北海道大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で北海道大学数学を制覇しよう！
北海道大学 2015年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、北大数学の全大問を藤原進之介先生（数強塾グループ代表）が丁寧に解説します。この記事を読むことで得られる3つの価値はこちらです。
- ✅ 2015年度の全大問の解法を、途中計算を省かずに完全理解できる
- ✅ 「なぜその解法を使うのか」という本質的な思考力が身につく
- ✅ 北海道大学数学の出題傾向と合格のための学習ロードマップがわかる
👨🏫 藤原先生から一言：「北大数学は『標準的』と言われるけど、それは決して簡単という意味じゃないよ。各分野の本質をしっかり理解した上で、バランスよく対策できているかどうかを問う、とても良問が揃っている。今日は一緒に2015年度の問題を丁寧に解きほぐしていこう！」
【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像
試験形式と基本データ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 2時間（120分） |
| 問題数 | 大問5問（理系）／大問4問（文系） |
| 解答形式 | 記述式（過程重視） |
| 配点 | 各大問均等配点が基本 |
| 使用科目 | 理系：数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B、文系：数Ⅰ・Ⅱ・A・B |
北海道大学の数学は記述式であることが最大の特徴です。北大の注意書きには「結果を導く過程を重視する」と明記されており、答えが合っていても途中の論述が不十分では部分点を大きく失います。
偏差値帯と求められる数学レベル
北海道大学（理系）の偏差値帯はおおよそ60〜65で、旧帝大の中では「標準的」と位置づけられます。しかし、これは「基礎だけでOK」という意味ではありません。青チャート（チャート式 基礎からの数学）の例題レベルをしっかり理解した上で、1対1対応の演習や数学 標準問題精講といった標準〜やや難レベルの問題集まで仕上げることが求められます。
過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）
| 順位 | 分野 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分 | ほぼ毎年 |
| 2位 | 数列（漸化式含む） | ほぼ毎年 |
| 3位 | 確率 | ほぼ毎年 |
| 4位 | ベクトル（平面・空間） | 高頻度 |
| 5位 | 図形と方程式・放物線 | 高頻度 |
| 6位 | 整数・場合の数 | 中頻度 |
| 7位 | 三角関数・指数対数 | 中頻度 |
他大学との違い・特徴
- 東京大学：論証力・思考力の深さを問う難問が多い。誘導が少なく、自分で方針を立てる力が必要
- 京都大学：計算量が多く、独創的なアプローチを求める問題が頻出
- 北海道大学：誘導型の小問構成が多く、(1)→(2)→(3)と順番に使える。各小問の難易度は標準レベルだが、論述の丁寧さと計算精度が合否を分ける
🧑 生徒：「北大の数学って、どの分野を一番重点的に勉強すればいいですか？」
👨🏫 藤原先生：「ずばり、微分・積分と漸化式（数列） は最優先だよ！微積では『置換積分』『部分積分』『定積分と面積の関係』が頻出で、数列では漸化式の特性方程式を使った等比数列への変形や階差数列・テレスコーピング法が毎年のように出る。この2分野で安定して得点できるかどうかが北大合格の鍵だよ。」
【セクション3】2015年度 出題テーマ速報と分析
2015年度の出題テーマ一覧
文系（数Ⅰ・Ⅱ・A・B）
| 大問 | テーマ | 主要単元 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| [1] | 放物線と接線・共有点 | 図形と方程式、微分 | ★★★☆☆ |
| [2] | 漸化式と一般項 | 数列・漸化式 | ★★★☆☆ |
| [3] | ベクトルと垂直条件 | ベクトル（平面） | ★★★★☆ |
| [4] | トランプカードの確率 | 場合の数・確率 | ★★★☆☆ |
理系（数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B）
| 大問 | テーマ | 主要単元 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| [1] | 指数関数の曲線と接線 | 微分・接線の方程式 | ★★★★☆ |
| [2] | 漸化式と数列の不等式 | 数列・漸化式 | ★★★★☆ |
| [3] | 空間ベクトルと垂線 | 空間ベクトル | ★★★★☆ |
| [4] | 玉取り問題の確率 | 条件付き確率・漸化式 | ★★★☆☆ |
| [5] | 積分と漸化式（ウォリス型） | 積分・漸化式 | ★★★★★ |
2015年度の特徴と前年度との傾向変化
2015年度は漸化式が文系・理系ともに出題されたのが特徴的です。また、理系[1]では指数関数 $e^x$ を含む曲線の接線と別の曲線への接触条件という、2段階の接線問題が出題されました。これは前年度に比べて計算の複雑さが増したと言えます。
合格ラインと得点戦略
北大理系数学の合格ラインは概ね満点の55〜65%と言われています。全大問を完答しようとするのではなく、得意な2〜3問を完答 + 残りは部分点確保という戦略が現実的です。
【セクション4】全大問 問題・解説
◆ 文系 大問1：放物線と直線の共有点・接線（難易度★★★☆☆）
【問題文】
2つの放物線 $C_1: y = x^2$、$C_2: y = -(x-1)^2$ がある。$a$ は0でない実数とし、$C_1$ 上の2点 $P(a, a^2)$、$Q(-2a, 4a^2)$ を通る直線を $\ell$ とする。$C_1$ と $\ell$ が平行な $C_1$ の接線を $\ell'$ とする。
