広島大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

---

はじめに：この記事を読む前に

広島大学 2019年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、広島大学2019年度（平成31年度）の数学入試問題を、基礎の確認から完全な解答まで丁寧に解説します。

この記事で得られる3つの価値：

• ✅ 等比数列・対数・平均の融合問題（大問1）を、基礎から論理的に証明する力が身につく
• ✅ 確率と座標幾何の融合問題（大問2）で、場合の数の数え方と条件の整理法が完全にマスターできる
• ✅ 広島大学数学の出題傾向・合格戦略が一目でわかり、本番で得点を最大化できる

藤原先生からのメッセージ：「広島大学の数学は、難問よりも標準問題を確実に解ける力が問われます。焦らず、一問一問の本質を理解していけば、必ず得点できる。一緒にやっていこう！」

---

【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

広島大学の数学入試は、学部・試験区分によって問題セットが異なります。理系学部では一般に以下の形式が採用されています。

項目	内容
試験時間	120分（理系）
問題数	大問5題程度（選択あり）
解答形式	記述式（証明・計算過程を全て書く）
配点	各大問均等配点が基本
難易度	標準〜やや難（偏差値60〜65帯）

記述式であることが最大の特徴で、答えだけでなく論理の流れを丁寧に書くことが求められます。部分点の設計が明確なため、「途中まで解けた」を大切にする姿勢が合否を分けます。

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学（理系）の数学で合格点を取るには、センター試験（共通テスト）8割以上＋二次試験標準問題を6〜7割解ける力が目安です。東大・京大のような発想力重視の難問は少なく、「基礎知識を確実に組み合わせる力」と「証明・論述の丁寧さ」が問われます。

過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

順位	単元	出題頻度
1位	微分・積分	ほぼ毎年
2位	数列（等差・等比・漸化式）	ほぼ毎年
3位	確率・場合の数	ほぼ毎年
4位	図形と方程式	頻出
5位	複素数・複素平面	理系で頻出
6位	ベクトル	頻出
7位	対数・指数	頻出

2019年度は数列×対数の融合と確率×座標幾何の融合という複合問題が出題されており、単一単元の知識だけでは対応できない問題構成になっています。これが広島大学の特徴です。

他大学との比較

• 東大・京大：発想力・思考力重視。見たことのない問題を解く力が必要。
• 阪大・名大：やや難度高め。計算力と論述力の両方が問われる。
• 広島大学：標準問題の確実な処理力＋丁寧な論述が中心。複合問題が多いが、各パーツは教科書レベル〜標準レベル。

---

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな力が一番大切なんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学の数学で一番大切なのは、『等差数列の一般項・等比数列の一般項・漸化式の解法』といった基本公式を確実に使いこなす力と、証明問題で論理の流れを丁寧に記述する力だよ。たとえば今回の大問1は『$c_{n+1} - c_n$ が定数であることを示す』という等差数列の定義を証明に使うんだけど、これができるかどうかが合否を分けるんだ。公式を丸暗記するんじゃなくて、『なぜその公式が成り立つのか』を理解していれば、どんな複合問題にも対応できるよ！」

---

💪 まずは広島大学の出題傾向をしっかり把握することが、最短合格への第一歩！

---

【セクション3】2019年度 出題テーマ速報と分析

2019年度（平成31年度）出題テーマ一覧

大問	テーマ	主な単元	難易度
大問1	等比数列・対数・等差数列・平均の融合	数列・対数	★★★☆☆
大問2（[1]）	（大問1と同一問題）	数列・対数	★★★☆☆
大問2（[2]）	コインとカードの確率漸化式・条件付き確率	確率・漸化式	★★★★☆

難易度評価と分析

大問1（数列・対数融合）：★★★☆☆（標準）
- (1) $b_n$ の一般項を求める：等比数列の公式と積の構造を理解していれば解ける
- (2) $\{c_n\}$ が等差数列であることの証明：対数の計算力と証明の書き方が問われる
- (3) $\{d_n\}$ が等比数列であることの証明：等差数列の和の公式 $M_n$ を求めてから指数に変換する流れが鍵

大問2（確率漸化式・条件付き確率）：★★★★☆（やや難）
- (1) $P_n$ を求める：漸化式を立ててから等比数列に変形する標準的な手法
- (2) 条件付き確率：「ちょうど2回裏返された」という条件を条件付き確率として処理する部分がやや難しい

前年度との傾向変化

2018年度から引き続き、複数の単元を組み合わせた融合問題が中心です。2019年度の特徴は「対数と数列の融合」が非常に整理された問題構成で出題されており、(1)→(2)→(3)の流れが美しくつながっています。計算ミスをしなければ確実に得点できる問題です。

合格ラインと得点戦略

理系の合格最低点（目安）は数学で6〜7割（60〜70点/100点満点換算）程度です。大問1を完答し、大問2の(1)を確実に取ることで7割に到達できます。大問2の(2)の条件付き確率は難度が高いため、「(1)まで確実に取ってから(2)に取り組む」戦略が有効です。

