広島大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

セクション1：はじめに――この記事で得られること

広島大学 2002年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2002年度に出題された全10大問（大問1の[1]〜[5]、大問2の【1】〜【6】）を完全網羅し、各問題の解法・公式・つまずきポイントをとことん丁寧に解説します。

📌 この記事で得られる3つの価値

1. 解法の「なぜ」がわかる：公式の丸暗記ではなく、なぜその解法を選ぶのかという本質的な理解が深まります。
2. 広島大学数学の傾向が丸わかり：出題テーマ・難易度・頻出単元を徹底分析し、効率よく対策できます。
3. 合格に直結する学習ロードマップ：参考書選びから過去問演習まで、時期別に具体的な学習計画を提示します。

👨‍🏫 藤原先生より：「広島大学の数学は、難問で圧倒するタイプではなく、標準的な問題を確実に解き切る力が問われます。一つひとつの公式の意味をしっかり理解して、答案をきれいに書く練習を積めば、必ず得点できます。焦らず、一緒にやっていきましょう！」

セクション2：広島大学の数学 入試の全体像

広島大学 数学 試験形式と出題レベル

広島大学の数学入試（理系）は、例年以下のような形式で実施されます。

広島大学数学は「標準レベル中心」と言われますが、それは「簡単」という意味ではありません。標準的な問題を正確に・丁寧に・論理的に解く力が求められます。中途半端な理解では部分点しか取れず、「わかってはいるけど書けない」という受験生が多くつまずく試験です。

広島大学数学 過去10年の出題傾向まとめ

過去10年を振り返ると、以下の単元が繰り返し出題されています：

他大学との比較：東大・京大が「見たことのない問題に対する思考力」を重視するのに対し、広島大学は「知っている解法を正確に運用する力」を重視します。阪大や九大と似た方向性で、解法パターンの網羅と論述の丁寧さが合否を分けます。

【会話①】

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな勉強をすればいいんですか？具体的な単元を教えてください。」

👨‍🏫 藤原先生：「まず優先すべきは微分・積分だよ。特に面積計算では $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ という公式を自在に使えるかどうかが問われる。次に確率の漸化式で、$n$回後に事象Aが起きる確率を $P_n$ として $P_{n+1} = p P_n + q(1-P_n)$ の形に持ち込む訓練が大事。そして図形と方程式では軌跡問題が頻出で、媒介変数を消去するテクニックが必要だよ。この3本柱を固めることが広島大合格への最短ルートだね！」

標準問題をしっかり固める―それが広島大学攻略の王道です！

セクション3：2002年度 出題テーマ速報と分析

2002年度 広島大学 数学 大問別テーマ一覧

大問1（5題選択形式）

大問2（5題選択形式）

難易度評価と合格ライン

2002年度は全体的にバランスの取れたセットです。大問1・2それぞれから選択する形式で、受験生は得意な問題を選べます。合格ライン（理系）は概ね60〜65点と推定されます。対数・確率・行列・数列は比較的取り組みやすく、複素数平面・ベクトル証明は差がつく問題です。

💡 戦略：得意単元を確実に満点近くまで仕上げ、苦手単元は部分点狙いで論証を丁寧に書くことが合格への鍵です。

セクション4：全大問 完全解説

大問1 [1]：対数方程式の解の個数条件（難易度★★★☆☆）

【問題文】

正の定数 $a$ に対し、$\log_a(3x) + \log_a(a-x) = 1$ を満たす実数 $x$ がちょうど2つある。このとき、$a$ はどのような範囲にあるか。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 真数条件を整理する

$\log_a(3x) + \log_a(a-x) = 1$ が定義されるには：

$$3x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0$$
$$a - x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < a$$

よって $0 < x < a$ が真数条件。

ステップ② 対数の積の法則を使って整理する

真数同士を比較すると：

$$3x(a-x) = a$$
$$3ax - 3x^2 = a$$
$$3x^2 - 3ax + a = 0 \quad \cdots (\star)$$

ステップ③ 「$0 < x < a$ の範囲で解がちょうど2つ」の条件を求める

2次方程式 $(\star)$ について、$f(x) = 3x^2 - 3ax + a$ とおく。

まず判別式 $D > 0$ が必要：

$a > 0$ なので $D > 0 \Leftrightarrow 3a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{4}{3}$

ステップ④ 2つの解がどちらも $0 < x < a$ に入る条件

$f(x) = 3x^2 - 3ax + a$ の2解を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とする。

条件は：
- $f(0) > 0$：$f(0) = a > 0$（$a>0$ より自動的に成立）
- $f(a) > 0$：$f(a) = 3a^2 - 3a^2 + a = a > 0$（自動的に成立）
- 軸 $x = \dfrac{a}{2}$ が $0 < \dfrac{a}{2} < a$ を満たす：$a > 0$ より自動成立

