広島大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で広島大学合格への道が開ける！

広島大学 2010年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

この記事では、広島大学2010年度数学の全問題を本質から丁寧に解説します。「なぜこの解法なのか」「どこでつまずきやすいか」を徹底的に掘り下げ、合格に直結する学習ができるよう設計しました。

この記事を読むと、以下の3つが手に入ります：

• ✅ 2010年度の全大問を完全理解：途中計算を一切省かない丁寧な解説で、答えまでの道筋が明確になる
• ✅ 広島大学数学の出題パターンと傾向が分かる：頻出単元・難易度の分析で、効率的な対策ができる
• ✅ 合否を分けた「差がつくポイント」が分かる：どこで部分点を稼ぎ、どこで完答するかの戦略が立てられる

👨‍🏫 藤原先生より：広島大学の数学は「難問を解く力」よりも「標準問題を確実に解き切る力」が問われます。焦らず、一緒にじっくり取り組んでいきましょう！

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

試験形式・基本データ

広島大学数学の偏差値帯と求められるレベル

広島大学の数学は、「標準レベルの問題を確実に完答する力」が最重要です。難関国立大（東大・京大・阪大）のような「発想力勝負の難問」はほとんど出ません。しかし、「標準問題だから簡単」と侮ると危険です。

計算量が多く、途中で符号を間違えたり、場合分けを漏らしたりすると大幅に減点されます。スピードと正確さのバランスが問われる試験です。

過去10年の頻出単元ランキング（広島大学数学）

他大学との比較：広島大学数学の特徴

• 東大：思考力・論述力重視で、見慣れない設定の問題が多い
• 京大：数学的センスと創造性が要求される難問揃い
• 広島大学：典型問題の完成度と計算精度を問う。解法の「引き出し」があれば解ける問題が中心

「全国の国公立大学のなかで、基礎〜標準の完成度を最も正確に測る試験のひとつ」と言えます。

会話①：広島大学の数学って難しいの？

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どのくらいのレベルの問題が出るんですか？行列とか積分とか、全部やらなきゃいけないんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！広島大学の数学は5問出るんだけど、その中には行列・数列・ベクトル・微積分・確率と幅広く出るんだ。でも難易度は標準レベルが中心だよ。大切なのは、例えば積分なら$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$という基本の計算をスピーディーかつ正確にこなせること。難問を1問解くより、標準問題を5問完答できる力の方がずっと大事なんだ。青チャートや1対1対応の演習で典型問題を徹底的に固めていこう！」

計算ミスなく標準問題を完答できれば、広島大学の数学は必ず攻略できるよ！

【セクション3】2010年度 出題テーマ速報と分析

2010年度 大問別テーマ一覧

今回の記事では、出題された問題のうち2問を完全解説します。

難易度の分析と合格ライン

2010年度の特徴として：

• 行列の問題（大問1セット1）は、$A^n$の計算に工夫が要り、やや発展的。ケアレスミスが命取り。
• 面積・ベクトルの問題（大問2セット2）は、典型的な解法が通用する標準問題。こちらを確実に完答することが合格への最短ルート。

合格ラインの目安（全5問中）：
標準的な合格者は全5問のうち3〜4問を完答、または5問すべてで部分点を稼ぐイメージです。今回解説する2問については、大問2（面積・内積）を完答、大問1（行列）で(1)(2)は確実に取りにいく戦略が効果的です。

【セクション4】全大問 問題・解説

大問1（セット1）：行列と1次変換・内積の値域（難易度★★★★☆）

【問題文】

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の表す1次変換 $f$ について、点 $P_1(1, 0)$ が $P_2(0, 3)$ に移され、点 $P_2$ が点 $P_3$ に、点 $P_3$ が点 $P_1(1, 0)$ にそれぞれ移されるとする。ただし $a, b, c, d$ は実数。

(1) 行列 $A$ を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

(3) $O(0, 0)$ とする。点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ が $f$ によって点 $Q$ に移されるとする。$0 \leq \theta \leq 2\pi$ のとき、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の内積 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ のとり得る値の範囲を求めよ。

【使う公式・定理】

【小問(1)の解法ステップ】

ステップ① 条件を行列の式に翻訳する

$P_1(1, 0) \to P_2(0, 3)$ より：

これより $a = 0,\ c = 3$ が直ちに得られる。

ステップ② $P_2 \to P_3$ を求める

$P_2(0, 3)$ に $A$ を作用させると：

よって $P_3 = (3b, 3d)$。

ステップ③ $P_3 \to P_1$ の条件を使う

左辺を計算すると（$a=0, c=3$を代入）：

ステップ④ $b, d$ を求める

$9b + 3d^2 = 0$ より $b = -\dfrac{d^2}{3}$。

これを $3bd = 1$ に代入：

よって $b = -\dfrac{(-1)^2}{3} = -\dfrac{1}{3}$。

ステップ⑤ 行列Aを確定する

【小問(2)の解法ステップ】

ステップ① $A^3 = E$ を確認する

$P_1 \to P_2 \to P_3 \to P_1$ という3ステップで元に戻るから、$f$ を3回繰り返すと恒等変換になる。よって：

実際に確認してみよう。

さらに：

ステップ② $n$ を3で割った余りで場合分け

$n = 3q + r$（$r = 0, 1, 2$）と置くと：

【小問(3)の解法ステップ】

ステップ① 点Qの座標を求める

$P(\cos\theta, \sin\theta)$ に行列 $A$ を作用させると：

ステップ② 内積を計算する

ステップ③ 2倍角の公式で変換する

$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{2}\sin 2\theta$、$\sin^2\theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$ を使う：

