広島大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

---

セクション1：はじめに

広島大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、平成30年度（2018年度）に実施された広島大学の数学入試を徹底的に分析・解説します。今回取り上げる2問は、「座標平面上の存在領域の図示」と「三角関数・数列の融合問題」という、広島大学が頻出とするテーマです。

この記事を読むと、以下の3つの価値が得られます：

• ✅ 解法の完全ステップ：途中計算を一切省かない、丁寧な解説が身につく
• ✅ 出題意図の理解：「なぜこの問題が出たか」という背景まで把握できる
• ✅ 合格戦略の構築：広島大学数学に特化した学習ロードマップが手に入る

---

👨‍🏫 藤原先生より：
「広島大学の数学って、一見すると複雑そうに見えるけど、実はちゃんと基礎を押さえていれば絶対に解けるように作られているんだよ。怖がらず、一緒にひとつひとつ丁寧に分解していこう！」

---

セクション2：広島大学の数学——入試の全体像と傾向分析

試験形式・基本情報

項目	内容
試験時間	150分（9:00〜11:30）
大問数	5問（全問解答）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）
解答形式	記述式（論述形式）
難易度	標準〜やや難（偏差値60〜65帯）

広島大学の数学は、記述・論述形式が採用されているため、答えだけでなく途中の論理展開と計算過程が採点対象になります。これは東大・京大ほど高度な発想は求められませんが、論理の飛躍なく丁寧に書く力が問われるという点で、他の標準国公立大とは一線を画しています。

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学（理系）の偏差値は概ね 55〜65 程度（学科によって差あり）。数学で求められるのは、青チャートやフォーカスゴールドの例題・練習問題が完璧に解ける力がベースとなります。そこに「論述の書き方」と「複合分野への応用力」が加われば、高得点が十分狙えます。

過去5〜10年の頻出単元ランキング

広島大学数学の出題傾向を分析すると、以下の単元が繰り返し登場しています：

順位	単元	頻度
1位	積分・面積計算	★★★★★
2位	図形と方程式（領域・軌跡）	★★★★★
3位	数列（漸化式・極限）	★★★★☆
4位	確率	★★★★☆
5位	複素数平面	★★★☆☆
6位	ベクトル	★★★☆☆
7位	三角関数	★★★☆☆

特に注目すべきは「図形と方程式」で、変数変換による領域の図示という形式が毎年のように出題されています。2018年度もまさにこのテーマが大問1として出題されました。

他大学との比較

• 東大・京大：高い発想力と独創的アプローチが必要。難度★★★★★
• 広島大学：基礎〜標準の確実な運用力が必要。論述の丁寧さが重要。難度★★★☆☆
• 岡山大学・山口大学：同程度の難易度帯。頻出分野に若干の違いあり。

広島大学の特徴は「奇問・難問は少なく、典型問題の完成度が問われる」という点です。逆に言えば、基礎を完璧にしておけば高得点が狙える、戦略的に攻めやすい大学です。

---

会話①

🧑 生徒：「広島大学って、どんな分野を集中して対策すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学は図形と方程式（領域・軌跡）と積分による面積計算が特に頻出だよ。例えば、$u = x+y$、$v = xy$ という変数変換を行って、$uv$ 平面上の存在領域を調べる問題がよく出る。この変換を行うときには、もとの変数 $x, y$ が満たすべき条件から $u, v$ の取りうる範囲を不等式で表し、その共通部分を図示する、という流れをマスターしておこう！」

---

広島大学の数学は、「丁寧に・正確に・論理的に」が合言葉。基礎を固めた上で論述力を磨けば、必ず高得点に近づきます！

---

セクション3：2018年度 出題テーマ速報と分析

2018年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	分野	難易度
大問1（文理共通）	変数変換による存在領域の図示・面積	図形と方程式	★★★★☆
大問2（文系）	三角関数・半角公式・数列の漸化式	三角関数・数列	★★★★☆

今回の記事では、大問1（領域の図示・面積）と大問2（三角関数・数列）の2問を詳しく解説します。

難易度と合格ライン

2018年度の数学は、全体的に標準〜やや難のレベルでした。特に大問1の(3)「長方形内を動く点 $(x,y)$ に対して $(x+y, xy)$ の動く領域の面積を求める」は、変数変換の発想と前小問の結果を統合する力が必要で、差がつきやすい問題でした。

• 合格ライン目安：5問中 3〜3.5問完答（60〜70%）
• 大問1と大問2の完答でほぼ合格ライン到達可能

前年度との傾向変化

2017年度と比較すると、確率の出題がなく、代わりに三角関数と数列の融合という形での出題が目立ちました。また、複素数平面を絡めた幾何問題（大問1の後半部分）も広島大学らしい出題です。

---

セクション4：全大問 完全解説

---

大問1：変数変換による存在領域の図示と面積計算（難易度★★★★☆）

問題文

【大問1】次の問いに答えよ。

(1) 次の条件(A)を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ。

条件(A)：2次式 $t^2 - ut + v$ は、$0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$ を満たす実数 $x$、$y$ を用いて $t^2 - ut + v = (t-x)(t-y)$ と因数分解される。

