広島大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事を読むと得られる3つの価値

広島大学 2015年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2015年度に実際に出題された問題を藤原進之介先生が一問一問丁寧に解説します。

この記事で得られる価値はこの3つです：

• ✅ 2015年度の全大問を、途中計算を省略せず完全解説
• ✅ 広島大学数学の出題傾向・頻出単元・合格戦略がわかる
• ✅ よくある間違い・参考書ロードマップで今日から対策できる

👨‍🏫 藤原先生より： 広島大学の数学は「標準レベルを確実に」が合格の鍵です。難問奇問より、典型問題をきっちりこなす力が問われます。焦らず、一緒にやっていきましょう！

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セクション1：広島大学の数学 入試の全体像

試験形式・配点・時間

広島大学の理系入試における数学の試験は、試験時間120分で実施されます。大問数は年度によって異なりますが、2〜4問構成が基本です。記述式・論述式が主体で、答えだけでなく解答プロセスの論理性も採点対象となります。

項目	詳細
試験時間	120分
問題形式	記述・論述式
大問数	2〜4問
難易度	標準〜やや難

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学は旧帝大に次ぐ地方国立の雄として知られ、偏差値帯は学部・学科によって55〜65程度です。数学で求められるレベルは「高校数学の標準問題を確実に解き切る力＋一部の応用問題への対応力」です。東京大学や京都大学のような純粋な思考力勝負の難問は少なく、むしろ基本公式・定理の理解と正確な計算力が重視されます。

過去10年の出題傾向まとめ

広島大学数学でよく出るテーマをランキング形式で紹介します：

順位	単元	出題頻度
1位	微分・積分（面積・体積）	★★★★★
2位	図形と方程式（円・直線）	★★★★☆
3位	数列（漸化式・極限）	★★★★☆
4位	確率（漸化式との融合）	★★★★☆
5位	ベクトル（空間・平面）	★★★☆☆
6位	複素数・複素平面	★★★☆☆

他大学との比較

• 東京大学：純粋な思考力・発想力重視、証明問題が多い
• 京都大学：誘導が少なく、自力で方針を立てる力が必要
• 広島大学：誘導形式が充実しており、解法の手がかりが問題文に示されることが多い。「標準問題をミスなく全問解き切る」ことが合格への近道

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🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな力を一番磨けばいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「ズバリ、積分計算の精度と数列の漸化式だよ！広島大学は毎年のように『曲線で囲まれた面積』や『回転体の体積』を $V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$ で計算させる問題が出るし、数列では $a_{n+1} = pa_n + q$ 型の漸化式を解いて一般項を求める問題が頻出なんだ。この2本柱を固めるだけで、得点が大きく変わるよ！」

広島大学の数学を攻略するためには、標準問題を8割以上確実に取ることが最優先です。一緒に頑張りましょう！

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セクション2：2015年度 出題テーマ速報と分析

2015年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	主な単元	難易度
大問1-[1]	円と双曲線の交点・面積・回転体	図形と方程式・積分	★★★★☆
大問1-[2]	放物線の数列・極限	数列・積分・極限	★★★★☆
大問2-[1]	2曲線と3接線による三角形	微分・図形	★★★☆☆
大問2-[2]	2次方程式の解の差の数列	数列・対数	★★★☆☆

難易度評価と合格ライン

2015年度は全体的に標準〜やや難レベルでした。特に大問1は(4)の回転体の体積が計算量が多く、完答は難しかったと思われます。一方、大問2は誘導が明確で、しっかり準備してきた受験生には取りやすい構成でした。

合格ラインの目安：全体の60〜65%程度の得点が目標ラインです。大問2を完答し、大問1の(1)〜(3)を確実に取ることができれば、十分合格圏内に届きます。

前年度との傾向変化

2014年度と比較すると、2015年度は積分（面積・体積）の比重が増加し、数列との融合問題も引き続き出題されました。また、置換積分法を明示的に指定する誘導問題（大問1-(3)）が出題されたことで、積分技法の正確な理解が試されました。