ステップ④ 合成して値域を求める

$\dfrac{4}{3}\sin 2\theta + \dfrac{1}{2}\cos 2\theta$ の振幅は：

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ のとき $2\theta$ は $[0, 4\pi]$ の範囲を動くから、$\sin 2\theta, \cos 2\theta$ はそれぞれ全ての値をとる。よって：

したがって：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは3つあります。

①「行列の周期性」という考え方：$P_1 \to P_2 \to P_3 \to P_1$ というサイクルは、まるで信号機の色が赤→青→黄→赤と繰り返すようなもの。3回で元に戻るから $A^3 = E$ という美しい性質が生まれます。これを利用すれば $A^{100}$ でも一瞬で計算できる。

②三角関数の合成：(3) は合成公式を知っていれば機械的に解けます。「$a\sin + b\cos$ 型は合成する」という引き出しを持っていれば怖くない。

③内積の計算：内積は「$x$ 成分同士・$y$ 成分同士をかけて足す」だけ。焦らず丁寧に計算することが大切です。

会話②：行列の累乗はどうやって計算するんですか？

🧑 生徒：「$A^n$ を求めるとき、毎回 $A$ を $n$ 回掛け算するんですか？$n$ が大きい数だとどうするんでしょう？」

👨‍🏫 藤原先生：「実は $A^n$ を毎回掛ける必要はないんだ！今回は行列の周期性を使うんだよ。$A^3 = E$（単位行列）が確認できたら、あとは $n$ を3で割った余り $r$ によって $A^n = A^r$ と分類するだけ！例えば $A^{100}$ は $100 = 33 \times 3 + 1$ だから $A^{100} = A^1 = A$ なんだ。これってサイクルを見つけて省エネするという数学の王道テクニックなんだよ。行列以外でも、数列の漸化式や確率の問題でも同じ考え方が出てくるから、ぜひ覚えておいて！」

周期性を見抜く目を鍛えると、難しそうな問題がグッとシンプルになるよ！

【この大問で身につく力】

行列の1次変換の本質的な理解、$A^n$ の計算における周期性の活用、三角関数の合成による値域問題の解法という3つのスキルが同時に身につく良問です。

大問2（セット2）：放物線と直線の囲む面積・円の領域と内積（難易度★★★☆☆）

【問題文（大問1）】

$k > 0$ とする。曲線 $C: y = kx^2\ (x \geq 0)$ と2つの直線 $\ell: y = kx + \dfrac{1}{k}$、$m: y = -kx + \dfrac{1}{k}$ との交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$（$0 < \beta < \alpha$）とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\alpha - \beta$ の値を求めよ。

(2) $\alpha\beta$、$\alpha^2 + \beta^2$ および $\alpha^3 - \beta^3$ を $k$ を用いて表せ。

(3) 曲線 $C$ と2直線 $\ell$、$m$ で囲まれた部分の面積を最小にする $k$ の値を求めよ。また、そのときの面積を求めよ。

【使う公式・定理（大問1）】

【大問1 小問(1) 解法ステップ】

ステップ① 交点の方程式を立てる

直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点：$kx^2 = kx + \dfrac{1}{k}$ より：

これを解くと（判別式 $D = k^4 + 4k^2 > 0$ なので実数解をもつ）：

$x \geq 0$ かつ $k > 0$ より、正の解が $\alpha$：

直線 $m$ と曲線 $C$ の交点：$kx^2 = -kx + \dfrac{1}{k}$ より：

$x \geq 0$ より正の解が $\beta$：

ステップ② $\alpha - \beta$ を計算する

これは $k$ によらず一定！美しい結果だね。

【大問1 小問(2) 解法ステップ】

ステップ① $\alpha + \beta$ を求める

ステップ② $\alpha\beta$ を求める

ステップ③ $\alpha^2 + \beta^2$ を求める

ステップ④ $\alpha^3 - \beta^3$ を求める

【大問1 小問(3) 解法ステップ】

ステップ① 面積を3つの部分に分けて考える

曲線 $C$ と2直線 $\ell$, $m$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めるには、図を描いて状況を把握することが最初のステップ。

直線 $\ell$ と $m$ は $y$ 軸上で交わり（$x=0$ で $y = \frac{1}{k}$）、曲線 $C$ とそれぞれ $x = \alpha$（$\ell$ との交点）、$x = \beta$（$m$ との交点）で交わる。

囲まれた部分の面積は：

ステップ② 各積分を計算する

第1積分：$\displaystyle\int_0^\beta \left(-kx^2 - kx + \frac{1}{k}\right)dx$

$$= \left[-\frac{k}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + \f

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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