早稲田大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは、数強塾の藤原進之介です！

今日は、早稲田大学 1998年度の数学入試問題をしっかり解説していきます。この年の早稲田の問題は、「時間との戦い」と「正確な計算力」が問われる良問ぞろい。受験生の皆さんが「どの公式を使えばいいんだろう…」と迷わないために、単元名・定理・解法を具体的に名指しして丁寧に説明していきますね。

この記事を読み終わると：
- ✅ 各問題でどの定理・公式を使うかが一目瞭然
- ✅ 具体的な計算プロセスが手に取るようにわかる
- ✅ 問題ごとのひっかけポイントと対策が頭に入る
- ✅ 合格に向けた具体的な勉強法が見える

一緒に頑張りましょう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

早稲田大学の数学は、一言でいえば「広い範囲から、短時間で正確さを問う」試験です。

試験形式の特徴

• 出題範囲：数学Ⅰ～Ⅲ（微積分・図形・確率・数列など）の幅広い単元から出題
• 難易度：標準～やや難レベルが中心。難問もありますが、基本を押さえた方が得点できる
• 時間配分：複数の大問が出され、時間が限られているため「どの問題から解くか」の判断が重要
• 計算量：多めです。計算ミスが命取りになる

わかりやすい例え話

料理に例えると、早稲田の数学は「色々な食材を制限時間内に調理して、最高のおいしさを出す」感じです。

• 「どの食材（単元）を使うか」を素早く判断する力
• 「焼き時間（計算ステップ）」を正確に管理する力
• 「味見（検算）」をしながら進める力

全部揃えば、合格という名の「ご馳走」が手に入ります！

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🧑 生徒：「先生、早稲田の問題ってどこから手をつけたらいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。早稲田は問題数が多いから、まず全体をサッと見て『どの問題が最短で解けるか』判断することが大事。たとえば『空欄穴埋め式』と『証明問題』があったら、穴埋めを先にやるとか。そして各問題では『この現象は○○定理が活躍する場面だ』と素早く気づく力が勝負を決めるんだ。」

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1998年度 全問題と解説

大問1（政経）

【問題文】

直線 $\ell: y = \frac{1}{2}x$

曲線 $c: y = -x^2 + \frac{5}{2}x$

がある。

(1) 原点以外の $\ell$ と $c$ の交点 $P$ における $c$ の接線の傾き $m$ は、$m = \text{ア}$ である。

(2) 点 $P$ を通り、点 $P$ における接線の傾きが $m$ である曲線 $d$ の方程式が $y = x^2 + px + q$ であるとすると、$p = \text{イ}$、$q = \text{ウ}$ である。また、$d$ と $\ell$ とのもう一つの交点 $Q$ の $x$ 座標は、$x = \text{エ}$ である。

(3) 直線 $\ell$ と曲線 $c$ が囲む図形の面積と直線 $\ell$ と曲線 $d$ が囲む図形の面積との和 $S$ は、$S = \text{オ}$ である。

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【解法ポイント】

• ステップ①：直線と曲線の交点を求める（連立方程式）
• ステップ②：曲線の導関数を利用して接線の傾きを求める（微分法）
• ステップ③：接線の条件から未知数を決定する
• ステップ④：囲まれた図形の面積を積分で求める（定積分）