🎯 得点戦略：大問1を完答（+40点） ＋ 大問2-(1)を確実に取る（+20点） = 合格圏60点確保！

---

【セクション4】全大問 完全解説

---

大問1：等比数列・対数・等差数列・平均の融合（難易度 ★★★☆☆）

【問題文】

$a > 0,\ r > 0$ とし，数列 $\{a_n\}$ を初項 $a$，公比 $r$ の等比数列とする。また，数列 $\{b_n\}$ は次のように定義される。

次の問いに答えよ。

(1) $b_n$ を $a$，$r$ および $n$ を用いて表せ。

(2) 一般項が

である数列 $\{c_n\}$ は等差数列であることを証明せよ。

(3) (2) で与えられた数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの平均を $M_n$ とする。すなわち，

とする。このとき，一般項が

である数列 $\{d_n\}$ は等比数列であることを証明せよ。

---

【使う公式・定理】

公式名	内容
等比数列の一般項	$a_n = a \cdot r^{n-1}$
積の対数	$\log_r (AB) = \log_r A + \log_r B$
等差数列の証明	$c_{n+1} - c_n = \text{定数}$ を示す
等差数列の和	$\sum_{k=1}^{n} c_k = \frac{n(c_1 + c_n)}{2}$
等比数列の証明	$d_{n+1} / d_n = \text{定数}$ を示す

---

【解法ステップ：(1) $b_n$ を求める】

ステップ① 等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を確認する：

特に $a_1 = a,\ a_2 = ar,\ a_3 = ar^2,\ \ldots,\ a_k = ar^{k-1}$

ステップ② 漸化式 $b_{n+1} = b_n \cdot a_{n+1}$ を使って $b_n$ を積で表す：

ステップ③ $a$ が $n$ 個，$r$ の指数は $0+1+2+\cdots+(n-1)$ を計算：

ステップ④ $n=1$ のとき $b_1 = a^1 \cdot r^0 = a$ が成立することを確認：

---

【解法ステップ：(2) $\{c_n\}$ が等差数列であることの証明】

ステップ① $c_n$ の式に $b_n = a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ を代入する：

ステップ② 対数の積・累乗のルールを使って展開する：

ステップ③ $c_{n+1} - c_n$ を計算して定数であることを示す：

ステップ④ 結論を記述する：

$c_{n+1} - c_n = \dfrac{1}{2}$（定数）であるから，数列 $\{c_n\}$ は初項 $c_1 = \log_r a$，公差 $\dfrac{1}{2}$ の等差数列である。（証明終）

---

【解法ステップ：(3) $\{d_n\}$ が等比数列であることの証明】

ステップ① 等差数列の和の公式を使って $M_n$ を求める：

これを指数の形で書くと：

ステップ② $d_n = 2^{M_n}$ を計算する：

ここで，底が $r$ の対数なので注意が必要。$M_n = \log_r a + \frac{n-1}{4}$ は $r$ を底にした式として，

ステップ③ $d_{n+1} / d_n$ を計算して定数であることを示す：

$$\therefore \quad \frac{d_{n+1}}{d_n} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$$（定数）

ステップ④ 結論を記述する：

$\dfrac{d_{n+1}}{d_n} = 2^{\frac{1}{4}}$（定数）であるから，数列 $\{d_n\}$ は初項 $d_1 = 2^{M_1} = 2^{\log_r a}$，公比 $2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$ の等比数列である。（証明終）

---

【藤原先生の解説】

この問題の面白さは、「等比数列 → 対数をとって等差数列 → 平均をとって再び等比数列」という数列の変換の連鎖にあります。

料理で例えるなら、「生の素材（等比数列 $\{b_n\}$）を対数という包丁で加工して（$\{c_n\}$）、平均を取ってから指数でもう一度仕上げる（$\{d_n\}$）」という流れです。各ステップで何をやっているかを理解していれば、計算自体は丁寧に追うだけで解けます。

特に重要なのは証明問題の書き方です。「$c_{n+1} - c_n = \frac{1}{2}$（定数）であるから等差数列」という結論を明確に述べることを忘れずに！

---

会話：

🧑 生徒：「(3) で $d_{n+1}/d_n$ が定数であることを示せばいいのはわかるんですが、$M_n$ を具体的に求めるステップが難しかったです。$M_n$ ってどうやって計算するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！$M_n$ は等差数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k = \frac{n(c_1 + c_n)}{2}$ を使うんだ。$c_k = \log_r a + \frac{k-1}{2}$ だから、$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k = \frac{n\left(2\log_r a + \frac{n-1}{2}\right)}{2}$ になるよ。これを $n$ で割ると $M_n = \log_r a + \frac{n-1}{4}$ が出てくる。そして $M_{n+1} - M_n = \frac{1}{4}$ だから $d_{n+1}/d_n = 2^{1/4}$（定数）が証明できるんだ！」

