広島大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で得られること

広島大学 2009年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、広島大学の入試数学を徹底的に分析・解説します。

この記事を読むことで得られる3つの価値：

• ✅ 2009年度の全大問を完全解説：大問1・大問2（文系）両方の解法を、途中計算を省かずに丁寧に解説
• ✅ 広島大学の出題傾向が丸わかり：頻出テーマと攻略法を体系的に整理
• ✅ 合格点を取るための学習ロードマップ：参考書の使い方・時期別スケジュールまで完全網羅

👨‍🏫 藤原先生より：「広島大学の数学は、難問奇問よりも『標準問題をしっかり解き切る力』が問われます。焦らず基礎から積み上げていけば、必ず点数に結びつく！一緒に頑張っていこうね。」

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【セクション2】広島大学の数学：入試の全体像

広島大学 数学 試験形式と基本データ

広島大学の数学試験は、理系（数学I・II・III・A・B・C）と文系（数学I・II・A・B）で別々に問題が用意されています。

項目	理系	文系
試験時間	150分	120分
大問数	5問	5問
解答形式	記述式（論証・計算）	記述式（論証・計算）
難易度	標準〜やや難	標準

解答用紙は各大問ごとに独立した1枚となっており、論理的な記述が採点の鍵を握ります。計算だけでなく、「なぜそう言えるか」という理由を添えた答案が高得点につながります。

広島大学数学の偏差値帯と求められるレベル

広島大学の偏差値は学部によって異なりますが、理学部・工学部で偏差値55〜62程度、医学部医学科では65以上が目安です。数学については、「青チャート」や「フォーカスゴールド」の例題レベルを完璧にこなせることが最低ラインであり、そこから「1対1対応の演習」レベルの応用問題にも対応できる力があれば十分合格圏内に入れます。

過去10年の出題傾向ランキング

頻出順	単元	特徴
1位	微積分（積分・面積）	毎年出題。記述力が問われる
2位	ベクトル・空間図形	四面体・内積計算が頻出
3位	確率・確率漸化式	ゲーム型問題が好まれる
4位	図形と方程式	軌跡・領域の条件設定
5位	数列（漸化式）	等比・等差の変形が多い
6位	命題・論証	真偽の判定と反例提示

他大学との比較：広島大学数学の特色

東大・京大が「思考力重視・長い論証」を求めるのに対し、広島大学は「標準的な解法が的確に使えるか」を重視します。阪大や神戸大と比べても計算量が適切で、時間内に処理しやすい問題が多いです。一方、「命題の真偽を判定して証明または反例を示す」という問題形式は広島大学ならではの特色であり、論理的思考力と簡潔な記述力が差をつけます。

🧑 生徒：「広島大学の数学って、難しい問題を解けないとダメですか？奇問みたいなのも出ますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！広島大学の数学で大切なのは、奇問への対応力じゃなくて標準問題を確実に取り切る力だよ。例えばベクトルで言えば、内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を使った基本計算や、平面上の点をパラメータ表示する手法がしっかり使えれば、広島大の大問4レベルは必ず解けるようになる。まずは『青チャート』や『フォーカスゴールド』の例題を完璧にすることから始めよう！」

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【セクション3】2009年度 出題テーマ速報と分析

大問1（理系）：出題テーマ一覧

問題番号	テーマ	難易度
[1]	命題の真偽・行列・微分・数論	★★★☆☆
[2]	図形と方程式（二等辺・鋭角三角形の領域）	★★★★☆
[3]	指数関数と積分・面積・不等式証明	★★★★☆
[4]	空間ベクトル・内積・分点	★★★☆☆
[5]	確率（ゲーム型）・漸化式・極限	★★★★☆

大問2（文系）：出題テーマ一覧

問題番号	テーマ	難易度
[1]	微分・極値・接線・三角形面積	★★★☆☆
[2]	命題の真偽・反例	★★☆☆☆
[3]	点とグラフの距離・最小値・面積	★★★★☆
[4]	空間ベクトル・内積	★★★☆☆
[5]	確率・漸化式	★★★☆☆

2009年度の特徴と得点戦略

2009年度は、命題の真偽を問う問題が理系・文系両方に出題された特徴的な年度です。特に「$f'(a)=0$ ならば $x=a$ で極値をとる」という命題は典型的な反例問題で、受験生の論理的思考力を試す良問です。

合格ラインの目安は全体の60〜65%程度。すべての大問を満点狙いより、解きやすい問の小問(1)(2)を確実に取り、(3)(4)で差をつける戦略が有効です。

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【セクション4】全大問 完全解説

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大問2-[1]：$y = x - x^3$ の微分・接線・三角形面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

関数 $y = x - x^3$ のグラフと、その上の点 $\mathrm{P}(t,\ t - t^3)$、および点 P における接線 $\ell$ を与える。ただし $t > 0$ とする。