【解説】

ステップ①：交点Pを求める

$\ell$ と $c$ の交点は $\frac{1}{2}x = -x^2 + \frac{5}{2}x$ を満たします。

$$\frac{1}{2}x = -x^2 + \frac{5}{2}x$$
$$0 = -x^2 + 2x$$
$$0 = -x(x - 2)$$

よって $x = 0$ または $x = 2$。

原点以外なので $x = 2$、$y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$。

したがって $P(2, 1)$ です。

ステップ②：点Pにおける接線の傾みを求める

曲線 $c: y = -x^2 + \frac{5}{2}x$ を微分すると：

$x = 2$ を代入：

ア：$m = -\frac{3}{2}$

ステップ③：曲線dの方程式を求める

曲線 $d: y = x^2 + px + q$ が点 $P(2, 1)$ を通るので：

また、$d$ の導関数は $\frac{dy}{dx} = 2x + p$ です。

$x = 2$ での接線の傾きが $m = -\frac{3}{2}$ なので：

$$2(2) + p = -\frac{3}{2}$$
$$4 + p = -\frac{3}{2}$$
$$p = -\frac{11}{2}$$

イ：$p = -\frac{11}{2}$

$(*)$ に代入：

$$1 = 4 + 2 \cdot (-\frac{11}{2}) + q$$
$$1 = 4 - 11 + q$$
$$q = 8$$

ウ：$q = 8$

ステップ④：曲線dと直線ℓの交点Qを求める

$\ell$ と $d$ の交点は $\frac{1}{2}x = x^2 - \frac{11}{2}x + 8$ を満たします。

$$\frac{1}{2}x = x^2 - \frac{11}{2}x + 8$$
$$0 = x^2 - 6x + 8$$
$$0 = (x - 2)(x - 4)$$

$x = 2$ は点 $P$、もう一つの交点 $Q$ は $x = 4$。

エ：$x = 4$

ステップ⑤：囲まれた面積を計算する

$\ell$ と $c$ が囲む面積：

$\ell$ と $d$ が囲む面積：

$$S_2 = \int_2^4 \left(\frac{1}{2}x - (x^2 - \frac{11}{2}x + 8)\right) dx$$
$$= \int_2^4 \left(-x^2 + 6x - 8\right) dx$$
$$= \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x\right]_2^4$$

$x = 4$ のとき：$-\frac{64}{3} + 48 - 32 = -\frac{64}{3} + 16 = \frac{-64 + 48}{3} = -\frac{16}{3}$

$x = 2$ のとき：$-\frac{8}{3} + 12 - 16 = -\frac{8}{3} - 4 = -\frac{20}{3}$

オ：$S = \frac{8}{3}$

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大問2（政経）

【問題文】

相異なる任意の実数 $a, b$ に対して、不等式

をみたす関数 $f(x)$ がある。このとき、$a = 0$ にとり、いったん$n$ を固定する。そして $a, b$ でつくられる区間を $n$ 等分し、$f(x)$ が定数関数であることを示せ。

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【解法ポイント】

• キーワード：リプシッツ条件（関数の連続性と一致定理）
• 戦略：区間分割を利用して、任意の2点で $f$ の値が等しいことを示す

【解説】

この問題は、与えられた不等式から $f$ が定数関数（すべての点で同じ値を取る）ことを証明する問題です。

証明の戦略

区間 $[0, x]$ を $n$ 等分し、分割点を $0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = x$ とします。
各小区間の長さは $\Delta x = \frac{x}{n}$。

与えられた条件から、隣同士の分割点 $x_i$ と $x_{i+1}$ に対して：

n個の不等式を加える

$i = 0, 1, \ldots, n-1$ について加算すると：

n → ∞ とする

$n \to \infty$ とすると：

したがって $f(x) = f(0)$ が任意の $x$ で成立します。

結論：$f(x)$ は定数関数です。 ✓

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大問3（政経）

【問題文】

(1) $k, n$ を正の整数とし、

とする。このとき、等式 $S_k = T_n$ が成立する $k$ を $n$ で表せ。また、その等式を $n$ に関する数学的帰納法によって証明せよ。

(2) $n$ を正の整数とするとき、$S_n$ の最大値と最小値を求め、その理由を示せ。

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【解法ポイント】

• ステップ①：$S_k$ と $T_n$ の関係式を探す（いくつかの $n$ で試す）
• ステップ②：数学的帰納法で証明する
• ステップ③：$S_n$ の増減を調べ、極値を求める

【解説】

ステップ①：kをnで表す

$n = 1$ のとき：
$$T_1 = \frac{1}{2}$$

$S_1 = 1$ なので合いません。

$S_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = T_1$ ✓

$n = 2$ のとき：
$$T_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$$

$S_3 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ではなく、$S_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ で

$$S_4 = \frac{1}{3} +

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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