したがって、$D > 0$ の条件だけが効いて：

ただし、$a = 1$ のとき $\log_a$ は定義できないので（底が1になる）、$a \neq 1$ も必要。$a > \dfrac{4}{3}$ を満たせば $a \neq 1$ は自動的に満たされる。

また $a = \dfrac{4}{3}$ のとき $D = 0$ で解は1つ、$0 < a < \dfrac{4}{3}$（$a \neq 1$）のとき $D < 0$ で解なし。

最終答え：$a > \dfrac{4}{3}$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは真数条件と解の個数条件の2段階管理です。料理に例えると、「材料が使える状態か確認してから調理を始める」ようなもの。真数条件を確認せずに方程式を解くのは、腐った食材で料理を作るようなもの——最後に「あれ、おかしい」となってしまいます。

今回は $f(0)>0$、$f(a)>0$、軸の位置がすべて自動的に成立するため、判別式のみで決まるスッキリした問題です。

【会話②】

🧑 生徒：「真数条件を確認した後、2つの解が $0 < x < a$ に入る条件ってどうやって調べるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「それは2次関数のグラフを使った解の配置問題だよ！$f(x) = 3x^2 - 3ax + a$ を区間 $(0, a)$ の中に2つの実数解を持つ条件は、①判別式 $D = 9a^2 - 12a > 0$、②$f(0) > 0$、③$f(a) > 0$、④軸 $x = \dfrac{a}{2}$ が $0 < \dfrac{a}{2} < a$（すなわち $a>0$）の4つを同時に満たすことだね。今回はたまたま①以外が $a>0$ から自動的に成立するから楽だったけど、一般的にはこの4条件を全部確認する習慣をつけてね！」

解の配置問題は「グラフの形」で考えることが最大のコツです！

【この大問で身につく力】

真数条件の管理と、2次方程式の解の個数条件（グラフによる解の配置）を組み合わせる論理的思考力。

大問1 [2]：軌跡（tan加法定理・放物線）（難易度★★★★☆）

【問題文】

直線 $x + y = 1$ 上の点 $Q$ と、放物線 $y = x^2$ 上の原点 $O$ とは異なる点 $R$ に対し、半直線 $OQ$、$OR$ の $x$ 軸正方向からの角をそれぞれ $\alpha$、$\beta$ とおく。線分 $QR$ の中点を $P$ とする。$2$ 点 $Q$、$R$ が $\alpha = \beta + 45°$、$0° < \beta < 45°$ を満たすように動くとき：

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① (1) の証明

直線 $OQ$ の傾きを $a = \tan\alpha$、直線 $OR$ の傾きを $b = \tan\beta$ とおく。

$\alpha = \beta + 45°$ より $\alpha - \beta = 45°$ なので：

tan加法定理を使うと：

$$\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} = 1$$
$$\frac{a - b}{1 + ab} = 1$$
$$a - b = 1 + ab$$
$$a - ab = 1 + b$$
$$a(1 - b) = 1 + b$$
$$a = \frac{1+b}{1-b}$$

（$0° < \beta < 45°$ より $0 < b < 1$ なので $1 - b \neq 0$）✓

ステップ② (2) 点 $P$ の座標を $b$ で表す

$R$ は放物線 $y = x^2$ 上の点で、直線 $OR$ の傾きが $b$ なので：
直線 $OR$：$y = bx$ と $y = x^2$ の交点（原点以外）：

よって $R = (b, b^2)$

$Q$ は直線 $x + y = 1$ 上で、直線 $OQ$ の傾きが $a = \dfrac{1+b}{1-b}$ なので：
直線 $OQ$：$y = ax$ と $x + y = 1$ の交点：

よって $Q = \left(\dfrac{1-b}{2}, \dfrac{1+b}{2}\right)$

中点 $P = \left(\dfrac{x_Q + x_R}{2}, \dfrac{y_Q + y_R}{2}\right)$：

ステップ③ (3) 軌跡の求め方

$P_x = X = \dfrac{1+b}{4}$ とおくと $b = 4X - 1$

$P_y = Y = \dfrac{2b^2+b+1}{4}$ に代入：

$$4Y = 2(4X-1)^2 + (4X-1) + 1$$
$$= 2(16X^2 - 8X + 1) + 4X - 1 + 1$$
$$= 32X^2 - 16X + 2 + 4X$$
$$= 32X^2 - 12X + 2$$

$0 < \beta < 45°$ より $0 < b < 1$：

$X = \dfrac{1+b}{4}$：$b \in (0,1)$ のとき $X \in \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}\right)$