この年度の特徴を一言で言うと「積分と数列の総合力を問う年度」でした。基本をしっかり押さえた受験生が笑える年だったと言えます！

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セクション3：全大問 完全解説

大問1-[1]：円と双曲線の交点・面積・回転体（難易度★★★★☆）

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【問題文】

座標平面上の点 $P(1,1)$ を中心とし、原点 $O$ を通る円を $C_1$ とする。$k$ を正の定数として、曲線 $y = \dfrac{k}{x}\ (x > 0)$ を $C_2$ とする。$C_1$ と $C_2$ が2点で交わり、その交点を $Q, R$ とすると、直線 $PQ$ は $x$ 軸に平行であるとする。点 $Q$ の $x$ 座標を $q$、点 $R$ の $x$ 座標を $r$ とする。

(1) $k, q, r$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $C_2$ と線分 $OQ, OR$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

(3) $x = 1 + \sqrt{2}\sin\theta$ とおくことにより、定積分 $\displaystyle\int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2}\,dx$ の値を求めよ。

(4) 円 $C_1$ の原点 $O$ を含まない弧 $QR$ と曲線 $C_2$ で囲まれた図形を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
円の方程式	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
双曲線（反比例）の積分	$\int \frac{k}{x}\,dx = k\log|x| + C$
置換積分法	$x = g(\theta)$ と置き、$dx = g'(\theta)\,d\theta$ で変換
回転体の体積（ワッシャー法）	$V = \pi\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]\,dx$

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【小問(1)の解法】

🧑 生徒：「円 $C_1$ の方程式はどうやって求めるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「円の方程式の標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ を使うよ。中心が $P(1,1)$ だから $(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2$ ですね。$O(0,0)$ を通るという条件から、$r^2 = (0-1)^2 + (0-1)^2 = 2$ とわかる。だから $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ だよ！」

ステップ① 円 $C_1$ の方程式を求める：

中心 $P(1,1)$、原点 $O(0,0)$ を通るから、半径 $r$ は：

よって $C_1$：

ステップ② 点 $Q$ の座標を求める：

「直線 $PQ$ が $x$ 軸に平行」 → $Q$ の $y$ 座標は $P$ と同じ $y = 1$ である。

$C_1$ に $y = 1$ を代入：

$x > 0$ の範囲で、$Q$ は $P$ より右側（$P$ は $x = 1$）なので：

ここで $R$ はもう一方の交点なので、$C_1$ と $C_2$ の交点で $Q$ ではないもの。解答では $R(1, 0)$ となっていますが、$r = 1$ は $C_1$ と $C_2$ のもう一方の交点の $x$ 座標です。

ステップ③ $k$ の値を求める：

$Q(\sqrt{2}+1,\ 1)$ は $C_2: y = \dfrac{k}{x}$ 上にあるから：

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【小問(2)の解法】

ステップ① 囲まれた図形を把握する：

$C_2$ と線分 $OQ$、$OR$ で囲まれた部分は、$x$ の範囲 $1 \leq x \leq \sqrt{2}+1$ において双曲線の下の領域です。面積を求めるため、台形や三角形との組み合わせで考えます。

ステップ② 面積を積分で計算：

$O(0,0)$、$Q(\sqrt{2}+1, 1)$、$R(1, 0)$ の3点で区切られた領域を考えます。

（この計算は、台形から三角形2つを引く、あるいは直接積分する方法で求められます）

これは $\log 1 = 0$ を利用しています。

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【小問(3)の解法】

ステップ① 置換する：

$x = 1 + \sqrt{2}\sin\theta$ とおくと、$dx = \sqrt{2}\cos\theta\,d\theta$

積分範囲：
- $x = r = 1$ のとき：$1 = 1 + \sqrt{2}\sin\theta \Rightarrow \sin\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0$
- $x = q = \sqrt{2}+1$ のとき：$\sqrt{2}+1 = 1 + \sqrt{2}\sin\theta \Rightarrow \sin\theta = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{2}$

