【順天堂大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

はじめに：順天堂大学医学部 数学の全体像

こんにちは、日本数学塾・数強塾の看板講師、藤原進之介です。

順天堂大学医学部は、私立医学部の中でも最上位ランク（偏差値69.0前後）に位置する超難関校です。医学部受験を志す皆さんにとって、順天堂大学は憧れであると同時に、高い壁として立ちはだかる存在でしょう。

しかし、ご安心ください。順天堂大学医学部の数学は、出題傾向が明確であり、正しい対策を行えば確実に得点を伸ばすことができます。私がこれまで多くの受験生を順天堂大学医学部合格に導いてきた経験から、この記事では徹底的な傾向分析と具体的な対策法をお伝えします。

順天堂大学医学部の数学は、以下のような特徴を持っています：

• 全問記述式：答えだけでなく、解答過程も採点対象
• 試験時間70分に対して問題量が多い
• 証明問題が頻出
• 微分・積分、確率、数列、ベクトルが頻出分野
• 近年は難易度がやや落ち着き、適正なボリュームになりつつある

この記事を最後まで読めば、順天堂大学医学部の数学で合格点を取るための完全ロードマップが手に入ります。それでは、詳しく見ていきましょう！

出題傾向の徹底分析

試験形式・時間・配点

まず、順天堂大学医学部の数学の試験概要を確認しておきましょう。

【藤原の分析ポイント】

試験時間70分に対して大問4題ということは、1題あたり約17～18分で解く必要があります。しかし、順天堂大学の数学は年度によって難易度・分量に差があり、特に2015年、2016年、2019年は試験時間に対して問題量が過剰であったことが知られています。

近年（2022年以降）はボリュームが適正化され、70分で解き切れる問題量になってきています。ただし、油断は禁物です。捨て問を見極める力と典型問題を素早く解く力の両方が求められます。

一次試験全体の配点は以下の通りです：

• 英語：200点
• 数学：100点
• 理科（2科目）：200点（各100点）
• 合計：500点満点

数学は全体の20%を占めます。英語・理科と比べると配点比率は低めですが、数学で大きく落とすと挽回が難しいのが医学部受験の現実です。目標は得点率60～70%（60～70点）を確保することです。

頻出テーマ TOP5（各テーマで実際の出題例を1問以上示す）

過去10年分の出題を分析した結果、順天堂大学医学部の数学で頻出するテーマTOP5は以下の通りです。

【第1位】微分・積分（数学Ⅲ）

出題頻度：毎年ほぼ確実に出題

順天堂大学医学部の数学で最も重要な分野です。特に以下のテーマが頻出です：

• 定積分の計算（特に置換積分、部分積分）
• 面積・体積の計算（回転体の体積含む）
• 媒介変数表示の曲線
• 極限（数列の極限、関数の極限）
• 平均値の定理を用いた不等式の証明

【実際の出題例：2024年】

【藤原のコメント】

2024年の出題は、平均値の定理の理解を問う良問でした。「同じ関数の x 座標の差が 1 のときの y 座標の差」という表現が出てきたら、まず平均値の定理を思い浮かべましょう。これは教科書レベルの基本定理ですが、実際に使いこなせる受験生は多くありません。

【第2位】確率・場合の数

出題頻度：ほぼ毎年出題

確率は医学部数学の定番です。順天堂大学では特に：

• 条件付き確率
• 確率漸化式
• 期待値の計算
• 独立試行の確率

が頻出です。

【実際の出題例：2022年】

【藤原のコメント】

条件付き確率は近年の入試で非常に重要視されています。2022年の順天堂大学では、条件付き確率の問題でアプローチに迷った受験生が多かったとのこと。ここでしっかり得点できれば、ライバルに差をつけられます。