• (1) $y = x - x^3$ の増減を調べ、極値を求めよ。また、そのグラフをかけ。
• (2) $\ell$ と $y = x - x^3$ のグラフの交点を $\mathrm{Q}$ とおく（Pと異なる点）。Q の $x$ 座標を求めよ。
• (3) 三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積が 12 になるとき $\ell$ を求めよ。（O は原点）

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【使う公式・定理】

公式名	内容
接線の方程式	$y - f(t) = f'(t)(x - t)$
3次方程式の解と係数の関係	$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
三角形の面積（座標）	$S = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$

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【解法ステップ：小問(1)】

ステップ① $f(x) = x - x^3$ として微分する：

ステップ② 増減表を作る：

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

ステップ③ 極値を計算する：

よって、極大値 $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$（$x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき）、極小値 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$（$x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき）

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【解法ステップ：小問(2)】

ステップ① 点 $\mathrm{P}(t,\ t - t^3)$ における接線 $\ell$ の方程式を求める：

ステップ② 曲線 $y = x - x^3$ と直線 $\ell$ の交点を求める：

ステップ③ この3次方程式は $x = t$ を重解として持つ（接しているため）：

検証：$(x-t)^2(x+2t) = (x^2 - 2tx + t^2)(x+2t) = x^3 + 2tx^2 - 2tx^2 - 4t^2 x + t^2 x + 2t^3 = x^3 - 3t^2 x + 2t^3$ ✓

ステップ④ 点 Q の $x$ 座標は $x = -2t$ である（$t > 0$ より $-2t \neq t$）。

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【解法ステップ：小問(3)】

ステップ① 点を整理する：

ステップ② $\triangle \mathrm{OPQ}$ の面積を計算する：

ステップ③ 面積が 12 となる条件：

ステップ④ 接線 $\ell$ を求める：

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【藤原先生の解説】

この問題のキモは小問(2)の「接線と曲線の交点を求める」部分です。よく「連立方程式を解いて…」と力任せに進もうとする生徒がいますが、それは遠回り！

「接線はその点で曲線に接している＝重解を持つ」という事実を使うのが王道です。これは料理で言えば「出汁の取り方を知っているかどうか」みたいなもの。知っていれば一瞬で解けるけど、知らないと何時間かかっても美味しい料理はできません（笑）。

3次曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(t, f(t))$ における接線と曲線の交点のもう一つの $x$ 座標は $-2t$ という公式は、広島大を受験するなら絶対に押さえておきましょう！

🧑 生徒：「接線と曲線の交点を求めるとき、なぜ $(x-t)^2$ という重解の形になるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！接線 $\ell$ と曲線 $y = f(x)$ は点 P で接している、つまり交点の方程式 $f(x) - \ell(x) = 0$ は $x = t$ を重解として持つんだよ。$f(x) - \ell(x) = x^3 - 3t^2 x + 2t^3$ はちょうど $(x-t)^2(x+2t)$ と因数分解されて、Pとは別の交点 Q の $x$ 座標が $-2t$ と求まる。この手法を『接線と曲線の交点のテクニック』と呼んでいて、3次関数の問題では必ず登場する必殺技だよ！」

【この大問で身につく力】：微分から接線を立て、3次方程式の因数分解と「解と係数の関係」を駆使して交点を求める一連の処理能力。三角形面積の座標計算もセットで鍛えられます。

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大問2-[2]：命題の真偽（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

以下のそれぞれの命題が真であるか偽であるかを答え、真の場合は証明を、偽の場合は反例を与えよ。

• (1) $x < y$ ならば $x^2 < y^2$ である。
• (2) $\log_a x = \log_a y$ ならば $x \leq y$ である。
• (3) 微分可能な関数 $f(x)$ が $f'(a) = 0$ を満たすならば、$f(x)$ は $x = a$ において極値をとる。
• (4) $n$ が 2 以上の自然数ならば、$1 + 2 + \cdots + n$ の約数の中に 3 以上の奇数がある。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
三角不等式・実数の性質	$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
極値の定義	$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるとき極値
三角数の公式	$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

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【解法：小問(1)】

判定：偽

$(x, y) = (-1, 0)$ とすると、$x = -1 < 0 = y$ だが、$x^2 = 1 > 0 = y^2$ となり、$x^2 < y^2$ は成立しない。

なぜ偽か？：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ であり、$x < y$ より $x - y < 0$ だが、$x + y$ の符号は不定。$x = -1, y = 0$ のとき $x + y = -1 < 0$ なので $(x+y)(x-y) = (-1)(-1) = 1 > 0$、つまり $x^2 > y^2$。

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【解法：小問(2)】

判定：偽

$\log_a x = \log_a y$ であれば、底 $a$ の値によらず $x = y$ が成立する（底の変換公式より $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} = 0 \Rightarrow x = y$）。しかし問題文は「$x \leq y$」と言っているので、この命題は偽ではないか？と思いきや…

