和歌山大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

和歌山大学の入試問題、やってみたいけど「難しそう…」と感じていませんか？安心してください。むしろ、この大学の数学は基礎と標準をしっかり理解している人なら十分対応できる問題ばかりです。

この記事では、2016年度の過去問から「対数方程式」「数列と漸化式」「ベクトルと内分」の3つの頻出テーマを、具体的な解法とともに丁寧に解説していきます。模試や本番でよくあるミスも紹介するので、同じ失敗を繰り返さないようにできますよ。

この記事を読めば：
- 和歌山大学がどんな問題を出すのかが明確になる
- 各単元の解法パターンが身につく
- 受験に向けた勉強の優先順位がわかる

それでは、一緒に攻略していきましょう！

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和歌山大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度

和歌山大学の数学試験は以下の特徴があります。

項目	内容
問題数	大問3～6問
試験時間	90分
難易度	標準レベル
出題範囲	数学Ⅰ・A・Ⅱ・B（学部による）

試験の特徴

この大学の問題は「いかに基礎的な計算をミスなく正確に進められるか」を問う設計になっています。難問・奇問はほとんど出ず、教科書に載っているような標準的な公式や定理を確実に使いこなせるかどうかが合否を分けます。

たとえるなら、料理の試験で「複雑なテクニックを試す」のではなく「基本的な材料をどれだけ上手に組み合わせられるか」を見るようなものですね。

🧑 生徒：「和歌山大学の問題って、本当に難しくないんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「そうだね。難度としては、青チャートや基礎問題精講レベルで十分対応できるんだ。つまり『基本を素早く、正確に』できれば高得点が狙える大学だよ。その分、計算ミスや場合分けの見落としで失点する受験生が多いんだ。」

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2016年度 全問題と解説

本年度の試験は「全学部共通問題」と「学部別問題」に分かれていました。ここでは、全学部共通の[1]と[2]を詳しく解説します。

大問[1]

【問題文】

(1) $\log_a a^2 - 3 = 4\log_a 2$ を満たす正の実数 $a$ をすべて求めよ。

(2) $27^{9x} = \frac{9}{4^y}$ を満たす整数 $x, y$ の組をすべて求めよ。

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【解法ポイント】

(1) 対数の性質を使って方程式を整理する

• ステップ①： 左辺の $\log_a a^2$ を計算
• $\log_a a^2 = 2\log_a a = 2 \cdot 1 = 2$

• ステップ②： 方程式に代入して整理

• $2 - 3 = 4\log_a 2$
• $-1 = 4\log_a 2$
• $\log_a 2 = -\frac{1}{4}$

• ステップ③： 対数の定義を使って $a$ を求める

• $\log_a 2 = -\frac{1}{4}$ は $a^{-1/4} = 2$ と同値

• 両辺を $-4$ 乗すると：$a = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

• ステップ④： 検算（$0 < a \neq 1$ の確認）

• $a = \frac{1}{16}$ は条件を満たす ✓

答：$a = \dfrac{1}{16}$

(2) 底の統一で指数方程式に変換する

• ステップ①： 両辺を同じ素数で表す
• 左辺：$27 = 3^3$、$27^{9x} = (3^3)^{9x} = 3^{27x}$

• 右辺：$9 = 3^2$、$4^y = 2^{2y}$ だから $\frac{9}{4^y} = \frac{3^2}{2^{2y}} = 3^2 \cdot 2^{-2y}$

• ステップ②： 両辺が等しいため、指数を比較

• $3^{27x} = 3^2 \cdot 2^{-2y}$

両辺が等しいには、左辺が 2 を含まないので、右辺の $2^{-2y}$ は消えなければならない。つまり：
- $2^{-2y} = 1 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0$

• ステップ③： $y = 0$ を用いて $x$ を求める
• $3^{27x} = 3^2 \cdot 2^0 = 3^2$
• $27x = 2$
• $x = \frac{2}{27}$