【第3位】数列・漸化式

出題頻度：2～3年に1回程度

数列は確率と組み合わせて出題されることも多いです：

• 漸化式の解法（特性方程式、階差数列など）
• 数学的帰納法による証明
• Σ計算
• 群数列

【実際の出題例】

【第4位】図形・ベクトル

出題頻度：2～3年に1回程度

空間ベクトル、平面ベクトルともに出題されます：

• 内積の計算と図形への応用
• 空間における直線・平面の方程式
• 三角比と図形（18°シリーズなど）

【実際の出題例：2022年】

【藤原のコメント】

2022年は数学Ⅲの微積分が出題されず、代わりに正五角形と三角比の問題が出題されました。これはコロナ禍による現役生への配慮と考えられます。ただし、これは例外的な年であり、通常は数学Ⅲの微積分は必ず出題されると考えてください。

【第5位】複素数・整数・その他

出題頻度：年度によって異なる

• 1の n 乗根（特に1の3乗根 ω）
• 双曲線関数（sinh, cosh）
• 整数の性質（合同式、約数・倍数）
• 2変数関数の最大・最小

【実際の出題例：2022年】

【藤原のコメント】

双曲線関数は教科書では発展的内容として扱われますが、順天堂大学では時折出題されます。定義式と基本公式（cosh²x - sinh²x = 1 など）は押さえておきましょう。

分野別 実際の問題と解説

微分・積分（実際の出題例＋詳細解説）

【例題1】定積分と面積

【詳細解説】

（1）の解答

x³ - 3x = ax を解くと：

x³ - (3 + a)x = 0

x(x² - (3 + a)) = 0

異なる3点で交わるためには、x² = 3 + a が異なる2つの実数解を持てばよい。

よって、3 + a > 0、すなわち a > -3

（2）の解答

交点の x 座標は x = 0, ±√(3 + a)

β = √(3 + a) とおくと、面積 S は：

S = 2∫₀^β |x³ - 3x - ax| dx = 2∫₀^β |x³ - (3+a)x| dx

0 ≤ x ≤ β では x³ - (3+a)x = x(x² - β²) ≤ 0 なので：

S = 2∫₀^β ((3+a)x - x³) dx

= 2[(3+a)x²/2 - x⁴/4]₀^β

= 2{(3+a)β²/2 - β⁴/4}

= (3+a)β² - β⁴/2

β² = 3 + a を代入して：

S = (3+a)² - (3+a)²/2 = (3+a)²/2

（3）の解答

S = (3+a)²/2 は a > -3 において単調増加。

よって a → -3 のとき S → 0 に近づくが、a = -3 では交点が1点のみ。

したがって、S に最小値は存在しない（下限が 0 だが、達成されない）。

【藤原のワンポイントアドバイス】

この問題のポイントは、交点条件を正確に求めることと、絶対値の処理です。面積計算では、どちらの関数が上かを確認してから積分しましょう。また、「最小値」を聞かれたとき、下限は存在するが最小値は存在しないというケースがあることも覚えておいてください。

【例題2】回転体の体積

【詳細解説】

回転体の体積の公式より：

V = π∫₀^∞ (e^{-x})² dx = π∫₀^∞ e^{-2x} dx

= π[-e^{-2x}/2]₀^∞

= π(0 - (-1/2))

= π/2

【藤原のワンポイントアドバイス】

広義積分が登場する問題です。x → ∞ のとき e^{-2x} → 0 となることを利用します。順天堂大学では、このような「無限区間での積分」が出題されることがあります。極限の処理を丁寧に行いましょう。

【例題3】平均値の定理の応用

【詳細解説】

平均値の定理：f(x) が [a, b] で連続、(a, b) で微分可能ならば、

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) を満たす c ∈ (a, b) が存在する。

f(x) = log x のとき、f'(x) = 1/x

平均値の定理より：

log b - log a = (1/c)(b - a) （ある c ∈ (a, b) が存在）

a < c < b より：

1/b < 1/c < 1/a

両辺に (b - a) > 0 を掛けて：

(b - a)/b < (b - a)/c < (b - a)/a

すなわち：

(b - a)/b < log b - log a < (b - a)/a　（証明終）

【藤原のワンポイントアドバイス】

平均値の定理は、2024年の順天堂大学で出題された重要テーマです。「f(b) - f(a)」という形が見えたら平均値の定理を疑うという姿勢が大切です。また、不等式の証明では、c の範囲（a < c < b）を活用して評価することがポイントです。