(1) $\ell'$ の方程式を $a$ で表せ。
(2) $C_2$ と $\ell$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
(3) $C_2$ と $\ell$ が異なる2つの共有点をR、Sとする。線分PQの長さと線分RSの長さが等しくなるとき、$a$ の値を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 放物線の接線 | $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線は $y = 2t(x-t) + t^2 = 2tx - t^2$ |
| 判別式 | $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2実数解 $\Leftrightarrow$ $D = b^2 - 4ac > 0$ |
| 解と係数の関係 | $x^2 + px + q = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について $\alpha + \beta = -p$、$\alpha\beta = q$ |
【解法ステップ（1）：$\ell'$ の方程式】
- ステップ① 直線 $\ell$ の傾きを求める：
- ステップ② $C_1: y = x^2$ の接線の傾きが $-a$ となる接点を求める。$y' = 2x$ より、接点の $x$ 座標を $t$ とすると：
- ステップ③ 接点の座標は $\left(-\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4}\right)$ なので、接線の方程式は：
ただし、解答では $\ell'$ が $C_1$ の接線で $\ell$ と平行、つまり $C_1$ の接線ですから、OCRデータの解答 $y = -ax - \frac{a^2}{4}$ と比較すると、問題文の読み取りをもう一度確認する必要があります。OCRデータの解答では接点を $\left(\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4}\right)$ として $t = \frac{a}{2}$ としていますが、これは $\ell$ の傾きの符号を確認しながら正しく計算しましょう。
傾き計算の注意：$P(a, a^2)$, $Q(-2a, 4a^2)$ として
$$\frac{4a^2 - a^2}{-2a - a} = \frac{3a^2}{-3a} = -a$$
$C_1$ 上の接点 $(t, t^2)$ での接線の傾きが $-a$ になるには $2t = -a$、つまり $t = -\frac{a}{2}$。
接線：$y = -a\!\left(x + \frac{a}{2}\right) + \frac{a^2}{4} = -ax + \frac{a^2}{4}$
【解法ステップ（2）：$C_2$ と $\ell$ が2つの共有点をもつ条件】
- ステップ① $\ell$ の方程式を確定する。傾きは $-a$、点 $P(a, a^2)$ を通るので：
- ステップ② $C_2$ と $\ell$ の交点：$-(x-1)^2 = -ax + 2a^2$ を整理する：
- ステップ③ 異なる2つの実数解をもつ条件（判別式 $D > 0$）：
注意：OCRの解答と一部異なります。問題文をOCRから正確に読み取ると、設問(2)は「$C_1$ と $\ell$」ではなく「$C_2$ と $\ell$」の共有点を問うている可能性があります。ここでは $C_2$ と $\ell$ として解説しました。
【解法ステップ（3）：$|PQ| = |RS|$ となる $a$ の値】
- ステップ① 線分 $PQ$ の長さを求める。$P(a, a^2)$、$Q(-2a, 4a^2)$：
- ステップ② R、Sの $x$ 座標を $r, s$（①の2解）とすると：
- ステップ③ $\ell$ の傾きが $-a$ なので：
- ステップ④ $|PQ| = |RS|$ より：
$$0 < a < \frac{4}{7}$ より $1 + a^2 > 0$ なので両辺を $(1 + a^2)$ で割ると：
$$9a^2 = -7a^2 + 4a$$
$$16a^2 - 4a = 0 \implies 4a(4a - 1) = 0$$
$$a \neq 0$ より $a = \frac{1}{4}$
【藤原先生の解説】
この問題のポイントは「傾きが同じ」という条件から接線の方程式を立てること、そして線分の長さを求めるときに「解と係数の関係」を使うことです。線分の長さを求めるとき、いちいち根号の中を展開しようとすると大変。$(r-s)^2 = (r+s)^2 - 4rs$ という根と係数の関係の応用が美しく機能するんだよ。これはスポーツでいうと「型を覚えておくと試合で迷わない」感覚に似ている。解と係数の関係は、この「型」の一つとして絶対に身につけておこう！
🧑 生徒：「(3)で $|PQ| = |RS|$ という条件から、どうやって方程式を立てればいいですか？傾きが同じ直線上の線分なのに混乱してしまいます。」
👨🏫 藤原先生：「いい質問だね！$\ell$ と $\ell'$ は平行（傾きが等しい）だから、直線上にある線分の長さは『$x$ 座標の差』と直線の傾きを使って求められるよ。具体的には、傾き $m$ の直線上で $x$ 座標の差が $\Delta x$ の2点間の距離は $\sqrt{1 + m^2} \cdot |\Delta x|$ で求まる。$|PQ|$ については $\Delta x = |-2a - a| = 3|a|$ だから $|PQ| = \sqrt{1 + a^2} \cdot 3|a|$。一方 $|RS|$ については 判別式 $D = (a+2)^2 - 4(1+2a^2)$ を使って $|r-s| = \sqrt{D}$ と表せるから、$|RS| = \sqrt{1+a^2} \cdot \sqrt{D}$ になるよ。あとは両辺を比べるだけだ！」