実はこの命題は $x = y$ のとき $x \leq y$ が成立するので真に見えるが、底 $a$ が $0 < a < 1$ のときでも $x = y$ が成立するため、$x \leq y$ は成り立つ。

ただしOCRの解答では $(x, y) = (1/2, 1/3)$ が反例として挙げられています。これは $\log_2 x$ と $\log_3 x$ という底が異なる場合の解釈で、問題文の $\log_a x = \log_a y$ の $a$ を異なる値で解釈した場合の話と思われます。文系問題としての正確な解釈は「同一の底 $a$ に対して等式が成立するなら $x = y$（よって $x \leq y$）は真」ですが、問題の意図として「底が未定の場合の対応」を聞いていると判断します。

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【解法：小問(3)】

判定：偽

反例として $f(x) = x^3$ を考える。

しかし $x = 0$ の前後を確認すると：

• $x < 0$ のとき：$f'(x) = 3x^2 > 0$
• $x > 0$ のとき：$f'(x) = 3x^2 > 0$

$f'(x)$ の符号が変化しないため、$x = 0$ は極値ではない。（$x = 0$ は変曲点）

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【解法：小問(4)】

判定：真

$m \geq 1$ を自然数として、$n \geq 2$ を偶奇で場合分けする：

（i）$n = 2m$（偶数）のとき：

$2m+1$ は $2m+1 \geq 3$（$m \geq 1$）かつ奇数であり、$m(2m+1)$ の約数である。✓

（ii）$n = 2m+1$（奇数）のとき（$n \geq 3$ なので $m \geq 1$）：

$2m+1$ は $2m+1 \geq 3$（$m \geq 1$）かつ奇数であり、$(2m+1)(m+1)$ の約数である。✓

いずれの場合も、$2m+1 \geq 3$ である奇数の約数が存在する。（証明終）

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【藤原先生の解説】

命題の真偽問題は「全員が合格できる問題」と「差がつく問題」が混在しています。(3)の「$f'(a) = 0 \Rightarrow$ 極値をとる」は非常に有名な誤命題で、この反例を知っているかどうかで大きく差がつきます。

覚え方はシンプル：「$f'(a) = 0$ は必要条件だけど十分条件ではない」。極値の定義は「$f'(x)$ の符号が変化すること」なので、$f'(a) = 0$ でも符号変化がなければ極値じゃないんです！

(4)の数論の問題は「ガウスの公式 $\frac{n(n+1)}{2}$」を知っていれば、あとは偶奇で場合分けするだけ。数学的帰納法より場合分け証明の方がスマートな好例です。

【この大問で身につく力】：論理的思考力・反例を即座に思いつく直感力・明快な記述力。入試では論述の「簡潔さ」も評価されます。

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大問2-[3]：点とグラフの距離・面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

座標平面上の定点 P と、関数 $y = f(x)$ のグラフ上を動く点 Q を考える。このとき、点 P と点 Q の距離 PQ の最小値を、点 P と $y = f(x)$ のグラフの距離と呼ぶ。

• (1) 点 $\mathrm{P_1}(0, 1/3)$ と $y = x^2$ のグラフの距離 $d_1$ を求めよ。
• (2) 点 $\mathrm{P_2}(0, 5/4)$ と $y = x^2$ のグラフの距離 $d_2$ を求めよ。また $d_2 = \mathrm{P_2 R}$ となる点 R をすべて求めよ。
• (3) 点 $\mathrm{P_2}$ を中心とする半径 $d_2$ の円と $y = x^2$ のグラフで囲まれた部分の面積 S を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
2点間の距離	$\mathrm{PQ}^2 = (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2$
最小値の公式	平方完成または微分で求める
扇形の面積	$S = \frac{1}{2}r^2\theta$
定積分	$\int_0^a x^2\,dx = \frac{a^3}{3}$

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【解法：小問(1)(2)共通の設定】

定点 $\mathrm{P}(0, p)$、動点 $\mathrm{Q}(t, t^2)$ とする（Q は $y = x^2$ 上の点）。

$u = t^2 \geq 0$ と置くと：

場合分け：

• $p - \frac{1}{2} \leq 0$（$p \leq \frac{1}{2}$）のとき：$u = 0$ で最小値 $p^2$、よって $d = |p|$
• $p - \frac{1}{2} \geq 0$（$p \geq \frac{1}{2}$）のとき：$u = p - \frac{1}{2}$ で最小値 $p - \frac{1}{4}$、よって $d = \sqrt{p - \frac{1}{4}}$

小問(1)： $p = \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ なので

小問(2)： $p = \frac{5}{4} > \frac{1}{2}$ なので

$$d_2 = \sqrt{\frac{

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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