北海道大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読むと得られること

北海道大学 2019年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、北海道大学2019年度の数学を徹底的に解説します。この記事で得られる3つの価値はこちらです。

• ✅ 2019年度全大問の解法ステップを、途中計算一切省略なしで完全解説
• ✅ 北海道大学数学の出題傾向と、合格に向けた具体的な学習ロードマップ
• ✅ よくある間違いと、合否を分けたポイントの明確な解説

北海道大学の数学は「標準レベル」と言われますが、幅広い分野から満遍なく出題されるため、穴を作ってしまうと大きく失点します。「全分野を丁寧に」が攻略の鍵です。一緒にやっていきましょう！

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セクション1：北海道大学の数学 入試の全体像

試験形式と基本データ

北海道大学の数学入試（理系）の概要は以下のとおりです。

項目	内容
試験時間	120分（9:00〜11:00）
問題数	大問5問（理系）／大問4問（文系）
解答形式	記述式（過程重視）
使用科目（理系）	数I・数II・数III・数A・数B
使用科目（文系）	数I・数II・数A・数B
偏差値帯	65〜70（理系）

北海道大学の最大の特徴は、採点時に「結果を導く過程を重視する」と明記されていることです。問題紙にも「必要な計算・論証・説明などを省かずに解答せよ」という注意書きがあります。つまり、答えが合っていても過程が雑だと点が来ない、逆に答えが間違っていても過程が正しければ部分点がもらえる、という典型的な記述式試験です。

過去10年の出題傾向まとめ

北海道大学数学で繰り返し登場する頻出単元ランキングは以下のとおりです。

ランク	単元	出題頻度
1位	微分・積分（数II・数III）	ほぼ毎年
2位	数列（漸化式・一般項）	ほぼ毎年
3位	ベクトル・空間図形	ほぼ毎年
4位	確率	毎年〜隔年
5位	整数・数の性質（整数問題）	隔年〜
6位	図形と方程式・軌跡	隔年〜
7位	三角関数・指数対数	隔年〜

他大学との違い・特徴

東大や京大が「論証の緻密さ・発想力」を重視するのに対し、北海道大学は「標準的な解法を正確に使いこなせるか」を重視する傾向があります。奇をてらった問題は少なく、解法パターンを理解していれば着実に点が取れる問題が多いです。

ただし、「標準レベル」というのは「簡単」を意味しません。標準問題を解くための基礎の定着度と計算の正確さが問われます。難しい問題を1問解けるより、標準問題を全問正確に解ける力の方が合格に直結します。

藤原先生からのコメント

🧑 生徒：「北海道大学の数学って、具体的にどんな力が必要ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「北大数学の本質は『基礎解法の完全習得』だよ。たとえば空間ベクトルの問題なら、$\vec{OQ} = a\vec{OA} + b\vec{OB}$ という平面の表現と、垂直条件 $\vec{PQ} \cdot \vec{OA} = 0$ を組み合わせて連立方程式を解く。この一連の流れを、手が止まらずに実行できるかが問われるんだ。『青チャート』や『フォーカスゴールド』で典型解法を完全習得してから、過去問演習に入るのが最短ルートだよ！」

北海道大学の数学は、「完成度の高い基礎」があれば必ず攻略できます。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

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セクション2：2019年度 出題テーマ速報と分析

大問別テーマと難易度

大問1（文系・理系共通）

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	空間ベクトルと正射影・三角形の内部条件	数B・ベクトル	★★★☆☆
[2]	直線のなす角・tanの最大値	数II・図形と方程式	★★★☆☆
[3]	フィボナッチ型数列・一般項	数B・数列	★★★★☆
[4]	関数方程式から係数決定・3次方程式の実数解条件	数II・微分	★★★☆☆

大問2（理系）

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	空間ベクトルと正射影（文系と同一・拡張問題）	数B・ベクトル	★★★☆☆
[2]	最大公約数の性質・整数論	数A・整数	★★★★☆
[3]	有理式の極値と中点の軌跡	数III・微分	★★★★☆
[4]	条件付き確率・期待値型の確率計算	数A・確率	★★★★☆
[5]	積分で定義される関数列・漸化式	数III・積分	★★★★★

2019年度の特徴と合格ライン

2019年度は、理系の大問[5]（積分で定義される関数列）が特に高難度で、受験生の間で大きく差がついたとみられます。文系の大問[3]のフィボナッチ型数列も、漸化式の変形から一般項を求めるプロセスで手間がかかる問題でした。

合格ラインの目安（理系）：5問中3問を完答し、残り2問で部分点を確保する戦略が現実的です。大問[1]と[2]は標準的なので、ここを確実に取ることが合否のカギです。