確率・場合の数（実際の出題例＋詳細解説）

【例題4】条件付き確率

【詳細解説】

（1）の解答

全体の取り出し方：₅C₂ = 10 通り

2個とも赤玉：₃C₂ = 3 通り

よって、P(2個とも赤玉) = 3/10

（2）の解答

A：2個とも赤玉

B：少なくとも1個が赤玉

求める条件付き確率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

A∩B = A（2個とも赤なら、少なくとも1個は赤）より、P(A∩B) = 3/10

P(B) = 1 - P(2個とも白玉) = 1 - ₂C₂/₅C₂ = 1 - 1/10 = 9/10

よって、P(A|B) = (3/10)/(9/10) = 1/3

【藤原のワンポイントアドバイス】

条件付き確率の公式 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) を正確に使えるかがポイントです。「少なくとも1個が～」という条件は、余事象を使って計算すると楽になることが多いです。

【例題5】確率漸化式

【詳細解説】

（1）の解答

n+1 回目に状態 A にいるのは、

• n 回目に状態 A にいて、A → A と移る場合：p_n × 1/3
• n 回目に状態 B にいて、B → A と移る場合：(1 - p_n) × 1/2

よって、p_{n+1} = (1/3)p_n + (1/2)(1 - p_n) = -(1/6)p_n + 1/2

（2）の解答

漸化式 p_{n+1} = -(1/6)p_n + 1/2 を変形する。

特性方程式：α = -(1/6)α + 1/2

(7/6)α = 1/2

α = 3/7

p_{n+1} - 3/7 = -(1/6)(p_n - 3/7)

q_n = p_n - 3/7 とおくと：

q_{n+1} = -(1/6)q_n

q_n = q_0 × (-1/6)^n = (1 - 3/7)(-1/6)^n = (4/7)(-1/6)^n

よって、p_n = 3/7 + (4/7)(-1/6)^n

（3）の解答

|−1/6| < 1 より、lim_{n→∞} (-1/6)^n = 0

よって、lim_{n→∞} p_n = 3/7

【藤原のワンポイントアドバイス】

確率漸化式は順天堂大学の頻出テーマです。解法の流れは：

1. 状態を設定し、漸化式を立てる
2. 特性方程式で収束値を求める
3. 漸化式を等比数列型に変形
4. 一般項を求める

この流れを体に染み込ませておきましょう。

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

【例題6】3項間漸化式

【詳細解説】

特性方程式：t² - 5t + 6 = 0

(t - 2)(t - 3) = 0

t = 2, 3

一般解は a_n = A・2^n + B・3^n（A, B は定数）

初期条件より：

a_1 = 2A + 3B = 1 ... ①

a_2 = 4A + 9B = 4 ... ②

①×2 - ②：6B - 9B = 2 - 4

-

-3B = -2

B = 2/3

①に代入：2A + 2 = 1

A = -1/2

よって、a_n = -(1/2)・2^n + (2/3)・3^n = -2^{n-1} + 2・3^{n-1}

【藤原のワンポイントアドバイス】

3項間漸化式は特性方程式を立てて解くのが定石です。特性方程式の解が異なる2つの実数 α, β のとき、一般解は a_n = A・α^n + B・β^n となります。重解の場合は a_n = (A + Bn)・α^n となることも覚えておきましょう。

【例題7】数学的帰納法による証明

【詳細解説】

[Ⅰ] n = 1 のとき

左辺 = 3¹ = 3、右辺 = 2・1 + 1 = 3

3 > 3 は成り立たない。

n = 2 のとき

左辺 = 3² = 9、右辺 = 2・2 + 1 = 5

9 > 5 より成り立つ。

※ n ≥ 2 で成り立つことを示す。

[Ⅱ] n = k（k ≥ 2）で成り立つと仮定

3^k > 2k + 1 ... ①

n = k + 1 のとき

3^{k+1} = 3・3^k > 3(2k + 1) = 6k + 3（①より）

6k + 3 > 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 を示せばよい。

6k + 3 - (2k + 3) = 4k > 0（k ≥ 2 より）

よって、3^{k+1} > 2(k + 1) + 1 が成り立つ。

[Ⅰ][Ⅱ]より、n ≥ 2 のすべての自然数について 3^n > 2n + 1 が成り立つ。

【藤原のワンポイントアドバイス】

数学的帰納法の証明問題は順天堂大学で頻出です。n = 1 で成り立たない場合は、成り立つ最小の n を見つけてそこから帰納法を始めます。また、仮定（k で成り立つ）を使って k + 1 で成り立つことを示すという流れを明確に書くことが大切です。

