弘前大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事を読むと得られること

弘前大学 2017年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2017年度（平成29年度）弘前大学前期入試の数学全問題を、数強塾グループ代表・藤原進之介先生が丁寧に解説します。

📌 この記事で得られる3つの価値：
- 全大問（大問1〜大問3）の完全解答プロセスを段階的に理解できる
- 弘前大学数学の頻出テーマと傾向を把握し、効率的な対策ができる
- 合否を分けたポイントと失点しないための具体的な攻略法がわかる

👨‍🏫 藤原先生より：「弘前大学の数学は、基礎力と応用力をバランスよく問う良問揃いです。特に医学部志望の方は難易度が高くなるので、しっかり準備しましょう。でも大丈夫！この記事を最後まで読めば、必ず"解ける"という自信が生まれます。一緒に攻略していきましょう！」

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セクション2：弘前大学の数学 入試の全体像

試験形式と基本データ

弘前大学の数学入試（前期日程）は、主に以下の形式で実施されます。

項目	内容
試験時間	90〜120分（学部により異なる）
大問数	3問（全問解答必須）
出題科目	数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学A・数学B（理系学部は数学Ⅲを含む）
解答形式	記述式（論述・証明あり）
難易度	標準レベル（医学部は標準〜やや難）

弘前大学の偏差値帯は学部によって異なりますが、医学部医学科は偏差値62.5〜65程度、その他の理系学部は50〜55程度です。数学では、基礎的な計算力と論述力がしっかり求められます。

過去5年の頻出単元ランキング

弘前大学数学の傾向を分析すると、以下の単元が繰り返し出題されています：

順位	単元	出題頻度	主な出題形式
1位	積分・面積・体積	★★★★★	定積分の計算・回転体
2位	数列（漸化式・和）	★★★★☆	一般項・部分和
3位	複素数平面	★★★★☆	図形との融合
4位	対数・指数不等式	★★★☆☆	置換して整理
5位	確率	★★★☆☆	条件付き確率・漸化式
6位	空間ベクトル	★★★☆☆	位置ベクトルによる解法
7位	微分・グラフの描画	★★★☆☆	増減表・接線
8位	多項式・因数分解	★★☆☆☆	整数問題との融合

他大学との違い・特徴

東大や京大のような最難関大学は「発想力」と「論証の厳密性」を問う問題が中心ですが、弘前大学は「基礎的な概念をしっかり理解しているか」を問うスタイルが主流です。難問奇問ではなく、教科書レベルの内容を丁寧に理解した上で、複数の単元を組み合わせて解く「標準的良問」が特徴と言えます。

ただし医学部は別格で、計算量が多く、論述の精度も厳しく評価されます。

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🧑 生徒：「弘前大学の数学って、教科書の問題がきちんとできれば解けますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！教科書の内容は絶対に必要だけど、それだけだと少し足りないんだ。例えば2017年度の大問1(1)では、$6t^3 + 13t^2 + 4t - 3 > 0$ という3次不等式を因数分解する必要があって、これは教科書だけでなく『青チャート』や『1対1対応の演習』レベルの練習が必要だよ。基礎をしっかり固めた上で、標準問題の演習を積み重ねることが大切なんだ。」

💪 まずは全体像を把握することが合格への第一歩です。着実に進んでいきましょう！

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セクション3：2017年度 出題テーマ速報と分析

2017年度 大問別出題テーマ一覧

大問	出題テーマ	主な単元	難易度
大問1(1)	対数不等式（3次不等式）	数学Ⅱ・対数	★★★☆☆
大問1(2)	数列の和と部分分数分解	数学B・数列	★★★☆☆
大問1(3)	絶対値を含むグラフ（場合分け）	数学Ⅱ・関数	★★★☆☆
大問2	空間ベクトルと立体の交点	数学B・空間ベクトル	★★★★☆
大問3(1)(2)	放物線による正方形の分割・面積	数学Ⅱ・積分	★★★☆☆

※ OCRの都合上、大問2・大問3についてはそれぞれ別の試験冊子（学部別）の問題も含まれていますが、本記事では主要3大問を中心に解説します。

難易度評価と合格ライン

2017年度は全体的にバランスの取れた出題でした。大問1は小問集合形式で取りこぼしが少なく、大問3の積分は計算力が問われる問題です。大問2の空間ベクトルはやや思考力を要しますが、方針さえ立てられれば計算はそれほど複雑ではありません。

合格ラインの目安：3問中2問を完答＋残り1問の部分点獲得が目標です。

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セクション4：全大問 完全解説

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大問1：小問集合（対数不等式・数列・絶対値グラフ）

大問1(1)：対数不等式の解法（難易度★★★☆☆）

【問題文】

不等式 $6(\log_2 x)^3 + 13(\log_2 x)^2 + 4(\log_2 x) - 3 > 0$ を解け。

【使う公式・定理】

公式名	内容
対数の置換	$\log_2 x = t$ とおくことで多項式不等式に帰着
3次不等式の因数分解	有理根定理：$f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$ の有理根は $\pm\frac{d\text{の約数}}{a\text{の約数}}$
対数の単調性	$\log_2 x$ は単調増加関数