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セクション3：全大問 完全解説

大問1（文系）[1]：空間ベクトルと正射影・三角形の内部条件（難易度★★★☆☆）

問題文

$p$ を負の実数とする。座標空間に原点 $O$ と3点 $A(-1, 2, 0)$、$B(2, -2, 1)$、$P(p, -1, 2)$ がある。3点 $O, A, B$ が定める平面を $\alpha$ とする。また、点 $P$ から平面 $\alpha$ に垂線を下ろし、$\alpha$ との交点を $Q$ とする。

(1) $\vec{OQ} = a\vec{OA} + b\vec{OB}$ となる実数 $a, b$ を $p$ を用いて表せ。

(2) 点 $Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部にあるような $p$ の範囲を求めよ。

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使う公式・定理

公式名	内容
平面上の点の表現	平面 $\alpha$ 上の点 $Q$ は $\vec{OQ} = a\vec{OA} + b\vec{OB}$ と表せる
垂直条件	$\vec{PQ} \perp \vec{OA}$ ならば $\vec{PQ} \cdot \vec{OA} = 0$
三角形内部条件	$Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部 $\Leftrightarrow$ $a \geq 0$, $b \geq 0$, $a+b \leq 1$

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解法ステップ（1）

ステップ① $\vec{OQ}$ を成分で表す

$Q$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、

ステップ② $\vec{PQ}$ を求める

（$P(p, -1, 2)$ より $\vec{OP} = \begin{pmatrix} p \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$）

ステップ③ $\vec{PQ} \perp \vec{OA}$ より $\vec{PQ} \cdot \vec{OA} = 0$

ステップ④ $\vec{PQ} \perp \vec{OB}$ より $\vec{PQ} \cdot \vec{OB} = 0$

ステップ⑤ ①②を連立して解く

①より $5a - 6b = -p-2$、②より $-6a + 9b = 2p+4$

①×3：$15a - 18b = -3p - 6$
②×2：$-12a + 18b = 4p + 8$

辺々加えると：$3a = p + 2$、よって $a = \dfrac{1}{3}(p+2)$

①に代入：$5 \cdot \dfrac{p+2}{3} - 6b = -p-2$

$\dfrac{8(p+2)}{3} = 6b$、よって $b = \dfrac{4}{9}(p+2)$

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解法ステップ（2）

ステップ① 三角形内部の条件を立てる

$Q$ が $\triangle OAB$ の周または内部にある $\Leftrightarrow$ $a \geq 0$ かつ $b \geq 0$ かつ $a + b \leq 1$

ステップ② 各不等式を $p$ について解く

ステップ③ $p < 0$ の条件と合わせる

$p < 0$ のもとで $-2 \leq p \leq -\dfrac{5}{7}$ は $p < 0$ を満たす。

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藤原先生の解説

この問題、空間ベクトルが得意じゃない人は「平面をどう表せばいいの？」ってなるよね。でも実は、料理のレシピに似ているんだよ。

平面 $\alpha$ 上の点 $Q$ は、「$\vec{OA}$ という材料を $a$ グラム」「$\vec{OB}$ という材料を $b$ グラム」混ぜて作る、というイメージ。$Q$ が三角形の内部にある = 「材料 $a$, $b$ は非負で、合計が1以下（使いすぎない）」という制約。この直感を持てると、(2) の条件式が自然に出てくるよ。

🧑 生徒：「$\vec{PQ}$ が平面に垂直であることを、なぜ $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の両方との内積 = 0 で確認するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「平面 $\alpha$ は $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ という2本のベクトルで『張られて』いるんだ。平面内のすべてのベクトルは $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の線形結合 $s\vec{OA} + t\vec{OB}$ で表せる。だから、$\vec{PQ}$ が $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の両方と垂直（内積 = 0）であれば、$\vec{PQ}$ は平面内のすべてのベクトルと垂直 = 平面 $\alpha$ に垂直、ということが言えるんだよ。これが正射影の基本原理だよ。」

この大問で身につく力：平面の表現・正射影の求め方・三角形の内部条件という空間ベクトルの核心的解法が一通り習得できる。

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大問1（文系）[2]：直線のなす角・相加相乗平均によるtanの最大値（難易度★★★☆☆）

問題文

$x$ を正の実数とし、座標平面上に3点 $A(x, 0)$、$B(-2, 2)$、$C(-3, 3)$ をとる。直線 $AB$ と直線 $AC$ のなす角を $\theta$ とする。ただし $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ とする。

(1) $\tan\theta$ を $x$ で表せ。

(2) $x > 0$ における $\tan\theta$ の最大値およびそのときの $x$ の値を求めよ。

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使う公式・定理

公式名	内容
2直線のなす角のtanの公式	$\tan\theta = \left|\dfrac{\tan\beta - \tan\gamma}{1 + \tan\beta\tan\gamma}\right|$
相加平均・相乗平均不等式	$x + \dfrac{a}{x} \geq 2\sqrt{a}$（等号は $x = \sqrt{a}$ のとき）

