の特徴

広島大学は「難問で差をつける」より「標準問題をきちんと積み上げる」ことが求められる大学です。基礎を固めた上で、論述のスキルを磨くことが最大の対策になります。

会話①

🧑 生徒：「広島大学の数学って、難関大学みたいに特殊な発想が必要ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学の数学は、特殊な発想よりも標準的な解法の完全な習得が大切だよ。例えばベクトルなら、$\vec{AP} = t\vec{u}$（$t$はスカラー）という平行条件の式立てと、$\vec{CP} \cdot \vec{w} = 0$という直交条件の内積計算が確実にできれば解ける問題が多い。青チャートや1対1対応の演習で標準問題を完璧にすることが第一歩だよ！」

【セクション3】2007年度 出題テーマ速報と分析

2007年度 出題テーマ一覧

大問1（旧課程：数Ⅱ・数B混合）

大問2（数Ⅰ・Ⅱ・A・B）

難易度評価と合格戦略

2007年度の特徴は、大問1の[3]（√7の有理近似）と大問2の[2]（格子点配列）がやや難しく、その他は標準的な問題です。合格ラインの得点戦略として：

• 標準問題（★★★☆☆）は完答を目指す
• やや難問（★★★★☆）は小問(1)(2)を確実に取り、(3)(4)で部分点を狙う
• 合格ラインの目安：全体の65〜70%

【セクション4】全大問 問題・解説

大問1-[1]：行列と漸化式・極限（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a, b, c, d$ は $a+c = b+d = 1$ を満たす正の定数とし、行列

を考える。$x_1 + y_1 = 1$ を満たす実数 $x_1, y_1$ に対し、$x_n, y_n$（$n = 2,3,4,\cdots$）を漸化式

によって帰納的に定める。

(1) $x_n + y_n = 1$（$n = 1,2,3,\cdots$）であることを示せ。

(2) $x_n$ をまず $a, b, x_{n-1}$ で表し、次に $a, b, x_1$ で表せ。

(3) 極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

小問(1)：数学的帰納法

ステップ① $n=1$ のとき：

ステップ② $n=k-1$ で $x_{k-1} + y_{k-1} = 1$ が成立すると仮定する。行列の積の定義から：

ステップ③ 和をとると：

したがって、任意の自然数 $n$ について $x_n + y_n = 1$ が成り立つ。□

小問(2)：$x_n$ を $a, b, x_1$ で表す

ステップ① 行列の積より：

(1) の結果 $y_{n-1} = 1 - x_{n-1}$ を代入して：

ステップ② 特性方程式 $\alpha = (a-b)\alpha + b$ を解く：

$0 < a < 1$, $0 < b < 1$ より $1 - a + b > 0$ なので分母はゼロにならない。

ステップ③ $(*)$ を変形すると：

これは公比 $a-b$ の等比数列なので：

小問(3)：極限値

ステップ① $0 < a < 1$, $0 < b < 1$ より：

ステップ② $|a-b| < 1$ なので $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a-b)^{n-1} = 0$

ステップ③ したがって：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「行列の漸化式を等比数列に帰着させる」という発想です。

料理に例えると、$x_n$ と $y_n$ が毎回 $A$ という「変換の鍋」に入れられて混ぜ合わされていく感じ。でも $x_n + y_n$ という「全体量」だけは常に1のまま保存される。これが(1)の本質です。

そして(2)で $y_{n-1} = 1 - x_{n-1}$ と代入することで、2変数の連立漸化式が 1変数の漸化式 に帰着します。これが最大のコツ！特性方程式を使って固定点を見つけ、等比数列に変換するのが「行列の漸化式」の定石解法です。

(3)は $|a-b| < 1$ という不等式がカギ。$a, b$ が両方正の定数である条件をしっかり使いましょう。

会話②

🧑 生徒：「小問(2)で $y_{n-1} = 1 - x_{n-1}$ と置き換えてよい理由がよくわかりません。」

👨‍🏫 藤原先生：「それは(1)で証明した $x_n + y_n = 1$（すべての $n$ で成立）を使っているんだよ！つまり $y_{n-1} = 1 - x_{n-1}$ は証明済みの事実。これを $x_n = ax_{n-1} + by_{n-1}$ に代入すると $x_n = ax_{n-1} + b(1 - x_{n-1}) = (a-b)x_{n-1} + b$ という1変数の漸化式 $x_n = px_{n-1} + q$ 型に変換できる。あとは特性方程式 $\alpha = (a-b)\alpha + b$ を解いて固定点 $\alpha = \dfrac{b}{1-a+b}$ を求め、$x_n - \alpha = (a-b)(x_{n-1} - \alpha)$ という等比数列に変換するだけ！」

【この大問で身につく力】

行列・漸化式・極限を統合的に扱う力が身につく。特に「2変数→1変数への帰着」という論述の構成力が養われる。

大問1-[2]：空間ベクトルと平面（難易度★★★☆☆）

【問題文】

座標空間の2点 $A(0,0,0)$、$B(0,-1,0)$ および

と成分表示される3つのベクトルがある。

(1) $\vec{AP}$ と $\vec{u}$ が平行かつ $\vec{BP}$ と $\vec{v}$ が平行となるような点 $P$ の座標を求めよ。

(2) 上で求めた点 $P$ に対し、$\vec{CP}$ と $\vec{w}$ が直交するような $C(0,0,c)$ を求めよ。

(3) 上で求めた点 $P$ と $C$ に対し、$P$ は3点 $A$, $B$, $C$ の定める平面上にあることを示せ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