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【例題8】空間ベクトルと内積

【詳細解説】

（1）の解答

OM = (OA + OB)/2 = (a + b)/2

|OM|² = |a + b|²/4 = (|a|² + 2a・b + |b|²)/4

= (4 + 2・1 + 4)/4 = 10/4 = 5/2

よって、|OM| = √(5/2) = √10/2

（2）の解答

H は平面 OAB 上にあるので、OH = sa + tb（s, t は実数）と表せる。

CH ⊥ OA かつ CH ⊥ OB より：

CH・a = 0、CH・b = 0

CH = OH - OC = sa + tb - c

CH・a = s|a|² + t(a・b) - c・a = 4s + t - 1 = 0 ... ①

CH・b = s(a・b) + t|b|² - c・b = s + 4t - 1 = 0 ... ②

①-②：3s - 3t = 0、よって s = t

①に代入：4s + s = 1、s = 1/5

よって、OH = (1/5)a + (1/5)b = (a + b)/5

【藤原のワンポイントアドバイス】

空間ベクトルの問題では、垂直条件を内積 = 0 で表すことが基本です。また、平面上の点を2つのベクトルの線形結合で表し、垂直条件から係数を決定するという流れを覚えておきましょう。

【例題9】正五角形と三角比（18°シリーズ）

【詳細解説】

正五角形の1辺の長さを 1、対角線の長さを x とする。

正五角形の内角は 108°。対角線が作る二等辺三角形を考えると、頂角が 36°、底角が 72° となる。

この三角形と、対角線の交点でできる小さい三角形は相似である。

相似比より：x : 1 = 1 : (x - 1)

x(x - 1) = 1

x² - x - 1 = 0

x = (1 + √5)/2（黄金比 φ）

対角線と辺の比 = (1 + √5)/2

次に cos 36° を求める。

θ = 36° とおくと、5θ = 180° より 2θ = 180° - 3θ

sin 2θ = sin(180° - 3θ) = sin 3θ

2 sin θ cos θ = 3 sin θ - 4 sin³θ

2 cos θ = 3 - 4 sin²θ = 3 - 4(1 - cos²θ) = 4 cos²θ - 1

4 cos²θ - 2 cos θ - 1 = 0

cos θ = (2 ± √20)/8 = (1 ± √5)/4

0 < cos 36° < 1 より、cos 36° = (1 + √5)/4

【藤原のワンポイントアドバイス】

18°、36°、54°、72° などの三角比は「18°シリーズ」と呼ばれ、正五角形と深い関係があります。2022年の順天堂大学で出題されたテーマです。これらの値と黄金比 (1 + √5)/2 との関係を理解しておくと、様々な問題に応用できます。

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【例題10】1の n 乗根

【詳細解説】

（1）の解答

ω³ - 1 = 0

(ω - 1)(ω² + ω + 1) = 0

ω ≠ 1 より、ω² + ω + 1 = 0、すなわち 1 + ω + ω² = 0

（2）の解答

1 + ω = -ω²（（1）より）

1 + ω² = -ω（（1）より）

(1 + ω)^n + (1 + ω²)^n = (-ω²)^n + (-ω)^n

= (-1)^n (ω^{2n} + ω^n)

ここで、ω³ = 1 より ω^{3k} = 1、ω^{3k+1} = ω、ω^{3k+2} = ω² となる。

n を 3 で割った余りで場合分けする。

• n ≡ 0 (mod 3) のとき：ω^{2n} + ω^n = 1 + 1 = 2
• n ≡ 1 (mod 3) のとき：ω^{2n} + ω^n = ω² + ω = -1
• n ≡ 2 (mod 3) のとき：ω^{2n} + ω^n = ω + ω² = -1

