広島大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で広島大学数学を完全制覇しよう！
広島大学 2017年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。
この記事では、広島大学2017年度の数学過去問を、基礎から丁寧に・完全に解説します。単に「答えを示す」だけでなく、「なぜその解法を選ぶのか」「どこで詰まりやすいのか」を徹底的に掘り下げています。
この記事を読むことで得られる3つの価値：
- ✅ 2017年度全2大問の完全解説（途中計算一切省略なし）
- ✅ 広島大学数学の出題傾向・合格戦略がわかる
- ✅ 数学的帰納法・図形と方程式・数列の漸化式など頻出テーマの本質的な理解が深まる
👨🏫 藤原先生より
広島大学の数学は「難問で差をつける」試験ではなく、「標準問題を確実に解ける力があるかを見る」試験です。だからこそ、焦らず基礎を固めることが最大の攻略法！この記事で一問一問丁寧に攻略していきましょう。一緒にやっていこう！
【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像
試験形式と基本情報
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 150分（9:00〜11:30） |
| 問題数 | 5問（数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B） |
| 解答形式 | 記述式（論述答案） |
| 使用科目 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル） |
| 難易度帯 | 標準〜やや難 |
広島大学（理系学部）の数学は、記述式5問・150分という形式で、東大・京大のような超難問は出ませんが、標準問題を正確に・論理的に記述できる力が強く問われます。偏差値帯は理系で55〜65程度で、青チャートや1対1対応の演習レベルをしっかりこなせれば十分太刀打ちできます。
過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分（数学Ⅱ・Ⅲ） | ほぼ毎年 |
| 2位 | 図形と方程式・図形の性質 | 非常に多い |
| 3位 | 数列（漸化式・極限） | 毎年ほぼ出題 |
| 4位 | 確率 | 頻出 |
| 5位 | ベクトル | 頻出 |
| 6位 | 複素数・2次曲線 | 時折出題 |
2017年度は数列の漸化式と極限、図形と方程式（距離の最小化）、三角関数の合成と文字置換、座標幾何による漸化式、という多彩な単元が出題されました。
広島大学数学の特徴：他大学との比較
| 大学 | 特徴 |
|---|---|
| 東大 | 論述の論理性・証明を最重視、整数問題が特徴的 |
| 京大 | 発想力を問う難問、計算量は少なめ |
| 広島大学 | 標準的解法の確実な実行力を重視。計算の丁寧さが合否を分ける |
| 岡山大学 | 広島大学と類似した傾向、やや計算量が多い |
🧑 生徒：「広島大学の数学って、どういう勉強をすればいいんですか？難しいですか？」
👨🏫 藤原先生：「広島大学の数学は、青チャートや1対1対応の演習で扱うような標準問題を確実に解ける力があれば十分対応できる試験だよ。たとえば、漸化式なら『$a_{n+1} = pa_n + q$ 型を等比数列に変形する』とか、積分なら『置換積分法・部分積分法』を適切に使い分ける、という基本技術の精度を高めることが最優先。難問を1問解くより、標準問題を10問ミスなく解く練習をしよう！」
💡 まずは青チャートやフォーカスゴールドで基礎を固めることが、広島大学合格への最短ルートです！
【セクション3】2017年度 出題テーマ速報と分析
2017年度 大問別テーマ一覧
| 大問 | テーマ | 単元 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 大問1-[1] | 漸化式で定義された数列の一般項と極限 | 数列・極限・三角関数 | ★★★★☆ |
| 大問1-[2] | $f(t) = t^3 - 2at + 1$ の最小値と曲線・円の交点 | 微分・図形と方程式 | ★★★★☆ |
| 大問2-[1] | 三角関数・2点間距離の最大最小 | 三角関数・図形 | ★★★☆☆ |
| 大問2-[2] | 座標幾何と漸化式の一般項 | 図形と方程式・数列 | ★★★☆☆ |
難易度評価と合格ライン
2017年度は全体的に標準〜やや難レベル。大問1-[1]の数学的帰納法による証明と極限の計算がやや難しめ、大問1-[2]の(3)(4)は誘導の流れを読む力が問われます。大問2は比較的取り組みやすい問題が多いです。
得点戦略：大問2を確実に得点（7〜8割）し、大問1では(1)(2)小問を落とさず、(3)(4)で部分点を積み上げる、という戦略が有効です。
【セクション4】全大問 問題・解説
大問1-[1]：漸化式で定義された数列の一般項と極限（難易度★★★★☆）
【問題文】
数列 $\{a_n\}$ を
により定める。次の問いに答えよ。
(1) $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6}$、$a_3 = \tan\dfrac{\pi}{12}$ であることを示せ。
(2) 一般項 $a_n$ を表す $n$ の式を推定し、それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ。
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} 2^n a_n$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 半角の公式 | $\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ |
| $\sqrt{\tan^2\theta + 1}$ の変形 | $\sqrt{\tan^2\theta + 1} = \dfrac{1}{|\cos\theta|}$ |
| $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ | 極限の基本公式 |
| 数学的帰納法 | ①$n=1$で成立 ②$n=k$で成立$\Rightarrow n=k+1$で成立、を示す |
【解法ステップ】
小問(1)：$a_2$、$a_3$ の値を示す
ステップ① $a_2$ を漸化式に代入して変形する。
$a_1 = \tan\dfrac{\pi}{3}$ を代入：
ここで $\sqrt{\tan^2\theta + 1} = \dfrac{1}{\cos\theta}$（$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta > 0$）を使うと：
ステップ② 分母・分子を $\cos\dfrac{\pi}{3}$ 倍して整理：
ステップ③ 半角の公式 $\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ を使う（$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ として）：
同様に $a_3$：
小問(2)：数学的帰納法による証明
ステップ① $a_1, a_2, a_3$ の値を観察して一般項を推定する。
分母は $3, 6, 12 = 3\cdot2^0,\ 3\cdot2^1,\ 3\cdot2^2$ となっているので：
と推定できる。
ステップ②（Ⅰ）$n=1$ のとき：
定義より成立。✓
ステップ③（Ⅱ）$n=k$ で成立と仮定する：
このとき $a_{k+1}$ を計算する：
（半角の公式を $\theta = \dfrac{\pi}{3 \cdot 2^{k-1}}$ として使用）
$n = k+1$ のときの $(*)$ の右辺と一致するので成立。
以上 (Ⅰ)(Ⅱ) より、すべての自然数 $n$ に対して $(*)$ は成立する。（証明終）
小問(3)：$\lim_{n \to \infty} 2^n a_n$ を求める
ステップ① 一般項を代入する：
ステップ② $u = \dfrac{\pi}{3 \cdot 2^{n-1}}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $u \to 0$。
また $2^n = \dfrac{2\pi}{3u}$ だから：
ステップ③ $\lim_{u \to 0}\dfrac{\sin u}{u} = 1$、$\cos 0 = 1$ を使う：
【藤原先生の解説】
この問題の核心は「漸化式の変形に半角公式が使えることに気づけるか」です。
スポーツで例えると、サッカーのドリブルのように、 $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \tan\dfrac{\theta}{2}$ という「型」を習得していれば、どんな角度から来ても瞬時に対応できます。逆にこの公式を知らないと、漸化式を追いかけるだけで手が止まってしまいます。
(3)の極限は、$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ という最重要極限を使う典型問題。$2^n \tan\dfrac{\pi}{3 \cdot 2^{n-1}}$ という式が、$\dfrac{\sin u}{u}$ の形に変形できると見抜くことがポイントです。
🧑 生徒：「漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}+1}$ を見たとき、どう変形すればいいんですか？」
👨🏫 藤原先生：「まず $\sqrt{\tan^2\theta + 1} = \dfrac{1}{\cos\theta}$ という変形を使うんだ。これは三角恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を $\cos^2\theta$ で割った $\tan^2\theta + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ からすぐ出てくるよ。これで $a_{n+1} = \dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \tan\dfrac{\theta}{2}$ という半角の公式に帰着できて、$\theta$ が $\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{12}, \ldots$ と半分になっていくことがわかるんだ！」
【この大問で身につく力】
数学的帰納法の証明記述力と、三角関数の変形技術（半角の公式）、さらに極限計算の基礎が同時に鍛えられる良問です。
大問1-[2]：$f(t)=t^3-2at+1$ の最小値と曲線・円の共有点（難易度★★★★☆）
【問題文】
$a > 0$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数 $f(t) = t^3 - 2at + 1$ の区間 $t \geq 0$ における最小値を、$a$ を用いて表せ。
(2) (1) で求めた最小値が $0$ となるときの $a$ の値を $A$ とおき、$A^3$ を求めよ。
(3) 座標平面上の曲線 $y = x^4$ を $C_1$、点 $(0, a)$ を中心とする半径 $a$ の円を $C_2$ とする。$C_1$ と $C_2$ の共有点の個数を調べよ。
(4) 座標平面において、点 $P$ が曲線 $y = x^4$ 上を動くときの点 $P$ と点 $(0, a)$ の距離の最小値を考える。その最小値が $a$ に等しくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 微分による最小値 | $f'(t) = 0$ の解を求め、増減表で判断 |