小問(1)：点 $P$ の座標

ステップ① $\vec{AP} \parallel \vec{u}$ より、実数 $t$ を用いて：

$A = (0,0,0)$ なので $P = (-t, 2t, 5t)$

ステップ② $\vec{BP} \parallel \vec{v}$ より、実数 $s$ を用いて：

$B = (0,-1,0)$ なので $P = (0+s, -1+s, 0+s) = (s, -1+s, s)$

ステップ③ 2つの $P$ の表示を一致させる：

第1式と第3式より：$-t = 5t \Rightarrow 6t = 0$ ではなく、第1式より $s = -t$、第3式より $s = 5t$ なので $-t = 5t$, $t=0$ ではおかしい。

注意：大問1の問題文では $A(0,0,0)$ だが、大問2の問題文では $A(2,0,0)$ となっています。以下は大問1の設定（$A(0,0,0)$）で解きます。

ステップ①（再） $A(0,0,0)$ のとき $P(-t,2t,5t)$、$B(0,-1,0)$ のとき $P(s,-1+s,s)$：

$(i)$ より $s = -t$、$(iii)$ より $s = 5t$。よって $-t = 5t$, $t = 0$。これでは $P = (0,0,0) = A$ となり矛盾。

→ 大問1の[2]は大問2の[3]と同じ問題だが点 $A$ の座標が異なる。大問2の設定（$A(2,0,0)$）で解く。

大問2-3：$A(2,0,0)$ の場合

ステップ① $\vec{AP} \parallel \vec{u}$ より：

$A = (2,0,0)$ なので $P = (2-s, 2s, 5s)$

ステップ② $\vec{BP} \parallel \vec{v}$ より：

$B = (0,-1,0)$ なので $P = (t, -1+t, t)$

ステップ③ 成分を一致させる連立方程式：

$(i)$ と $(iii)$ より：$2-s = 5s \Rightarrow 6s = 2 \Rightarrow s = \dfrac{1}{3}$

$(iii)$ より $t = 5s = \dfrac{5}{3}$

ステップ④ $(ii)$ で確認：$2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$、$-1 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{2}{3}$ ✓

小問(2)：点 $C$ の座標

ステップ① $C = (0,0,c)$ として：

ステップ② $\vec{CP} \perp \vec{w}$ より内積 $= 0$：

小問(3)：$P$ が平面 $ABC$ 上にあることを示す

$P$ が平面 $ABC$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\vec{AP} = a\vec{AB} + b\vec{AC}$ と表せる。

ステップ① 各ベクトルを計算：

注：大問2-3では「$\vec{CP} = a\vec{CA} + b\vec{CB}$」を示す問題なので、以下はその形式で解く。

ステップ② $\vec{CP} = a\vec{CA} + b\vec{CB}$ とおく：

ステップ③ 第1式より $a = \dfrac{5}{6}$、第2式より $b = -\dfrac{2}{3}$

ステップ④ 第3式で確認：$-2 \cdot \dfrac{5}{6} - 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{5}{3} + \dfrac{4}{3} = -\dfrac{1}{3}$ ✓

よって $P$ は平面 $ABC$ 上にある。□

【藤原先生の解説】

空間ベクトルの問題でよく出る3パターンを整理しておきましょう：

1. 平行 → $\vec{AP} = t\vec{u}$（スカラー倍）
2. 直交 → $\vec{CP} \cdot \vec{w} = 0$（内積がゼロ）
3. 平面上 → $\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$（2ベクトルの線形結合）

サッカーのパスに例えると、平行は「同じ方向にまっすぐパス」、直交は「直角に切れ込む」、平面上は「フィールド内にいる」という感じです。この3つの条件を的確に数式化できれば、空間ベクトルの問題は必ず解けます！

会話③

🧑 生徒：「$P$ が平面 $ABC$ 上にあることを示すとき、なぜ $\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ で証明できるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「平面というのは、1点 $A$ と2つのベクトル $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ が張る空間のことだよ。数学的には、平面上の任意の点 $P$ は $\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$（$s,t$ は実数）と一意に表せる。これは平面のベクトル方程式の定義そのものなんだ。だからこの形に表せることを示すことが『平面上にある』の証明になる。$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ が一次独立（平行でない）であることも確認しておくと完璧だよ！」

【この大問で身につく力】

空間ベクトルの3条件（平行・直交・平面上）を組み合わせて使う総合的な思考力が身につく。

大問1-[3]：関数の性質と√7の有理近似（難易度★★★★☆）

【問題文】

とおく。

(1) $f(\sqrt{7}) = \sqrt{7}$ であることを示せ。

(2) $x \geq 0$ ならば $f(x) \geq 2$ であることを示せ。

(3) $x \geq 2$, $y \geq 2$ ならば $|f(x) - f(y)| \leq \dfrac{|x-y|}{100}$ となることを示せ。

(4) $x \geq 2$ ならば $|f(f(x)) - \sqrt{7}| \leq \dfrac{|x-\sqrt{7}|}{10000}$ となることを示し、これを用いて $|r - \sqrt{7}| < 10^{-4}$ を満たす有理数 $r$ を1つ求めよ。

【使う公式・定理】

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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