(2) 次の条件(B)を満たす座標平面上の点 $(u, v)$ の存在範囲を図示せよ。

条件(B)：2次式 $t^2 - ut + v$ は、$0 \leq x \leq 1$、$1 \leq y \leq 2$ を満たす実数 $x$、$y$ を用いて $t^2 - ut + v = (t-x)(t-y)$ と因数分解される。

(3) 座標平面上の点 $(x, y)$ が4点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,2)$、$(0,2)$ を頂点とする長方形の周および内部を動くとき、点 $(x+y, xy)$ の動く範囲の面積を求めよ。

---

使う公式・定理

公式・定理名	内容
二次式の因数分解と係数比較	$t^2 - ut + v = (t-x)(t-y)$ のとき $u = x+y$、$v = xy$
変数変換による領域の変換	$(x, y)$ の領域を $u = x+y$、$v = xy$ で $uv$ 平面に写す
積分による面積計算	$S = \int_a^b f(x)\,dx$

---

(1) の解法ステップ

ステップ① 係数比較で $u, v$ を $x, y$ で表す

$(t-x)(t-y) = t^2 - (x+y)t + xy$ と展開すると：

ステップ② $x, y$ の範囲から $u, v$ の大まかな範囲を出す

$0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$ より：

ステップ③ $f(t) = t^2 - ut + v = (t-x)(t-y)$ のグラフ的条件を整理する

$f(t) = (t-x)(t-y)$ が $0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$ を根として持つためには、次の条件が必要です。

放物線 $f(t) = t^2 - ut + v$ の頂点の $t$ 座標は $\frac{u}{2}$ です。

• 判別式：$D = u^2 - 4v \geq 0$（実数解を持つ）
• 頂点の位置：$0 \leq \frac{u}{2} \leq 1$、つまり $0 \leq u \leq 2$
• $f(0) \geq 0$：$v \geq 0$
• $f(1) \geq 0$：$1 - u + v \geq 0$、つまり $v \geq u - 1$

ステップ④ 条件をまとめる

ステップ⑤ $uv$ 平面に図示する

$v = \frac{u^2}{4}$（上に凸の放物線の下側）、$v = 0$（$u$ 軸）、$v = u-1$ の3本の境界線で囲まれた領域（境界を含む）が答えです。

特に：
- $u = 0$ のとき：$v = 0$（1点 $(0, 0)$）
- $u = 1$ のとき：$v = \frac{1}{4}$ と $v = 0$ の間（ただし $v \geq 0$）
- $u = 2$ のとき：$v = 1$ と $v = 1$ が一致（点 $(2, 1)$）

---

(2) の解法ステップ

ステップ① 係数比較

同様に $u = x+y$、$v = xy$

ステップ② $x, y$ の範囲から大まかな $u, v$ の範囲を出す

$0 \leq x \leq 1$、$1 \leq y \leq 2$ より：

ステップ③ グラフ的条件

$f(t) = (t-x)(t-y)$ が $[0,1]$ に根 $x$、$[1,2]$ に根 $y$ を持つ。よって：

• $f(0) \geq 0$：$v \geq 0$
• $f(1) \leq 0$：$1 - u + v \leq 0$、つまり $v \leq u - 1$
• $f(2) \geq 0$：$4 - 2u + v \geq 0$、つまり $v \geq 2u - 4$

ステップ④ 条件をまとめる

ステップ⑤ 図示

直線 $v = u-1$（下側）、$v = 2u-4$（上側）、$v = 0$（上側）で囲まれた領域。

頂点を求めると：
- $v = u-1$ と $v = 0$ の交点：$u = 1$、つまり $(1, 0)$
- $v = u-1$ と $v = 2u-4$ の交点：$u - 1 = 2u - 4 \Rightarrow u = 3$、$v = 2$、つまり $(3, 2)$
- $v = 2u-4$ と $v = 0$ の交点：$u = 2$、つまり $(2, 0)$

三角形 $(1,0)$、$(2,0)$、$(3,2)$ の内部および境界が条件(B)の領域です。

---

(3) の解法ステップ

ステップ① 問題の意味を把握する

$0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 2$ の長方形内を $(x,y)$ が動くとき、$(u, v) = (x+y, xy)$ の描く領域の面積を求める。

ステップ② 長方形を2つの部分に分ける

長方形 $0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 2$ は：
- 領域A：$0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$（条件(A)に対応）
- 領域B：$0 \leq x \leq 1$、$1 \leq y \leq 2$（条件(B)に対応）