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解法ステップ（1）

ステップ① 各直線の傾きを求める

直線 $AB$：$A(x, 0)$、$B(-2, 2)$ を通るので

待って、解答では角度の定義が少し違う。直線 $AB$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角 $\beta$ として、

直線 $AC$：$A(x, 0)$、$C(-3, 3)$ を通るので

ステップ② $\theta = \beta - \gamma$ として $\tan\theta$ を計算

ステップ③ 分子・分母を通分して整理

分子：$\dfrac{-2(x+3) + 3(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{-2x-6+3x+6}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x}{(x+2)(x+3)}$

分母：$\dfrac{(x+2)(x+3)+6}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x^2+5x+12}{(x+2)(x+3)}$

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解法ステップ（2）

ステップ① $x > 0$ より、式を変形する

ステップ② 相加平均・相乗平均の不等式を適用

$x > 0$、$\dfrac{12}{x} > 0$ なので、

等号成立条件：$x = \dfrac{12}{x}$、すなわち $x^2 = 12$、$x > 0$ より $x = 2\sqrt{3}$

ステップ③ $\tan\theta$ の最大値を求める

分母が最小になるとき $\tan\theta$ は最大になるので、

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藤原先生の解説

🧑 生徒：「(2) で $\tan\theta$ を最大化するとき、なぜ『分母を最小化』する方針を取るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$\tan\theta = \dfrac{1}{x+5+\frac{12}{x}}$ という形を見てみて。分数の形で、分子が定数（1）なんだ。分数って、分母が小さいほど全体が大きくなるよね？だから『$\tan\theta$ を最大化する』=『分母 $x+5+\dfrac{12}{x}$ を最小化する』という方針に自然に変換できる。そこで相加平均・相乗平均の不等式 $x + \dfrac{12}{x} \geq 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$ を使うんだよ。この変換を素早く気づけるかどうかが勝負だね！」

この大問で身につく力：2直線のなす角の処理と、相加相乗平均の不等式を最大・最小問題に応用する力が身につく。

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大問1（文系）[3]：フィボナッチ型数列の漸化式と一般項（難易度★★★★☆）

問題文

$n$ を自然数とする。各項が1または2の有限数列のうち、すべての項の和が $n$ となるものの個数を $s_n$ とする。（$s_1 = 1$, $s_2 = 2$）

(1) $s_3$ を求めよ。
(2) $n \geq 3$ のとき、$s_n$ を $s_{n-1}$ と $s_{n-2}$ を用いて表せ。
(3) $3$ 以上のすべての $n$ に対して $s_n - \alpha s_{n-1} = \beta(s_{n-1} - \alpha s_{n-2})$ が成り立つような実数 $\alpha, \beta$ の組 $(\alpha, \beta)$ を1組求めよ。
(4) $s_n$ を求めよ。

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使う公式・定理

公式名	内容
漸化式の変形（特性方程式）	$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$ の特性方程式は $t^2 = t + 1$
等比数列の一般項	$\{s_{n+1} - \alpha s_n\}$ が等比数列なら $s_{n+1} - \alpha s_n = (s_2 - \alpha s_1)\beta^{n-1}$

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解法ステップ（1）

$n = 3$ のとき、各項が1または2で和が3になる数列を列挙する。

• 3項：$1, 1, 1$（和 $= 3$）✅
• 2項：$1, 2$（和 $= 3$）✅、$2, 1$（和 $= 3$）✅
• 1項：$3$ は使えない（1か2のみ）

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解法ステップ（2）

和が $n$（$n \geq 3$）になる数列を、「初項が何か」で場合分けする。

• 初項が1のとき：残りの数列の和は $n-1$。残りの選び方は $s_{n-1}$ 通り。
• 初項が2のとき：残りの数列の和は $n-2$。残りの選び方は $s_{n-2}$ 通り。

これはフィボナッチ数列と同型の漸化式だよ！

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解法ステップ（3）

を展開すると、

これが $s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$ と一致するためには、

$\alpha$, $\beta$ は $t^2 - t - 1 = 0$ の2根なので、

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解法ステップ（4）

$n \geq 1$ のとき $s_{n+2} - \alpha s_{n+1} = \beta(s_{n+1} - \alpha s_n)$ が成り立つので、数列 $\{s_{n+1} - \alpha s_n\}$ は公比 $\beta$ の等比数列。

初項は $s_2 - \alpha s_1 = 2 - \alpha$ なので、

$\alpha$ と $\beta$ の役割を入れ替えると（$\alpha\beta = -1$, $\alpha + \beta = 1$ は対称式なので）、

③ − ④ より、

$\beta - \alpha = \sqrt{5}$、$2 - \alpha = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$、$2 - \beta = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ を代入すると、

両辺を $\sqrt{5}$ で割り、$\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{1

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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