【解法ステップ】

• ステップ① 置換する：$t = \log_2 x$ とおく。$x > 0$ かつ $x \neq 1$（底が2なので $x > 0$）の条件を確認する。

• ステップ② 因数分解する：有理根の候補として $t = \pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm3, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}, \pm\frac{3}{2}$ などを試す。

$t = \frac{1}{6}$ のとき：
$$6 \cdot \frac{1}{216} + 13 \cdot \frac{1}{36} + 4 \cdot \frac{1}{6} - 3 = \frac{1}{36} + \frac{13}{36} + \frac{24}{36} - \frac{108}{36} = \frac{38-108}{36} \neq 0$$

実は $t = \frac{1}{2}$ のとき：
$$6 \cdot \frac{1}{8} + 13 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{2} - 3 = \frac{3}{4} + \frac{13}{4} + 2 - 3 = 4 - 1 = 3 \neq 0$$

解答から $(t+1)(2t+3)(3t-1) > 0$ に因数分解できることがわかります。確認：

$$t = -1: \quad 6(-1) + 13(1) + 4(-1) - 3 = -6+13-4-3 = 0 \checkmark$$
$$t = -\frac{3}{2}: \quad 6\left(-\frac{27}{8}\right) + 13\left(\frac{9}{4}\right) + 4\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -\frac{81}{4} + \frac{117}{4} - 6 - 3 = 9 - 9 = 0 \checkmark$$
$$t = \frac{1}{3}: \quad 6 \cdot \frac{1}{27} + 13 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{2}{9} + \frac{13}{9} + \frac{12}{9} - \frac{27}{9} = 0 \checkmark$$

よって因数分解：
$$6t^3 + 13t^2 + 4t - 3 = (t+1)(2t+3)(3t-1)$$

これを確認：$(t+1)(2t+3) = 2t^2+5t+3$ より $(2t^2+5t+3)(3t-1) = 6t^3 - 2t^2 + 15t^2 - 5t + 9t - 3 = 6t^3 + 13t^2 + 4t - 3$ ✓

• ステップ③ 不等式を解く：$(t+1)(2t+3)(3t-1) > 0$

根は $t = -\frac{3}{2},\ -1,\ \frac{1}{3}$ で、符号変化を確認すると：

• ステップ④ $t = \log_2 x$ に戻す：

場合1：$-\frac{3}{2} < \log_2 x < -1$

すなわち $\frac{\sqrt{2}}{4} < x < \frac{1}{2}$

場合2：$\log_2 x > \frac{1}{3}$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「対数を文字で置き換える」という発想です。料理に例えると、複雑な素材（対数の入った不等式）をいったん「普通の食材」（多項式）に変換してから調理する、というイメージです。置換後の3次不等式を因数分解できるかが勝負で、有理根定理を使って地道に根を探しましょう。

🧑 生徒：「この問題、$6t^3 + 13t^2 + 4t - 3$ の因数分解はどうやって見つけるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問！有理根定理を使うんだ。定数項 $-3$ の約数は $\pm1, \pm3$、最高次係数 $6$ の約数は $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ だから、有理根の候補は $\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}, \pm3, \pm\frac{3}{2}$ になるよ。$t = -1$ を代入すると $6(-1)^3 + 13(-1)^2 + 4(-1) - 3 = -6 + 13 - 4 - 3 = 0$ となって根だとわかる。あとは組立除法を使って $(t+1)(6t^2 + 7t - 3)$ に分解し、さらに $6t^2 + 7t - 3 = (2t+3)(3t-1)$ と分解できるよ。」

【この大問で身につく力】
対数の置換テクニックと3次式の因数分解力、そして符号の場合分けによる不等式処理能力が鍛えられます。

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大問1(2)：数列の和と部分分数分解（難易度★★★☆☆）

【問題文】

数列 $\{a_n\}$ が次の条件を満たすとき、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
階差数列による一般項	$a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)$ ($n \geq 2$)
自然数の和	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$
部分分数分解	$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$
望遠鏡和（テレスコーピング）	差の形の和は前後がキャンセル

【解法ステップ】

• ステップ① 一般項 $a_n$ を求める（$n \geq 2$）：

階差数列の公式を使う。$a_{n+1} - a_n = 18n + 6$ だから：

• ステップ② $n = 1$ の確認：$a_1 = 9(1)^2 - 3(1) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4$ ✓

よって $n \geq 1$ で成立し：

• ステップ③ 部分分数分解：

• ステップ④ 和を計算（望遠鏡和）：

【藤原先生の解説】

「望遠鏡和」は、日本語で「消し去りの和」とも呼ばれます。望遠鏡をイメージしてください。$(A_1 - A_2) + (A_2 - A_3) + \cdots + (A_{n-1} - A_n) = A_1 - A_n$ というように、中間の項がすべて消えて最初と最後だけ残る、とても美しい計算技法です。部分分数分解でこの形に持ち込めれば、あとは機械的に計算できますよ！