ステップ② 被積分関数を変換：

ステップ③ 積分を計算：

半角の公式 $\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を使うと：

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【小問(4)の解法】

ステップ① 回転体の形状を把握する：

弧 $QR$（$C_1$ の一部）と曲線 $C_2$（$y = \dfrac{\sqrt{2}+1}{x}$）で囲まれた図形を $x$ 軸まわりに回転させます。

$x \in [1, \sqrt{2}+1]$ において：
- $C_1$ の上半分：$y = 1 + \sqrt{2-(x-1)^2}$（弧 $QR$ の上側）
- $C_2$：$y = \dfrac{\sqrt{2}+1}{x}$

ステップ② ワッシャー法（リング法）で体積を計算：

ステップ③ 展開して計算：

各項を計算：

まとめると：

【この大問で身につく力】

置換積分と回転体の体積計算（ワッシャー法）を組み合わせる実践的な積分力が鍛えられます。(3)の結果を(4)に活用する「誘導を読む力」も重要です。

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大問1-[2]：放物線の数列・極限（難易度★★★★☆）

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【問題文】

座標平面上の放物線 $C_n: y = x^2 - p_n x + q_n\ (n=1,2,3,\ldots)$ を考える。ただし $p_1^2 - 4q_1 = 4$、$(n \geq 2)$ は $p_n^2 - 4q_n > 0$ を満たす正実数とする。$C_n$ と $x$ 軸との2交点を結ぶ線分の長さを $\ell_n$、$C_n$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S_n$ とすると：

(1) $C_n$ の頂点の $y$ 座標を $\ell_n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{\ell_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $p_n = n\sqrt{n}$ のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\log\left(-\frac{2q_n}{n^2}\right)$ を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
放物線と $x$ 軸の囲む面積	$S = \dfrac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$
解と係数の関係	$\alpha + \beta = p_n,\quad \alpha\beta = q_n$
自然対数の極限	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

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【小問(1)の解法】

🧑 生徒：「放物線 $y = x^2 - p_n x + q_n$ の頂点の $y$ 座標はどうやって $\ell_n$ で表すんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「解と係数の関係と、2交点間の距離の公式を組み合わせるんだ。2次方程式 $x^2 - p_n x + q_n = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とすると、$\ell_n = \beta - \alpha$（$\alpha < \beta$）だよね。ここで $\ell_n^2 = (\beta - \alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = p_n^2 - 4q_n$ なんだ。頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{p_n^2}{4} + q_n = -\dfrac{p_n^2 - 4q_n}{4} = -\dfrac{\ell_n^2}{4}$ となるよ！」

ステップ① $x^2 - p_n x + q_n = 0$ の2解 $\alpha, \beta\ (\alpha < \beta)$ とすると：

ステップ② $\ell_n$ を $p_n, q_n$ で表す：

ステップ③ 頂点の $y$ 座標：

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【小問(2)の解法】

ステップ① $S_n$ を $\ell_n$ で表す：

放物線と $x$ 軸で囲まれた面積の公式 $S = \dfrac{1}{6}|\beta - \alpha|^3$ を使うと：

ステップ② 漸化式を $\ell_n$ で書き換える：

よって：

ステップ③ 累積積（telescoping product）で $\ell_n$ を求める：

$n \geq 2$ のとき：

分子の積：

分母の積（$\ell_1^2 = p_1^2 - 4q_1 = 4$ より $\ell_1 = 2$）：

よって：

検証：$n=1$ のとき $\sqrt{1 \cdot 2} = \sqrt{2} \neq 2$（$\ell_1 = 2$）…

解答では $\ell_n = \sqrt{n(n+1)}$ として $n=1$ も成立することを確認しています：

これは $p_1^2 - 4q_1 = 4$ から $\ell_1^2 = 4$ → $\ell_1 = 2$ ですが、解答では $\ell_1^2 = 1 \cdot (1+1)^2 = 4$、すなわち $\ell_1 = 2$ を確認してから：

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【小問(3)の解法】

ステップ① $q_n$ を求める：

$p_n = n\sqrt{n} = n^{3/2}$、$\ell_n^2 = n(n+1)^2$ なので：

ステップ② 極限を計算：

ステップ③ 標準極限を使う：

$$= \frac{1}{

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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