早稲田大学 2001年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！藤原進之介です。

今回は、早稲田大学の2001年度数学入試問題を、一緒に丁寧に解説していきます。この記事を読み終わったとき、あなたは「あ、この問題はこの公式を使うんだ！」「どうしてこの解き方が成り立つのか、わかった！」という感覚を味わえるはずです。

数学が苦手でも大丈夫。一歩ずつ、一緒に進んでいきましょう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験の特徴

早稲田大学の数学入試は、問題数が多く、時間配分が非常に重要という特徴があります。2001年度は全5題（または6題）で、標準〜やや難レベルの問題が幅広い単元から出題されます。

数学を料理に例えるなら、「様々な材料をバランスよく使いこなすテクニック」が求められるのです。微分積分、複素数、確率、数列……それぞれの「調理法（公式・解法）」を完全にマスターしていないと、限られた時間内に全ての問題を完成させることができません。

出題範囲の特徴

• 計算量が多い問題：単なる公式の適用ではなく、途中過程で工夫が必要
• 複合問題：複数の単元を組み合わせた問題
• 論理的な説明：「なぜそうなるのか」の理由を記述させる問題

では、具体的な問題を見てみましょう。

🧑 生徒：「早稲田の数学は、どんな単元が頻出なんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！早稲田は微分積分・複素数・数列が特に好きなんだ。ただし、単に計算させるだけでなく『この問題が解けるのは、なぜこの定理を使うのか』という本質的な理解が求められるんだよ。だから『青チャート』で基礎をしっかり固めた後、『1対1対応の演習』で入試標準レベルの問題に慣れることが大切なんだ。」

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2001年度 問題全文と完全解説

大問1：放物線の接線問題

【問題文】

放物線 (A) $y = -x^2 + 2px + q$（ただし $-2 < p < 4$）が、2つの放物線

(B) $y = x^2 - 8x + 16$

(C) $y = 7x^2 + 28x + 16$

の両方に接するように、$p, q$を定めるとき、$p = \text{ア}$、$q = \text{イ}$である。ただし、2つの放物線が接することとは、共有点をもち、共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点と呼ぶ。

(A)と(B)の接点P の$x$座標$x_1$はウで、(A)と(C)の接点Qの$x$座標$x_1$はエである。また、このとき、3つの放物線(A)、(B)、(C)で囲まれる三角形状領域PQRの面積$S$はオである。ここに、$R = (0, 16)$とする。

【解法ポイント】

• ステップ①：2つの放物線が接するとは、その方程式の差が重根をもつことを意味します。
• ステップ②：判別式 = 0 という条件から、$p$と$q$の関係式を導きます。
• ステップ③：2つの条件から連立方程式を立てて、$p$と$q$を決定します。

【解説】

(A)と(B)が接するための条件：

この式を整理すると：

接するということは、この二次方程式が重根を持つということです。判別式 = 0 より：

次に(A)と(C)が接するための条件：

判別式 = 0 より：

式(1)から：$q - 16 = -\frac{(p+4)^2}{2}$

式(2)に代入：

$-2 < p < 4$ より、$\boxed{p = 2}$

式(1)から：

接点Pの$x$座標：$-2x^2 + (2 \cdot 2 + 8)x + (-2-16) = 0$

接点Qの$x$座標：$-8x^2 + (2 \cdot 2 - 28)x + (-2-16) = 0$

三角形PQRの面積は、$P(3, 1)$、$Q(-\frac{3}{2}, 16)$、$R(0, 16)$を頂点とする三角形です。

底辺QR = $|3 - (-\frac{3}{2})| = \frac{9}{2}$、高さ = $|1 - 16| = 15$

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大問2：三角方程式の実数解

【問題文】

$-90° < \theta < 90°$とするとき、$x$の方程式

が、少なくとも1つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：$\sin \theta = 0$の場合と$\sin \theta \neq 0$の場合に分ける
• ステップ②：二次方程式の判別式 $\geq 0$ の条件を立てる
• ステップ③：$\cos 2\theta$の範囲を考慮して、最終的な$\theta$の範囲を決定

【解説】

Case 1： $\sin \theta = 0$ のとき

$\theta \in (-90°, 90°)$ で $\sin \theta = 0$ となるのは $\theta = 0°$ のみです。このとき：

実数解をもつので $\theta = 0°$ は解に含まれます。

Case 2： $\sin \theta \neq 0$ のとき

二次方程式の判別式 $D \geq 0$：

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ より：

$t = \sin \theta$ とおくと、$-1 < t < 1$ で：

これを解くと、$\theta \in [-\frac{1}{2}, 1)$ の範囲が得られます。

したがって：$$\boxed{-30° \leq \theta < 90°}$$

🧑 生徒：「判別式が0以上という条件は何を意味するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いいポイントだね！判別式は『二次方程式が実根をもつかどうか』を判定する重要な定理なんだ。$D = b^2 - 4ac \geq 0$ ということは、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が実数であることを意味するんだよ。フリーダイビングに例えると『海底（実数解）に到達できるかどうか』の判定みたいなものだね。」

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大問3：確率と経路計数

【問題文】

入口から7つの出口（0, 1, …, 6）へ至る通路がある。

(1) 入口から出口2へ至る経路の総数を求めよ。

(2) 各分岐点で右側を選ぶ確率が $p$、左側を選ぶ確率が $1-p$ であるとき、ネズミが出口2に到達する確率を$p$の式で表せ。

(3) $p = \frac{2}{3}$のとき、出口$k$にはチーズが$k$枚置いてある。ネズミが食べるチーズ枚数の期待値を求めよ。

【解説】

(1) 経路図から、分岐点での選択回数を数えると、出口2に到達するパターンは 6 通りです。

(2) パターンごとの確率：
- 右右左：$p^2(1-p)$
- 右左右：$p(1-p)p$
- 左右右：$(1-p)p^2$

出口2の確率：$P(2) = p^2(1-p) + p(1-p)p + (1-p)p^2 = \boxed{3p^2(1-p)}$

(3) 各出口への確率と期待値を計算します：

$p = \frac{2}{3}$ を代入し、各出口への到達確率を計算すると：

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大問4：数列の漸化式

【問題文】

数列 $\{a_n\}$ が関係式

をみたすとき、

(1) 漸化式を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

【解説】

$S_n = 2a_n + \frac{1}{2}a_n - \frac{3}{2}$ を整理すると：

$n \geq 2$ のとき、$S_{n-

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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