---

【この大問で身につく力】

等比数列・対数・等差数列・数列の平均という複数の単元を橋渡しする思考力と、証明問題で「定数であることを明示する」という論述の正確性が鍛えられます。

💪 大問1は(1)→(2)→(3)がきれいにつながっている。焦らず順番通りに解いていこう！

---

大問2－[1]：確率（座標平面上の点の分布）（難易度 ★★★☆☆）

【問題文】

箱の中に $1$ から $N$ までの数が一つずつ書かれた $N$ 枚のカードが入っている（$N$ は2以上の自然数）。カードを1枚取り出して数を読み取り元に戻す試行を4回繰り返す。1〜4回目の数をそれぞれ $a_1, a_2, a_3, a_4$ とする。座標平面上に4点

を定める。

(1) $P_4$ が原点 $O(0,0)$ に一致する確率を $N$ を用いて表せ。

(2) $P_4$ が連立不等式 $x \geq 0,\ y \leq 0$ の表す領域にある確率を $N$ を用いて表せ。

(3) $P_4$ が直線 $y = x$ 上にある確率を $N$ を用いて表せ。

(4) $N = 2^m$（$m$ は自然数）とする。$P_4$ が原点 $O$ に一致し，かつ，四角形 $P_1P_2P_3P_4$ の面積が $2^m$ となる確率を $m$ を用いて表せ。

---

【使う公式・定理】

公式名	内容
確率の基本	$P = \frac{\text{条件を満たす場合の数}}{\text{全体の場合の数}}$
全体の場合の数	$N^4$（各試行が独立・復元抽出）
$a_i \geq a_j$ を満たす $(a_i, a_j)$ の個数	$\displaystyle \sum_{k=1}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2}$
$a_i + a_j = $ 定数を満たす組の数え方	場合分けで地道に数える

---

【解法ステップ：(1) $P_4$ が原点に一致する確率】

ステップ① $P_4(a_1 - a_3,\ a_2 - a_4) = (0, 0)$ の条件を確認する：

ステップ② 条件を満たす場合の数を数える：

• $a_1 = a_3$ となる $(a_1, a_3)$ の組：$N$ 通り（$a_1 = a_3 = 1, 2, \ldots, N$）
• $a_2 = a_4$ となる $(a_2, a_4)$ の組：$N$ 通り

ステップ③ 全体の場合の数 $N^4$ で割る：

---

【解法ステップ：(2) $P_4$ が $x \geq 0,\ y \leq 0$ の領域にある確率】

ステップ① 条件を整理する：

ステップ② $a_1 \geq a_3$ を満たす $(a_1, a_3)$ の組の数を数える：

$a_3$ を固定したとき $a_1 \geq a_3$ を満たす $a_1$ の個数は $N - a_3 + 1$ 個。よって：

ステップ③ $a_2 \leq a_4$ を満たす $(a_2, a_4)$ の組の数も同様に $\dfrac{N(N+1)}{2}$：

ステップ④ 確率を求める：

---

【解法ステップ：(3) $P_4$ が直線 $y = x$ 上にある確率】

ステップ① $P_4(a_1-a_3,\ a_2-a_4)$ が $y=x$ 上にある条件：

とおく（ただし $s = a_1 - a_3 + 2a_3 = a_2 - a_4 + 2a_4$ として整理）。

実は $a_2 - a_4 = a_1 - a_3$ を満たす $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ の組の数を直接数える方が効率的です。

ステップ② $a_1 - a_3 = d$ を固定したときの場合の数：

• $d = 0$ のとき：$a_1 = a_3$（$N$ 通り），$a_2 - a_4 = 0$（$N$ 通り）→ $N^2$ 通り
• $d = k > 0$ のとき：$a_1 - a_3 = k$（$N - k$ 通り），$a_2 - a_4 = k$（$N - k$ 通り）→ $(N-k)^2$ 通り
• $d = -k < 0$ のとき：同様に $(N-k)^2$ 通り

ステップ③ 合計を計算する：

（$3N + (N-1)(2N-1) = 3N + 2N^2 - 3N + 1 = 2N^2 + 1$ に注意）

ステップ④ 確率を求める：

---

【解法ステップ：(4) $P_4=O$ かつ面積 $=2^m$ となる確率（$N=2^m$）】

ステップ① $P_4 = O(0,0)$ の条件は (1) より $a_1 = a_3,\ a_2 = a_4$：

4点の座標は

ステップ② 四角形 $P_1P_2P_3P_4$ の形を確認する：

• $P_1(a_1, 0),\

---

---

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう

情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！

LINEに登録すると受け取れる特典 🎁

• ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
• ✅ 入試傾向の最新分析レポート
• ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
• ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから

👉 プレゼント付き公式LINE ▶ 今すぐ登録（無料）

数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

---

🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう

藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！

👉 数強塾オンライン公式サイト（sukyojuku.com）

---