【この大問で身につく力】
「接線の傾き」「判別式」「解と係数の関係」という3つの道具を組み合わせて使う統合的な思考力と、平行な直線上の線分の長さを効率よく計算する計算センスが鍛えられます。
◆ 文系 大問2：漸化式と一般項（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$p$ は0でない実数とし、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \frac{1}{p}a_n - (-1)^{n+1}$（$n = 1, 2, 3, \ldots$）によって定まる数列 $\{a_n\}$ がある。
(1) $b_n = p^n a_n$ とするとき、$b_{n+1}$ を $b_n$, $n$, $p$ で表せ。
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 等比数列の和 | $\sum_{k=1}^{n} r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r}$（$r \neq 1$） |
| 漸化式の解法 | $b_{n+1} = b_n + f(n)$ 型 → テレスコーピング（差分和分）を使う |
【解法ステップ（1）：$b_{n+1}$ を $b_n$, $n$, $p$ で表す】
- ステップ① 漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{p}a_n - (-1)^{n+1}$ の両辺に $p^{n+1}$ を掛ける：
- ステップ② $b_n = p^n a_n$ と定義されているので：
【解法ステップ（2）：一般項 $a_n$ を求める】
- ステップ① 差分和分（テレスコーピング）を使う。$b_{n+1} - b_n = -(-p)^{n+1}$ より、$n \geq 2$ のとき：
-
ステップ② $b_1 = p^1 \cdot a_1 = p \cdot 1 = p$ を利用する。
-
ステップ③（i）$p \neq -1$（すなわち $-p \neq 1$）のとき、等比数列の和を計算：
よって：
$$b_n = p - \frac{p^2\{1-(-p)^{n-1}\}}{1+p}$$
- ステップ④（ii）$p = -1$ のとき：$b_{n+1} - b_n = -(-(-1))^{n+1} = -1^{n+1} = -1$
【藤原先生の解説】
漸化式の問題で「$b_n = p^n a_n$ と置く」という誘導は、漸化式の両辺に $p^{n+1}$ を掛けることで係数をそろえるためのヒントなんだ。これは料理でいうと「下ごしらえ」のようなもの。最初に適切な変数変換をしておくと、後の計算がものすごくすっきりするよ。$b_{n+1} = b_n + (\text{等比数列})$ の形が見えたら、あとはテレスコーピング（差分和分）で一気に解けるよ。場合分け（$p = -1$ か否か）を忘れずに！
🧑 生徒：「$b_n = p^n a_n$ という置き換えは、どういうときに使うんですか？自分では思いつきません。」
👨🏫 藤原先生：「$a_{n+1} = \frac{1}{p}a_n + (\text{何か})$ という形の漸化式は、両辺に $p^{n+1}$ を掛けて $b_n = p^n a_n$ と置くのが鉄板の手法だよ。これは元の漸化式に $p$ という公比のズレがあるときに、それを吸収するための置き換えなんだ。一般に $a_{n+1} = r \cdot a_n + f(n)$ の形の漸化式では、$r^{n+1}$ で割って $b_n = a_n/r^n$ と置くと $b_{n+1} = b_n + f(n)/r^{n+1}$ という差分形になる。この形になれば、あとは テレスコーピング $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)$ で一般項が求まるよ！」
【この大問で身につく力】
「誘導付きの置き換え」を正しく利用する力と、場合分けを忘れない厳密さ、そして等比数列の和の公式を正確に適用する総合的な数列処理能力が身につきます。
◆ 理系 大問1：指数関数の曲線と接線の条件（難易度★★★★☆）
【問題文】
$a$ は実数とし、2つの曲線 $C_1: y = (x-1)e^x$、$C_2: y = \frac{1}{2e}x^2 + a$ がある（$e$ は自然対数の底）。$C_1$ 上の点 $(t,\ (t-1)e^t)$ における $C_1$ の接線が $C_2$ に接するとする。
(1) $a$ を $t$ で表せ。
(2) $t$ が実数全体を動くとき、$a$ の極小値、およびそのときの $t$ の値を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 積の微分 | $(uv)' = u'v + uv'$ |
| 接線の方程式 | 曲線上の点 $(x_0, y_0)$ での接線：$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ |
| 判別式による接触条件 | 直線と曲線が接する $\Leftrightarrow$ 連立方程式が重解をもつ $\Leftrightarrow$ $D = 0$ |
【解法ステップ（1）：$a$ を $t$ で表す】
- ステップ① $C_1: y = (x-1)e^x$ を微分する（積の微分則）：
- ステップ② 点 $(t,\ (t-1)e^t)$ での接線の方程式を立てる：
$$y = te^t x
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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