【この大問で身につく力】
階差数列による一般項の導出と、部分分数分解＋望遠鏡和による無限級数・有限和の処理能力が身につきます。

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大問1(3)：絶対値関数のグラフ（場合分け）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a$ を定数とする。関数 $y = \sqrt{x^2 - 2ax - 2x + a^2 + 2a + 1}$ のグラフを $0 \leq x \leq 1$ の範囲でかけ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
平方完成	$x^2 - 2bx + b^2 = (x-b)^2$
絶対値の定義	$\sqrt{A^2} = |A|$
場合分け	絶対値を外す際に正負で場合分け

【解法ステップ】

• ステップ① 根号の中を整理する：

• ステップ② 関数を簡略化：

• ステップ③ 場合分けして $0 \leq x \leq 1$ でのグラフを描く：

$p = a+1$ とおくと $y = |x - p|$ のグラフを $[0, 1]$ で描けばよい。

[場合1] $p < 0$（すなわち $a < -1$）のとき：

区間 $[0,1]$ で常に $x - p > 0$ だから $y = x - p$

グラフは傾き $+1$、$y$ 切片 $-p > 0$ の線分（右上がり直線の一部）。

端点：$(0,\ -p)$、$(1,\ 1-p)$

[場合2] $0 \leq p \leq 1$（すなわち $-1 \leq a \leq 0$）のとき：

$x < p$ で $y = -(x-p) = p - x$、$x \geq p$ で $y = x - p$

グラフは $x = p = a+1$ を頂点（$y = 0$）とするV字形

端点：$(0,\ p)$、$(1,\ 1-p)$（$p \leq \frac{1}{2}$ か $p > \frac{1}{2}$ で形が変わる）

[場合3] $p > 1$（すなわち $a > 0$）のとき：

区間 $[0,1]$ で常に $x - p < 0$ だから $y = p - x$

グラフは傾き $-1$、$y$ 切片 $p > 1$ の線分（右下がり直線の一部）。

端点：$(0,\ p)$、$(1,\ p-1)$

場合分けに応じてV字またはその一方の辺のみのグラフになる。

【藤原先生の解説】

ここでの核心は「根号の中を完全平方式に変形する」という発想です。$\sqrt{A^2} = |A|$ という関係は、絶対値とルートをつなぐ橋渡しです。そして $|x - p|$ の形に持ち込んだら、あとは $p$ の位置（区間 $[0,1]$ の外にあるか中にあるか）で3つの場合に分けるだけです。場合分けは「整理整頓」の作業なので、丁寧に進めましょう！

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大問2：空間ベクトルと交点（難易度★★★★☆）

【問題文】

座標空間の8点 $O(0,0,0)$、$A(1,0,0)$、$B(1,1,0)$、$C(0,1,0)$、$D(0,0,1)$、$E(1,0,1)$、$F(1,1,1)$、$G(0,1,1)$ を頂点とする立方体 $OABC\text{-}DEFG$ を考える。この立方体の辺上に3点 $H\!\left(\frac{2}{3}, 1, 1\right)$、$I\!\left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$、$J(1, l, 1)$ をとる。三角形 $HIJ$ と線分 $OF$ の交点を $X$ としたとき、$OX = \frac{21}{25}\sqrt{3}$ となる $l$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
空間ベクトルの位置表示	$\vec{OX} = s\vec{OI} + m\vec{IH} + n\vec{IJ}$（三角形上の点）
線分上の点	$\vec{OX} = \alpha \vec{OF}$（$0 \leq \alpha \leq 1$）
ベクトルの大きさ	$|\vec{OX}| = \sqrt{\alpha^2 + \alpha^2 + \alpha^2} = \alpha\sqrt{3}$

【解法ステップ】

• ステップ① 点 $X$ の位置を表す：

$X$ は線分 $OF$ 上の点だから、実数 $\alpha$（$0 \leq \alpha \leq 1$）を用いて：

• ステップ② $OX$ の長さから $\alpha$ を求める：

条件 $|\vec{OX}| = \frac{21}{25}\sqrt{3}$ より：

• ステップ③ 点 $X$ が三角形 $HIJ$ 上にあることを使う：

$X$ は三角形 $HIJ$ 上の点だから、実数 $m, n$ を用いて：

各ベクトルを計算：

よって：

• ステップ④ 成分を比較して連立方程式を立てる：

$\vec{OX} = \left(\frac{21}{25}, \frac{21}{25}, \frac{21}{25}\right)$ より：

• ステップ⑤ 解く：

②より：$\frac{m}{3} = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25}$、よって $m = \frac{12}{25}$

④より：$\frac{m+n}{2} = \frac{21}{25} - \frac{1}{2} = \frac{42}{50

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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