軌跡：$y = 8x^2 - 3x + \dfrac{1}{2}$ $\left(\dfrac{1}{4} < x < \dfrac{1}{2}\right)$

【藤原先生の解説】

この問題は角度の情報を傾きに翻訳することがすべての出発点です。スポーツで言えば、「角度45度で打ち上げると最も遠くに飛ぶ」という話を数式に落とし込む感覚です。$\tan$ の加法定理を使って角度の差を傾きの関係式に変換することで、座標計算が可能になります。

【この大問で身につく力】

tan加法定理の応用と、媒介変数消去による軌跡の求め方。

大問1 [3]：放物線の接線・積分・面積最小化（難易度★★★★☆）

【問題文】

放物線 $y = x^2$ 上の2点 $A(a, a^2)$、$B(b, b^2)$（$a < b$）における接線をそれぞれ $l_a$、$l_b$ とする。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① (1) 接線の交点が満たす方程式

$l_a$：$y = 2ax - a^2$
$l_b$：$y = 2bx - b^2$

連立すると交点 $P(p, q)$：

$$2ax - a^2 = 2bx - b^2$$
$$2(a-b)x = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

$a \neq b$ より：$x = \dfrac{a+b}{2} = p$

よって $P = \left(\dfrac{a+b}{2}, ab\right)$ なので $p = \dfrac{a+b}{2}$、$q = ab$。

$a, b$ は $p = \dfrac{a+b}{2}$、$q = ab$ を満たすので、解と係数の関係より、$a, b$ は：

ステップ② (2) 面積 $S = \dfrac{1}{3}(b-a)^3$ の証明

$l_a$ と $y = x^2$ の交点：$2ax - a^2 = x^2 \Rightarrow (x-a)^2 = 0 \Rightarrow x = a$（接点のみ）

$x = b$ から $x = a$ の範囲で $l_a$ と $y = x^2$ で囲まれた面積と、$x = b$ の縦線との図形：

問題の「$l_a$、$x = b$ と $y = x^2$ で囲まれた図形」の面積 $S$：

（$b > a$ より $(b-a)^3 > 0$ なので $S = \dfrac{1}{3}(b-a)^3 > 0$ ✓）

ステップ③ (3) 交点 $P$ が $y = -(x-1)^2$ 上を動くときの $S$ の最小値

$P = \left(\dfrac{a+b}{2}, ab\right)$ が $y = -(x-1)^2$ 上にある条件：

$p = \dfrac{a+b}{2}$、$q = ab$ とおくと：

$S = \dfrac{1}{3}(b-a)^3$ を $p, q$ で表す：

$$(b-a)^2 = (b+a)^2 - 4ab = 4p^2 - 4q = 4p^2 + 4(p-1)^2 = 4\{p^2 + (p-1)^2\}$$
$$= 4(2p^2 - 2p + 1)$$

よって：

$g(p) = 2p^2 - 2p + 1 = 2\left(p - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2}$ は $p = \dfrac{1}{2}$ で最小値 $\dfrac{1}{2}$。

$a < b$ の条件から $(b-a)^2 > 0$、また $a < b$ が実数解を持つためには $q < p^2$（実数条件）：

$-(p-1)^2 < p^2 \Rightarrow -p^2+2p-1 < p^2 \Rightarrow 0 < 2p^2 - 2p + 1$ → 常に成立

$S$ の最小値：$p = \dfrac{1}{2}$ のとき

最終答え：$S$ の最小値は $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

【藤原先生の解説】

(2) のポイントは接線 $l_a$ が放物線と点 $A$ でのみ接触（重解）することを利用した「因数分解積分」です。$(x-a)^2$ の形に持ち込むことで、複雑な計算なしに $\dfrac{1}{3}(b-a)^3$ という美しい形が出ます。

(3) は「$p$ について整理してから $S$ を $p$ の関数とみなす」という発想が重要。$\dfrac{dS}{dp} = 0$ を解くより、$(2p^2-2p+1)$ の最小値を頂点の公式で求める方がスマートです。

【会話③】

🧑 生徒：「接線と放物線で囲まれた面積が $\dfrac{1}{3}(b-a)^3$ になるのはなぜですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「これは放物線と接線で囲まれる面積の公式の特殊ケースだよ！放物線 $y = x^2$ の点 $(a, a^2)$ での接線 $l_a: y = 2ax - a^2$ と放物線の差を取ると $x^2 - (2ax - a^2) = (x-a)^2$ となる。$l_a$ が放物線にぴったり接しているから、差が $(x-a)^2$ という完全2乗式になるんだ。そしてこの面積は $\int_a^b (x-a)^2\,dx = \left[\dfrac{(x-a)^3}{3}\right]_a^b = \dfrac{(b-a)^3}{3}$ となるわけ。『接線と放物線の挟まれた面積は3乗で表せる』という感覚を掴んでおくと、積分問題が格段に速く解けるようになるよ！」

面積の「形」を意識すると積分がもっと楽しくなりますよ！

【この大問で身につく力】

接線の

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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