和歌山大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

今日は、和歌山大学 2019年度の数学過去問を、一緒に丁寧に解き進めていきましょう。この大学の問題は「標準レベル」と言われていますが、実は「基礎がしっかり身についているか」を試す、非常に実践的な良問ぞろいなんです。

この記事を読むと、以下のことが分かります：

✅ 和歌山大学数学の試験形式と特徴
✅ ベクトル・不定方程式・領域・微積分の標準解法
✅ 計算ミスを防ぐための具体的テクニック
✅ 合格に必要な勉強戦略

では、さっそく始めましょう！

和歌山大学の数学ってどんな試験？

試験形式

• 出題数：5大問（学部によって一部異なる）
• 出題傾向：教育学部・システム工学部・観光学部で、大問[1]～[3]は共通出題
• 難易度：基礎～標準レベル
• 特徴：計算力と「なぜそうなるのか」という論理的思考力を問う

和歌山大学数学の特徴を例え話で説明

「和歌山大学の数学は、料理でいうと『基本技術が大切な和食』みたいなものです」

有名な洋食レストランの複雑なソースは「奇想天外な組み合わせ」を求めていますが、和食は「刻む・焼く・煮る」という基本動作が完璧に身についているかで全てが決まります。

和歌山大学も同じ。派手な計算テクニックより、ベクトルの成分表示、不定方程式の一般解、領域と最適化といった「基礎となる概念」をしっかり理解していることを求めています。

だからこそ、「なぜこの公式を使うのか」という本質的理解が最強の武器になるんです。

🧑 生徒：「和歌山大学の数学は、どの単元が重要ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！この大学はベクトル・整数問題・図形と領域・微積分が4本柱なんだ。特に大事なのは『内分点の位置ベクトル公式』『一次不定方程式の一般解』『領域の交集合』『導関数による増減』といった基本定理だよ。これらがしっかり使えれば、確実に合格点に到達できる。」

2019年度 全問題と解説

大問[1] ベクトルの内積と位置関係

【問題文】

△OABにおいて、辺ABを3：2に内分する点をP、辺OBを1：3に内分する点をQ、直線OPと直線AQの交点をRとする。また、$|\vec{OA}|=1$、$\angle AOB=60°$、$\vec{OP} \perp \vec{AQ}$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{OP}$、$\vec{AQ}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

(2) $|\vec{AR}|：|\vec{RQ}|$を求めよ。

(3) $|\vec{b}|$を求めよ。

(4) △OARの面積Sを求めよ。

【解法ポイント】

この問題は、位置ベクトルと内積の性質を活用する標準問題です。

• ステップ①：内分点・外分点の位置ベクトル公式を使う
• ステップ②：交点RをOPとAQ上の点として媒介変数で表す
• ステップ③：垂直条件（内積=0）から$|\vec{b}|$を決定
• ステップ④：ベクトルの大きさと外積で面積を計算

【解説】

(1) $\vec{OP}$と$\vec{AQ}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$で表す

$\vec{OP}$の計算：

Pは線分ABを3：2に内分しています。内分点の位置ベクトルは：

$\vec{AQ}$の計算：

Qは線分OBを1：3に内分しています（「1：3に内分」は「OからBへ1：3」という意味）。だから：

したがって、Aから見たQの位置ベクトルは：

答え： $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$、$\vec{AQ} = -\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

(2) $|\vec{AR}|：|\vec{RQ}|$を求める

RはOPとAQの交点なので、2つの方法で表せます：

• Rは直線OP上の点：$\vec{OR} = s \cdot \vec{OP}$ （$0 < s < 1$）
• Rは直線AQ上の点：$\vec{AR} = t \cdot \vec{AQ}$ （$0 < t < 1$）

Rの位置をOから見ると：

また、RはOP上の点だから：

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較すると：

②から：$t = \frac{12s}{5}$

①に代入：$1 - \frac{12s}{5} = \frac{2s}{5}$

したがって：$t = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

Aから見たRとQの位置関係は、RはAQを$\frac{6}{7}$に内分する点です。だから：

答え： $6:1$

(3) $|\vec{b}|$を求める

垂直条件$\vec{OP} \perp \vec{AQ}$から：

展開します：

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60° = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2} = \frac{|\vec{b}|}{2}$

$|\vec{b}| = x$とおくと：

両辺に20を掛ける：

因数分解：$(3x - 8)(x + 1) = 0$

$x > 0$だから、$x = \frac{8}{3}$

答え： $|\vec{b}| = \frac{8}{3}$

🧑 生徒：「なぜ内積を $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60°$ で計算したんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だ！これは内積の定義なんだ。$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$ という公式があってね、2つのベクトルのなす角が与えられているときは、この形を使うんだ。$|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=x$、$\theta = 60°$ だから、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot x \cdot \cos 60° = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$ になるってわけだよ。」

(4) △OARの面積Sを求める

△OARの面積は：

または、別の方法として、△OARと△OABの面積比を使います。

ARはAQを$\frac{6}{7}$に内分していて、RはOPを$\frac{5}{14}$に内分しています。

面積は、原点Oから見た2つのベクトルの外積の大きさで：

ここで、$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin 60° = 1 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

したがって：

答え： $S = \frac{\sqrt{3}}{7}$

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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