• ステップ④： 整数条件を確認

• $x = \frac{2}{27}$ は整数でない ✗
• したがって、整数解は存在しない

答：解なし（整数組は存在しない）

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【解説】

(1) この問題では、対数の基本性質 $\log_a a = 1$ を最初に適用するかどうかが鍵になります。

多くの受験生は「$\log_a a^2$ ってそのまま使うのかな？」と迷ってしまうんですが、ここで覚えておくべき公式は：

これは「$a$ の何乗で元の数になるか」という対数の定義そのものから来ています。$a^2 = a^?$ の「?」が 2 だから、答えは 2 になるわけです。

🧑 生徒：「$\log_a a^2$ から 2 になるのはなぜですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「対数の定義に戻るんだよ。$\log_a a^2$ は『$a$ を何乗すれば $a^2$ になるか』という質問だね。答えは明らかに 2 だよね。だから $\log_a a^2 = 2$ になるんだ。」

その後、$\log_a 2 = -\frac{1}{4}$ が出たら、これを指数形に変換します。$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ という対数と指数の相互変換を使って：

この両辺を $-4$ 乗（つまり逆数の 4 乗）すると：

(2) 指数方程式の定番パターンです。両辺を「同じ底」で表すことが原則です。

左辺は $27 = 3^3$ で統一できますが、右辺は分子に 3、分母に 2 が含まれています。ここで重要なのは、$3^{27x} = 3^2 \cdot 2^{-2y}$ で左辺は「3 のみ」で構成されているという点。

右辺に 2 が残っていては絶対に等しくなりません。だから $2^{-2y} = 1$、つまり $y = 0$ が必須条件なんです。

その結果 $27x = 2$ から $x = \frac{2}{27}$ となり、これは整数ではないので「整数解は存在しない」が答えになります。

青チャートの「指数方程式」のセクションには、この底の統一パターンが多く掲載されているので、演習が不足しているなら見直すことをお勧めします。

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大問[2]

【問題文】

数列 $\{a_n\}$ を

で定める。また、数列 $\{b_n\}$ は

を満たす。次の問いに答えよ。

(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

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【解法ポイント】

(1) 変数変換で漸化式を単純化する

• ステップ①： $a_{n+1}$ を $b_n$ で表す
• $b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ から $a_n$ を $b_n$ で表す（逆算）
• $b_n(a_n + 1) = a_n - 1$
• $b_n a_n + b_n = a_n - 1$
• $b_n a_n - a_n = -1 - b_n$
• $a_n(b_n - 1) = -1 - b_n$
• $a_n = \frac{-1 - b_n}{b_n - 1} = \frac{1 + b_n}{1 - b_n}$

• ステップ②： $a_{n+1} = \frac{a_n + 2}{2a_n + 1}$ に代入

• $a_{n+1} = \frac{\frac{1+b_n}{1-b_n} + 2}{2 \cdot \frac{1+b_n}{1-b_n} + 1}$

分子：$\frac{1+b_n}{1-b_n} + 2 = \frac{1+b_n + 2(1-b_n)}{1-b_n} = \frac{1+b_n+2-2b_n}{1-b_n} = \frac{3-b_n}{1-b_n}$

分母：$2 \cdot \frac{1+b_n}{1-b_n} + 1 = \frac{2(1+b_n) + (1-b_n)}{1-b_n} = \frac{2+2b_n+1-b_n}{1-b_n} = \frac{3+b_n}{1-b_n}$

したがって：
$$a_{n+1} = \frac{\frac{3-b_n}{1-b_n}}{\frac{3+b_n}{1-b_n}} = \frac{3-b_n}{3+b_n}$$

• ステップ③： $b_{n+1} = \frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$ に代入

• 分子：$a_{n+1} - 1 = \frac{3-b_n}{3+b_n} - 1 = \frac{3-b_n - (3+b_n)}{3+b_n} = \frac{-2b_n}{3+b_n}$

• 分母：$a_{n+1} + 1 = \frac{3-b_n}{3+b_n} + 1 = \frac{3-b_n + (3+b_n)}{3+b_n} = \frac{6}{3+b_n}$

したがって：
$$b_{n+1} = \frac{\frac{-2b_n}{3+b_n}}{\frac{6}{3+b_n}} = \frac{-2b_n}{6} = -\frac{b_n}{3}$$

答：$b_{n+1} = -\dfrac{1}{3}b_n$

(2) 等比数列の一般項を求める

• ステップ①： $\{b_n\}$ は等比数列であることを確認

• $b_{n+1} = -\frac{1}{3}b_n$ から、公比は $r = -\frac{1}{3}$

• ステップ②： 初項 $b_1$ を求める

• $a_1 = 2$ より $b_1 = \frac{a_1 - 1}{a_1 + 1} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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