広島大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読む前に

広島大学 1998年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

この記事では、広島大学1998年度の数学過去問を、理系試験（数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C）と文系試験（数学Ⅰ・Ⅱ・A・B）の両方について、基礎から丁寧に、そして徹底的に解説していきます。

この記事を読むと、こんなことが得られます！

• ✅ 広島大学数学の出題傾向と攻略の本質が分かる
• ✅ 1998年度の全大問について、解法の流れと重要公式を理解できる
• ✅ 合格に直結する学習ロードマップと参考書選びのコツが分かる

藤原先生からひとこと：「広島大学の数学は、奇をてらった難問よりも、標準レベルの問題を深く理解しているかを問う試験です。基礎をしっかり固めれば必ず点が取れる！焦らず一緒にやっていきましょう！」

セクション2：広島大学の数学 入試の全体像

試験形式と基本データ

広島大学の数学入試は、理系と文系で試験が分かれています。

理系（数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C）
- 試験時間：150分（9:00〜11:30）
- 大問数：6問（全問解答）
- 範囲：数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C の全範囲

文系（数学Ⅰ・Ⅱ・A・B）
- 試験時間：120分（9:00〜11:00）
- 大問数：6問中5問選択（【Ⅰ】〜【Ⅳ】必答、【Ⅴ-1】か【Ⅴ-2】を選択）
- 範囲：数学Ⅰ・Ⅱ・A・B

偏差値帯と求められる数学レベル

広島大学の偏差値は学部によって異なりますが、理系学部（工学部・理学部等）でおおむね 55〜65 程度です。求められる数学レベルは「教科書の内容を完全に理解した上で、標準〜やや難レベルの応用ができる」こと。いわゆる「難関大レベルの奇問」ではなく、「典型問題を確実に解く力」が問われます。

過去10年の出題傾向まとめ

広島大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

他大学との違い

「東大は論述の質と厳密さを重視、京大はひらめき重視」と言われますが、広島大学は解法の正確さと計算力のバランスを重視しています。計算ミスなく標準問題を確実に解ける「堅実型」の受験生が高得点を取ります。

会話①

🧑 生徒：「広島大学の数学って、どんな問題が多く出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「広島大学では、特に微積分とベクトルが頻出だよ。例えば積分では、置換積分法や部分積分法を使う問題、ベクトルでは内積を使った角度・距離の計算がよく出る。公式で言うと、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を軸に、空間ベクトルで体積を求めるところまで使いこなせることが大切だよ。標準問題を確実に解く練習を積み重ねていこう！」

広島大学の数学は「確実さ」が命です。基礎を固めれば必ず結果が出ますよ！

セクション3：1998年度 出題テーマ速報と分析

1998年度 出題テーマ一覧

理系（大問1）：全6問

文系（大問2）：6問中5問選択

難易度評価と合格ライン

1998年度の理系数学は全体的にやや難〜難の問題が揃っており、特に【Ⅴ】と【Ⅵ】は難度が高い。文系は【Ⅰ】【Ⅱ】が標準レベルで得点しやすく、【Ⅲ】【Ⅳ】が差のつく問題。

得点戦略：理系は【Ⅰ】【Ⅱ】【Ⅳ】を優先して完答を目指し、【Ⅲ】【Ⅴ】【Ⅵ】は部分点を狙う。文系は【Ⅰ】【Ⅱ】で確実に得点し、残りで差をつける。

各大問の詳しい解説を次のセクションで見ていきましょう！

セクション4：全大問 問題・解説

理系【大問1・Ⅰ】行列の累乗（難易度★★★★☆）

【問題文】

行列 $A = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -x \\ x & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ $(x \geq 0)$ に対して、

が成り立つとする。

(1) $x$ を求めよ。
(2) $A^3$ を求めよ。
(3) 自然数 $n$ に対して、$A^{2n} + A^n + E$ を求めよ。ただし $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $x$ を求める。

$\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ とおくと、条件は $(E + A + A^2)\vec{v} = \vec{0}$ 。

まず $A\vec{v}$ を計算する：

次に $A^2\vec{v}$ を計算する。まず $A^2$ を求める：

よって：

ステップ② 条件式を立てる。

第1成分：$1 - \dfrac{1}{2} - 2x + \dfrac{1}{4} - x^2 + 2x = \dfrac{3}{4} - x^2 = 0$

第2成分：$2 + x - 1 + \dfrac{1}{2} - x - 2x^2 = \dfrac{3}{2} - 2x^2 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} = 0$ ✓

ステップ③ $A^3$ を求める。

$x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき：

• $\text{tr}(A) = -\dfrac{1}{2} + (-\dfrac{1}{2}) = -1$
• $\det(A) = (-\dfrac{1}{2})(-\dfrac{1}{2}) - (-\dfrac{\sqrt{3}}{2})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$

ケーリー・ハミルトンの定理より：

これは条件 $(E + A + A^2)\vec{v} = \vec{0}$ と整合します。

$A^2 = -A - E$ から：

ステップ④ $A^{2n} + A^n + E$ を求める。

$A^3 = E$ より $A$ は周期3の行列。$n$ を3で割った余りで場合分けする。

• $n = 3m$ のとき：$A^n = (A^3)^m = E^m = E$、$A^{2n} = E$
  $$A^{2n}+A^n+E = E+E+E = 3E = \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}$$