| 円の方程式 | $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$ |
| 2曲線の交点 | 連立して整理 |
| 距離の最小値 | $l^2$ を最小化して$l_{\min}^2 \geq a^2$ を調べる |
【解法ステップ】
小問(1)：$f(t) = t^3 - 2at + 1$（$t \geq 0$）の最小値
ステップ① 微分して増減を調べる：
$f'(t) = 0$ を解くと $t = \sqrt{\dfrac{2a}{3}}$（$t \geq 0$ のみ考える）
ステップ② 増減表：
| $t$ | $0$ | $\cdots$ | $\sqrt{\frac{2a}{3}}$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(t)$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(t)$ | $1$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |
$t = 0$ での値：$f(0) = 1 > 0$
$t \to \infty$ で $f(t) \to +\infty$
よって最小値は $t = \sqrt{\dfrac{2a}{3}}$ での値。
ステップ③ 最小値を計算する：
整理すると：
解答例の形に合わせると（$\sqrt{\frac{2a}{3}} = \frac{\sqrt{6a}}{3}$ を用いて）：
（解答では $-\dfrac{4a\sqrt{a}}{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$... など表記揺れがありますが、本質は同じです。以下では $f\!\left(\sqrt{\frac{2a}{3}}\right) = 1 - \dfrac{4a}{3}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$ と表記します）
小問(2)：最小値が $0$ のとき
ステップ① 最小値 $= 0$ とおく：
ステップ② 両辺を2乗：
ステップ③ $a^3$ を求める：
小問(3)：$C_1$ と $C_2$ の共有点の個数
ステップ① $C_1 : y = x^4$、$C_2 : x^2 + (y-a)^2 = a^2$ を連立する。
$y = x^4$ を代入：
展開して整理：
ステップ② $x = 0$ または $x^6 - 2ax^2 + 1 = 0$。
$t = x^2 \geq 0$ とおくと、$x^6 - 2ax^2 + 1 = 0$ は：
これは 小問(1) の関数 $f(t) = t^3 - 2at + 1$ の零点問題！
ステップ③ 場合分け：
-
$f(t)$ の最小値 $> 0$（$0 < a < A$）のとき：$t \geq 0$ での実数解なし
→ 共有点は $x = 0$ のみ → 1個 -
$f(t)$ の最小値 $= 0$（$a = A$）のとき：$t = \sqrt{\dfrac{2a}{3}}$ で1つの実数解（重解）
→ $t = \sqrt{\dfrac{2a}{3}} > 0$ なので $x = \pm\sqrt[4]{\dfrac{2a}{3}}$ の2点 + $x = 0$ → 3個 -
$f(t)$ の最小値 $< 0$（$a > A$）のとき：$t \geq 0$ での実数解が2つ（ともに正）
→ それぞれ $x = \pm\sqrt{t}$ の計4点 + $x = 0$ → 5個
まとめ：$A = \left(\dfrac{27}{32}\right)^{1/3} = \dfrac{3}{2\sqrt[3]{4}}$ として：
小問(4)：距離の最小値が $a$ に等しくなる $a$ の範囲
ステップ① 点 $P(x, x^4)$ と点 $(0, a)$ の距離 $l$ は：
ステップ② $l_{\min} = a$（最小値が $a$）を言い換える：
ステップ③ $x = 0$ のときは自動的に $0 \geq 0$ で成立。$x \neq 0$ のとき $x^2 > 0$ なので：
$t = x^2 \geq 0$ とおくと $f(t) = t^3 - 2at + 1 \geq 0$（すべての $t \geq 0$ で）。
これは $f(t)$ の最小値 $\geq 0$ を意味するので：
【藤原先生の解説】
この問題の醍醐味は「(1)で求めた最小値が、(3)(4)の解答に直接使われる」という美しい誘導構造にあります。
料理で例えると、(1)で下ごしらえした「タレ」が(3)(4)のメイン料理に使われる感じです。問題を解くとき、「この誘導はどこかで使うはず！」と意識することが大切。
特に(3)は、$C_1 \cap C_2$ の個数 = $f(t) = 0$ の非負実数解の個数 + $x=0$ という読み替えが核心です。
🧑 生徒：「(3)で曲線と円の交点を求めるとき、どうやって(1)と結びつけるんですか？」
👨🏫 藤原先生：「2つの方程式 $y = x^4$ と $x^2 + (y-a)^2 = a^2$ を連立すると、最終的に $x^2(x^6 - 2ax^2 + 1) = 0$ という方程式になるんだ。$t = x^2$ と置換すると $t^3 - 2at + 1 = 0$、これはまさに (1) の $f(t) = 0$ そのものだよ！だから(1)で求めた最小値の正負によって、$t \geq 0$ の実数解の個数が変わって、共有点の個数が決まる
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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