よって、

(1 + ω)^n + (1 + ω²)^n =

• 2(-1)^n = 2・(-1)^n（n が3の倍数のとき）
• -(-1)^n = (-1)^{n+1}（n が3の倍数でないとき）

【藤原のワンポイントアドバイス】

1の n 乗根は順天堂大学で頻出のテーマです。特に1の3乗根 ω については：

• ω = (-1 + √3i)/2、ω² = (-1 - √3i)/2
• 1 + ω + ω² = 0
• ω² = ω̄（複素共役）
• ωω² = |ω|² = 1

これらの性質を自在に使えるようにしておきましょう。

【例題11】双曲線関数

【詳細解説】

（1）の解答

cosh²x - sinh²x

= {(e^x + e^{-x})/2}² - {(e^x - e^{-x})/2}²

= (e^{2x} + 2 + e^{-2x})/4 - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})/4

= (e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x})/4

= 4/4 = 1（証明終）

（2）の解答

∫ cosh x dx = ∫ (e^x + e^{-x})/2 dx

= (e^x - e^{-x})/2 + C

= sinh x + C

（3）の解答

y = cosh x = (e^x + e^{-x})/2 について：

• y' = sinh x = (e^x - e^{-x})/2
• y' = 0 のとき e^x = e^{-x}、すなわち x = 0
• x < 0 で y' 0 で y' > 0（単調増加）
• x = 0 で最小値 y = cosh 0 = 1
• x → ±∞ で y → +∞

グラフは x = 0 で下に凸の最小値 1 をとり、両側に増加する「懸垂線」の形

【藤原のワンポイントアドバイス】

双曲線関数は高校の教科書では発展的内容ですが、順天堂大学では出題実績があります。三角関数との類似性（cosh²x - sinh²x = 1 と cos²θ + sin²θ = 1）を意識しながら学習すると理解しやすいです。

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、順天堂大学医学部の入試で実際に出題されるレベルの問題を10問用意しました。すべて詳細解答付きです。本番を想定して取り組んでみてください。

【練習問題1】極限と微分

【詳細解答】

分子・分母がともに 0 に近づく不定形（0/0 型）なので、ロピタルの定理を適用する。

または、e^x のマクローリン展開を用いる。

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

e^x - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ...

(e^x - 1 - x)/x² = 1/2 + x/6 + ...

x → 0 とすると、極限値 = 1/2

【別解：ロピタルの定理】

lim_{x→0} (e^x - 1 - x)/x² = lim_{x→0} (e^x - 1)/(2x)（ロピタル1回）

= lim_{x→0} e^x/2 = 1/2（ロピタル2回）

【練習問題2】定積分の計算

【詳細解答】

部分積分を用いる。

∫ x sin x dx において、f(x) = x、g'(x) = sin x とおく。

f'(x) = 1、g(x) = -cos x

∫ x sin x dx = x(-cos x) - ∫ (-cos x) dx

= -x cos x + ∫ cos x dx

= -x cos x + sin x + C

定積分を計算：

∫₀^π x sin x dx = [-x cos x + sin x]₀^π

= (-π cos π + sin π) - (-0 cos 0 + sin 0)

= (-π・(-1) + 0) - (0 + 0)

= π

【練習問題3】媒介変数表示の面積

【詳細解答】

対称性より、第1象限（0 ≤ t ≤ π/2）の面積を4倍する。

S = 4∫₀^a y dx

x = a cos³t より dx = -3a cos²t sin t dt

x: 0 → a のとき t: π/2 → 0

S = 4∫_{π/2}^{0} a sin³t・(-3a cos²t sin t) dt

= 4∫₀^{π/2} 3a² sin⁴t cos²t dt

= 12a² ∫₀^{π/2} sin⁴t cos²t dt

ウォリスの公式または直接計算：

∫₀^{π/2} sin⁴t cos²t dt = (3・1・1)/(6・4・2) × π/2 = 3π/96 = π/32

S = 12a² × π/32 = 3πa²/8

【練習問題4】確率の最大値

【詳細解答】

P(k) = ₙCₖ (1/6)^k (5/6)^{n-k}

P(k+1)/P(k) を計算する。

P(k+1)/P(k) = [ₙC_{k+1} (1/6)^{k+1} (5/6)^{n-k-1}] / [ₙCₖ (1/6)^k (5/6)^{n-k}]