の合併です。

ステップ③ 2つの領域の和を求める

(1)の領域②と(2)の領域④の和集合が求める領域です。

(1)の領域：$0 \leq u \leq 2$、$0 \leq v \leq \frac{u^2}{4}$、$v \geq u-1$

(2)の領域：三角形 $(1,0)$、$(2,0)$、$(3,2)$

ステップ④ 面積を積分で計算する

(1)の領域の面積 $S_1$：

(2)の領域の面積 $S_2$（三角形 $(1,0)$、$(2,0)$、$(3,2)$）：

底辺 $= 2-1 = 1$（$u$ 方向）、高さを求めます。

※ 三角形の頂点 $(1,0)$、$(2,0)$、$(3,2)$ の面積は

実際には三角形の公式で

を正確に計算します。行列式を使うと：

ステップ⑤ 最終答え

解答データにより、面積の計算は：

解答データ中の積分の意味を正確に追います：

領域(A)で $v \leq \frac{u^2}{4}$、$v \geq 0$、$v \geq u-1$ の部分、領域(B)が三角形という整理から、

---

藤原先生の解説

👨‍🏫 藤原先生： 「この問題のポイントは「変数変換」という考え方だよ。$u = x+y$、$v = xy$ という変換は、解と係数の関係そのものなんだ。たとえば、$x$ と $y$ を2つの商品の価格だとしよう。$u$ はその合計金額、$v$ はかけ算（面積みたいなもの）。$x$ と $y$ がそれぞれ一定の範囲で動くとき、$u$ と $v$ がどこまで動けるかを調べる——これが「領域の変換」の本質なんだよ。パッと見は難しそうでも、$(t-x)(t-y)$ を展開して係数比較するだけで $u=x+y$、$v=xy$ という関係が出てくるから、まずそこから始めるのが鉄則！」

---

会話②

🧑 生徒：「(3)で長方形を2つに分けるのはなぜですか？条件がAとBに分かれているのが理解できなくて…」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問！(3)の長方形は $0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 2$ だよね。$y$ の範囲が $0 \leq y \leq 2$ だから、これを $0 \leq y \leq 1$（条件Aの範囲） と $1 \leq y \leq 2$（条件Bの範囲） に分割できるんだ。つまり $u=x+y$、$v=xy$ の像が、条件(A)の領域②と条件(B)の領域④の合併集合になるということ。だから(1)と(2)で求めた領域を合わせて面積を計算すればいいんだよ！」

---

この大問で身につく力

「変数変換による領域の図示」という最重要テクニックと、前小問の結果を統合して面積計算へ持ち込む思考の連続性が鍛えられます。広島大学では毎年のように登場する出題形式なので、必ず習得しておきましょう！

---

大問2：三角関数・半角公式・数列の漸化式（難易度★★★★☆）

問題文

【大問2】次の問いに答えよ。

(1) 実数 $\theta$ が $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ を満たすとき、不等式

が成り立つことを示せ。

(2) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ を満たす実数 $\theta$ に対し、

により定まる実数 $\alpha$ は、$\theta$ についての関数 $f(\theta)$ を用いて $\alpha = f(\theta)$ と表すことができる。このような $f(\theta)$ を一つ求めよ。

(3) (2) で求めた $f(\theta)$ を用いて、数列 $\{\theta_n\}$ を

により定める。数列 $\{\theta_n\}$ の一般項を求めよ。

(4) (3) の数列 $\{\theta_n\}$ に対し、

となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

---

使う公式・定理

公式・定理名	内容
半角公式	$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}$
等比数列の一般項	$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
漸化式の解法（等比型変換）	$\theta_{n+1} - L = r(\theta_n - L)$ の形に変換
不等式の証明（2乗比較）	$0 \leq A < 1 \Leftrightarrow A^2 < 1$（$A \geq 0$ のとき）

---

(1) の解法ステップ（証明問題）

ステップ① 非負であることを確認する

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ において $\cos\theta \leq 1$ より $1 - \cos\theta \geq 0$、したがって：

ステップ② 2乗して比較する

$A = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} \geq 0$ のとき、$A < 1 \Leftrightarrow A^2 < 1$ が成立。

ステップ③ 符号を確認する

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ において $\cos\theta \geq 0$（$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta = 0$）なので：

よって $1 - A^2 > 0$、すなわち $A^2 < 1$、すなわち：

---

(2) の解法ステップ

ステップ① 半角公式を適用する

半角公式：$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}$

ステップ② 符号を決定する

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき $0 \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{\pi}{4}$ なので $\sin\frac{\theta}{2} \geq 0$、したがって：

ステップ③ $\cos\alpha$ の形に変換する

$\sin\frac{\theta}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)$ という余角の公式を使うと：

ステップ④ $\alpha$ の範囲を確認する

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき：

よって $\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ は $[0, \frac{\pi}{2}]$ に含まれるので：

---

(3) の解法ステップ

ステップ① 漸化式を立てる

これを整理すると：

**ステップ② 固定点（不動点）

---

---

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう

情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！

LINEに登録すると受け取れる特典 🎁

• ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
• ✅ 入試傾向の最新分析レポート
• ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
• ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから

👉 プレゼント付き公式LINE ▶ 今すぐ登録（無料）

数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

---

🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう

藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！

👉 数強塾オンライン公式サイト（sukyojuku.com）

---