• $n = 3m+1$ のとき：$A^n = A$、$A^{2n} = A^2 = -A-E$
  $$A^{2n}+A^n+E = (-A-E)+A+E = O = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

• $n = 3m+2$ のとき：$A^n = A^2 = -A-E$、$A^{2n} = A^4 = A^3\cdot A = A$
  $$A^{2n}+A^n+E = A+(-A-E)+E = O = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

【藤原先生の解説】

この問題のキモは「ケーリー・ハミルトンの定理」です。行列の累乗問題は、まずこの定理で $A^2$ を $A$ と $E$ の一次結合で表すことを目指しましょう。

ケーリー・ハミルトンの定理：$A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ に対して、$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$

例え話でいうと、これはまるで「数列の漸化式」のようなものです。$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ という漸化式があれば、$a_{n+2}$ はそれ以前の項で表せるように、$A^2$ 以上の累乗は $A$ と $E$ で表せるんです。だから高次のべき乗計算がぐっと楽になる！

さらにここでは $A^3 = E$ という周期性が見つかるため、「周期3で繰り返す」という発想で $n$ を3で割った余りで分類できます。これはまるでゲームのキャラクターが3ターンごとに元の状態に戻るようなイメージですね！

会話②

🧑 生徒：「ケーリー・ハミルトンの定理ってどうやって使うんですか？行列の累乗が大変で…」

👨‍🏫 藤原先生：「ケーリー・ハミルトンの定理は $A^2 - (\text{tr}A)A + (\det A)E = O$ という式だよ。今回の行列だと $\text{tr}(A) = -1$、$\det(A) = 1$ だから $A^2 + A + E = O$ になる。これを使うと $A^2 = -A - E$ と書けて、$A^3 = A \cdot A^2 = A(-A-E) = -A^2 - A = -(-A-E)-A = E$ と計算できるんだ。つまり $A^3 = E$ という周期性が分かれば、あとは $n$ を3で割った余りで場合分けするだけ！複雑に見えても、定理を使えばスッキリ解けるよ。」

【この大問で身につく力】
ケーリー・ハミルトンの定理の応用力と、行列の周期性を利用した場合分けの思考力。

行列の問題は「定理を使って次数を下げる」が基本戦略。この発想を覚えておこう！

理系【大問1・Ⅱ】空間ベクトルと四面体（難易度★★★★☆）

【問題文】

空間内の4点

を定め、線分 $P_1P_2$ の中点を $Q$ とする。

(1) 内積 $\overrightarrow{P_3P_1} \cdot \overrightarrow{QP_1}$ と $\overrightarrow{P_2P_1} \cdot \overrightarrow{QP_1}$ を求めよ。
(2) $\overrightarrow{QP_1}$ と $\overrightarrow{QP_4}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\sin\theta$ の値を求めよ。
(3) 四面体 $P_1P_2P_3P_4$ の体積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 各ベクトルを成分表示する。

$\phi = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比の逆数）とおくと:

（なぜなら $Q$ の $y$ 座標は $\dfrac{\phi + (-\phi)}{2} = 0$、$x=0$、$z=1$）

ステップ② 内積を計算する。

$\phi = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ のとき $\phi^2 = \dfrac{6-2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

また $\phi$ は方程式 $\phi^2 + \phi - 1 = 0$ の正の解（$\phi^2 = 1-\phi$）なので：

ステップ③ $\sin\theta$ を求める。

$\phi^2 = 1-\phi$ を代入：$= \sqrt{1+1-\phi-2\phi+1} = \sqrt{3-3\phi}$

$\phi = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ だから $3\phi = \dfrac{3\sqrt{5}-3}{2}$、$3-3\phi = 3-\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2} = \dfrac{9-3\sqrt{5}}{2}$

内積 $\overrightarrow{QP_1}\cdot\overrightarrow{QP_4} = (0)(-1)+\phi\cdot 0 + 0\cdot(\phi-1) = 0$

したがって $\theta = \dfrac{\pi}{2}$、つまり $\boxed{\sin\theta = 1}$

ステップ④ 四面体の体積を求める。

底面を三角形 $P_1P_2Q$（$Q$ は中点なので $P_1P_2Q$ は退化）…ここは別のアプローチを取る。

底面を $\triangle P_3P_4Q$ として考える。

$\overrightarrow{QP_3} = (1, 0, \phi-1)$、$\overrightarrow{QP_4} = (-1, 0, \phi-1)$

$P_3P_4$ の中点は $Q'=(0,0,\phi)$。底辺 $|P_3P_4| = 2$、高さは $Q'Q$ の水平成分。

より整理された方法として：$\overrightarrow{QP_1} \perp \overrightarrow{QP_4}$（$\theta=90°$）が分かったので、これを利用する。

底面を $\triangle P_2P_3P_4$ とし、高さを $P_1$ からの距離として求める。

$P_2=(0,-\phi,1)$、$P_3=(1,0,\phi)$、$P_4=(-1,0,\phi)$

外積（法線ベクトル）：

底面積：$|\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_2P_4}| = 2\sqrt{(1-\phi)^2+\phi^2} = 2\sqrt{1-2\phi+\phi^2+\phi^2}$

$4\phi = 2(\sqrt{5}-1)$ だから $3-4\phi = 5-2\sqrt{5}$

スカラー三重積で体積：

（$

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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