= [n!/(k+1)!(n-k-1)!] / [n!/k!(n-k)!] × (1/6) × (6/5)

= [(n-k)/(k+1)] × (1/5)

= (n-k)/(5(k+1))

P(k+1) ≥ P(k) ⇔ (n-k)/(5(k+1)) ≥ 1

⇔ n - k ≥ 5k + 5

⇔ n - 5 ≥ 6k

⇔ k ≤ (n-5)/6

よって、P(k) が最大となる k は：

k = [(n-5)/6]（ガウス記号で小数点以下切り捨て）

または k = [(n+1)/6]（n ≡ 5 (mod 6) のとき k と k+1 で同じ値）

【練習問題5】漸化式と極限

【詳細解答】

Step 1：収束を仮定して極限値を求める

lim_{n→∞} a_n = α と仮定する。

a_{n+1} = √(2 + a_n) の両辺で n → ∞ とすると：

α = √(2 + α)

α² = 2 + α

α² - α - 2 = 0

(α - 2)(α + 1) = 0

α = 2 または α = -1

a_n > 0 より、α = 2

Step 2：収束することを証明

① a_n < 2 を帰納法で示す：

a_1 = 1 < 2 ✓

a_n < 2 と仮定すると、a_{n+1} = √(2 + a_n) < √(2 + 2) = 2 ✓

② {a_n} が単調増加を示す：

a_{n+1} - a_n = √(2 + a_n) - a_n

f(x) = √(2 + x) - x とおくと、

0 ≤ x 0 を示せばよい。

f(0) = √2 > 0、f(2) = 2 - 2 = 0

f'(x) = 1/(2√(2+x)) - 1 < 0（0 ≤ x < 2 で）

よって f(x) は単調減少で、0 ≤ x f(2) = 0 ✓

①②より、{a_n} は上に有界で単調増加なので収束する。

したがって、lim_{n→∞} a_n = 2

【練習問題6】空間ベクトルと体積

【詳細解答】

四面体の体積 V = (1/6)|OA・(OB × OC)|

OB × OC（外積）を計算：

OB × OC = |i j k |

|1 1 0 |

|1 1 1 |

= i(1・1 - 0・1) - j(1・1 - 0・1) + k(1・1 - 1・1)

= i(1) - j(1) + k(0)

= (1, -1, 0)

OA・(OB × OC) = (1, 0, 0)・(1, -1, 0) = 1

V = (1/6)|1| = 1/6

【練習問題7】整数問題

【詳細解答】

n² ≡ -1 ≡ 4 (mod 5) となる n を求める。

nを 5 で割った余りで分類する：

• n ≡ 0 (mod 5) のとき：n² ≡ 0 (mod 5)
• n ≡ 1 (mod 5) のとき：n² ≡ 1 (mod 5)
• n ≡ 2 (mod 5) のとき：n² ≡ 4 (mod 5) ✓
• n ≡ 3 (mod 5) のとき：n² ≡ 9 ≡ 4 (mod 5) ✓
• n ≡ 4 (mod 5) のとき：n² ≡ 16 ≡ 1 (mod 5)

よって、n² + 1 が 5 で割り切れるのは：

n ≡ 2 (mod 5) または n ≡ 3 (mod 5)

すなわち、n = 5k + 2 または n = 5k + 3（k = 0, 1, 2, ...）

具体的には n = 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, ...

【練習問題8】不等式の証明

【詳細解答】

f(x) = e^x - 1 - x - x²/2 とおく。

x > 0 で f(x) > 0 を示す。

f(0) = 1 - 1 - 0 - 0 = 0

f'(x) = e^x - 1 - x

g(x) = e^x - 1 - x とおくと：

g(0) = 1 - 1 - 0 = 0

g'(x) = e^x - 1

x > 0 のとき e^x > 1 より g'(x) > 0

よって g(x) は x > 0 で単調増加

したがって x > 0 で g(x) > g(0) = 0

すなわち f'(x) = g(x) > 0（x > 0）

f(x) は x > 0 で単調増加なので：

x > 0 で f(x) > f(0) = 0

よって、x > 0 のとき e^x > 1 + x + x²/2（証明終）

【藤原のワンポイントアドバイス】

不等式の証明では、差を取って正であることを示す方法が基本です。微分して単調性を調べ、境界値（ここでは x = 0）での値と比較します。この「微分 → 単調性 → 境界値比較」の流れは必ずマスターしてください。

【練習問題9】複素数平面

【詳細解答】

|z| = 1 より、z = cos θ + i sin θ（0 ≤ θ < 2π）と表せる。

1/z = 1/(cos θ + i sin θ) = cos θ - i sin θ = z̄

w = z + 1/z = (cos θ + i sin θ) + (cos θ - i sin θ)

= 2 cos θ

w = 2 cos θ は実数で、-2 ≤ w ≤ 2 の範囲を動く。

したがって、w が描く図形は 実軸上の線分 -2 ≤ w ≤ 2

【別解】

z = e^{iθ} とおくと、1/z = e^{-iθ}

w = e^{iθ} + e^{-iθ} = 2 cos θ

【練習問題10】総合問題（微分・積分＋極限）

【詳細解答】

（1）の解答

f(-x) = ∫₀^{-x} e^{-t²} dt

t = -s とおくと、dt = -ds

t: 0 → -x のとき s: 0 → x

f(-x) = ∫₀^x e^{-s²}(-ds) = -∫₀^x e^{-s²} ds = -f(x)

よって、f(-x) = -f(x) であり、f(x) は奇関数（証明終）

（2）の解答

微分積分学の基本定理より：

f'(x) = e^{-x²}

f'(0) = e^0 = 1

（3）の解答

f(0) = ∫₀^0 e^{-t²} dt = 0

lim_{x→0} f(x)/x は 0/0 型なので、ロピタルの定理を適用：

lim_{x→0} f(x)/x = lim_{x→0} f'(x)/1 = f'(0) = 1

【藤原のワンポイントアドバイス】

∫₀^x g(t) dt の形の関数を微分すると g(x) になる、という微分積分学の基本定理は必須知識です。また、f(x) = ∫₀^x e^{-t²} dt は「誤差関数」と呼ばれる重要な関数で、初等関数では表せないことが知られています。

年間学習ロードマップ

順天堂大学医学部に合格するための、1年間の学習計画を提示します。高3生（または浪人生）を想定していますが、高2生は1年前倒しで取り組んでください。

【4月〜6月】基礎固め期

【この時期のポイント】

• 教科書レベルの問題を100%解ける状態にする
• 公式は導出過程も含めて理解する
• 計算ミスを減らすため、検算の習慣をつける

【7月〜9月】応用力養成期

【この時期のポイント】

• 夏休みは最も数学力が伸びる時期。妥協せず演習量を確保
• 記述答案の書き方を意識し始める
• 順天堂大学の過去問を1〜2年分見て、出題傾向を把握

【10月〜11月】実戦力強化期

【この時期のポイント】

• 過去問は最低5年分を2〜3周する
• 本番と同じ条件（時間、環境）で演習する
• 解けなかった問題は類題を探して追加演習

【12月〜1月】直前仕上げ期

【この時期のポイント】

• 新しい問題集には手を出さない。これまでの復習に徹する
• 睡眠時間を確保し、体調を万全に
• 入試当日のシミュレーションを行う

藤原おすすめ参考書ランキング

順天堂大学医学部合格を目指す受験生に、私が自信を持っておすすめする参考書・問題集をランキング形式で紹介します。

【基礎固め編】

第1位：『青チャート』（数研出版）

おすすめ度：★★★★★

言わずと知れた定番参考書。例題を完璧にすれば、入試基礎〜標準レベルは十分カバーできます。順天堂大学対策の土台として最適です。

第2位：『基礎問題精講』シリーズ（旺文社）

おすすめ度：★★★★☆

青チャートより薄く、短期間で基礎を固めたい人向け。解説が丁寧で、独学にも適しています。

第3位：『教科書傍用問題集』（各出版社）

おすすめ度：★★★★☆

4STEP、サクシードなど。基本問題の反復練習に最適。軽視しがちですが、ここを疎かにすると応用力が伸びません。

【応用力養成編】

第1位：『1対1対応の演習』シリーズ（東京出版）

おすすめ度：★★★★★

入試標準〜やや難レベルの問題を効率よく学べます。解法のパターンを身につけるのに最適。順天堂大学の典型問題対策に直結します。

第2位：『標準問題精講』シリーズ（旺文社）

おすすめ度：★★★★★

1対1と同レベル。どちらか好みの方を選べばOK。解説の詳しさではこちらが上。

第3位：『理系数学 入試の核心 標準編』（Z会）

おすすめ度：★★★★☆

頻出テーマを厳選して収録。時間がない人の効率的な演習に向いています。

【実戦力強化編】

第1位：『順天堂大学 赤本』（教学社）

おすすめ度：★★★★★

過去問演習は必須です。最低5年分、できれば10年分解きましょう。傾向分析と時間配分の練習に。

第2位：『私立医学部の数学』（旺文社）

おすすめ度：★★★★☆

私立医学部に特化した問題集。順天堂以外の医学部の良問も収録されており、演習量を確保できます。

第3位：『やさしい理系数学』（河合出版）

おすすめ度：★★★★☆

タイトルに反してやさしくない。難関大志望者向けの実戦的な問題集。時間に余裕がある人向け。

【分野別強化編】

確率・場合の数：『ハッとめざめる確率』（東京出版）

おすすめ度：★★★★★

確率の考え方を根本から理解できる名著。順天堂大学頻出の確率漸化式対策にも有効。

整数：『マスター・オブ・整数』（東京出版）

おすすめ度：★★★★☆

整数問題を体系的に学べます。時間がなければ必要な部分だけ拾い読み。

微分・積分：『微積分 基礎の極意』（東京出版）

おすすめ度：★★★★☆

計算テクニックから応用まで網羅。積分計算の速度を上げたい人に。

日本数学塾・数強塾で順天堂大学合格を目指そう

ここまで読んでいただき、ありがとうございます。順天堂大学医学部の数学対策について、かなり詳しくお伝えしてきましたが、いかがでしたでしょうか。

正直に言います。独学だけで順天堂大学医学部に合格するのは、非常に困難です。

なぜなら：

• 記述答案の書き方は、添削を受けないと身につかない
• 自分の弱点は、客観的に見てもらわないと気づけない
• 効率的な学習計画は、プロの指導がないと立てられない
• モチベーションの維持は、一人では難しい

私が講師を務める日本数学塾・数強塾では、順天堂大学医学部をはじめとする難関医学部・理系学部への合格実績を多数持っています。

日本数学塾・数強塾の特徴

• 数学専門：数学に特化しているからこそ、深い指導ができる
• プロ講師による個別指導：一人ひとりの弱点に合わせたオーダーメイドカリキュラム
• オンライン対応：全国どこからでも受講可能
• 記述答案の徹底添削：減点されない答案の書き方を伝授
• 医学部入試に精通：最新の出題傾向を踏まえた対策

無料体験授業のご案内

「自分に合うかどうか試してみたい」という方のために、無料体験授業をご用意しています。

最後に：藤原進之介からのメッセージ

順天堂大学医学部は、確かに難関です。しかし、正しい方法で努力すれば、必ず合格できます。

私はこれまで、「自分には無理だ」と思っていた多くの生徒を、順天堂大学医学部をはじめとする難関校に送り出してきました。彼らに共通していたのは、諦めずに最後まで努力を続けたこと、そして正しい指導を受けたことです。

数学は、才能ではなく努力の科目です。正しいやり方で取り組めば、必ず成績は上がります。

あなたの順天堂大学医学部合格を、心から応援しています。そして、その道のりを一緒に歩めることを楽しみにしています。

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

関連リンク

• 数強塾 公式サイト - オンライン数学専門塾
• 日本数学塾 公式サイト - 数学に特化した学習塾

※この記事の内容は2024年時点の情報に基づいています。最新の入試情報は、必ず順天堂大学公式サイトでご確認ください。