早稲田大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読むと得られる3つの価値

早稲田大学 2019年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、早稲田大学の数学を徹底的に分析し、2019年度全問題を丁寧に解説していきます。

• ✅ 2019年度の全大問（8問）を、途中計算を省略せずに完全解説
• ✅ 早稲田大学数学の出題傾向と合格するための戦略が分かる
• ✅ 合格ラインを突破するための参考書・学習ロードマップまで完全網羅

👨‍🏫 藤原先生より：
早稲田の数学は「問題数が多く、時間との戦い」です。でも大丈夫！一つ一つの問題は実は標準レベルが多い。どこで確実に点を取り、どこは捨てるかという戦略が合否を分けます。一緒にしっかり対策していきましょう！

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早稲田大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

早稲田大学の数学は学部ごとに試験が異なります。理工学術院（基幹・創造・先進）の理工学部系が最も数学の比重が高く、今回取り上げる2019年度の問題群はその代表格です。

項目	内容
試験時間	120分
問題数	5〜8問（学部による）
解答形式	答のみ・記述混在
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B
偏差値帯	65〜70（理工系）

求められる数学レベル

早稲田大学理工系の数学は「標準〜やや難」のレベルが中心です。東京大学のように純粋な思考力だけを問う問題は少なく、むしろ計算の正確性と処理速度が重要になります。

🧑 生徒：「早稲田の数学って、東大や京大とどう違うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「大きな違いは出題スタイルだよ。東大は「なぜそうなるか」を論述で説明させる問題が多い。でも早稲田は答えを出すスピードと計算の正確さが重視される。例えば積分で面積を求めるとき、東大なら「この方針が正しいことを示せ」と聞くことが多いのに、早稲田は「面積Sを求めよ」とシンプルに聞いて、計算量は多いことがある。要するに、早稲田では公式・定理を素早く使いこなす力が必要なんだ。青チャート（チャート式 基礎からの数学）で基礎を固めたうえで、1対1対応の演習で入試標準レベルの問題処理力を鍛えるのが王道だよ！」

頻出単元ランキング（過去10年）

順位	単元	出題頻度
1位	微積分（面積・体積）	★★★★★
2位	確率・確率漸化式	★★★★☆
3位	ベクトル・空間図形	★★★★☆
4位	数列・漸化式	★★★★☆
5位	複素数平面	★★★☆☆
6位	三角関数・指数関数	★★★☆☆
7位	数学的帰納法・不等式証明	★★★☆☆

微積分は毎年必ず出ると言っても過言ではありません。特に回転体の体積・面積計算は頻出中の頻出です！

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2019年度 出題テーマ速報と分析

大問別テーマ一覧と難易度

大問	テーマ	難易度
大問1-(1)	三角関数・2倍角公式	★★☆☆☆
大問1-(2)	指数関数の最大最小	★★★☆☆
大問1-(3)	群数列	★★★☆☆
大問2	放物線と接線・面積	★★★☆☆
大問3	応用問題（円形道路と売上）	★★★★☆
大問4	ベクトルの内積・最小値	★★★☆☆
大問5	さいころと2次方程式の確率	★★★★☆
大問6	接線と曲線の交点・回転体	★★★★☆
大問7	確率漸化式・コイン移動	★★★★☆
大問8	不等式の証明・極限	★★★★★

合格ラインと得点戦略

2019年度の合格ラインは概ね6割〜6.5割と推定されます。全問完答は上位数％のみです。戦略としては：

1. 大問1・2・4は確実に完答 → ここを落とすと一気に不利になる
2. 大問3・5は部分点を積み重ねる → (1)(2)だけでも取れれば十分
3. 大問8は解ける小問だけ狙う → 証明問題は時間がかかりすぎることがある

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全大問 問題・解説（完全版）

大問1-(1)：三角関数・2倍角の公式（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

$t = \tan\theta$（$-\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{4}$）とおくとき、$\tan 2\theta$、$\sin 2\theta$ をそれぞれ $t$ の式で表せ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
2倍角公式（タン）	$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$
2倍角公式（コス）	$\cos 2\theta = \dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$
sinとtanの関係	$\sin 2\theta = \tan 2\theta \cdot \cos 2\theta$

【解法ステップ】

ステップ① $\tan 2\theta$ を求める：

ステップ② $\cos 2\theta$ を $t$ で表す：

ステップ③ $\sin 2\theta = \tan 2\theta \cdot \cos 2\theta$ を利用する：

【答え】

【藤原先生の解説】

2倍角公式は「倍角」という名前の通り、$\theta$ を $2\theta$ に変換する公式です。$\sin 2\theta$ を直接 $t$ で表すのが難しいときは、$\sin 2\theta = \tan 2\theta \cdot \cos 2\theta$ という「裏技」が使えます。料理で言えば、材料（$\cos 2\theta$）を既に準備してあるんだから、あとは混ぜるだけ、というイメージですね。

🧑 生徒：「$\sin 2\theta$ を $t$ で直接表す方法はないですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「もちろんあるよ！$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ という公式を使って、さらに $\sin\theta = \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}$、$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ を代入すると、$\sin 2\theta = 2 \cdot \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}} = \dfrac{2t}{1+t^2}$ と同じ結果になるよ。どちらの方法も正しい！でも今回紹介した $\tan 2\theta \cdot \cos 2\theta$ を使う方法は計算ミスが少なくておすすめだよ。」

【この大問で身につく力】 三角関数の変換力と公式の柔軟な活用力。入試で繰り返し問われる「置換」による式変形の基礎が身につく。

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大問1-(2)：指数関数の最大最小（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$x < 1$ のとき、$y = 9 \cdot 25^x - 15 \cdot 5^x - 5^{3x}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
置換	$t = 5^x$ とおくと $25^x = t^2$、$5^{3x} = t^3$
微分による増減	$y' = 0$ の点を求め増減表を作る

【解法ステップ】

ステップ① $t = 5^x$ とおく。$x < 1$ のとき $5^x < 5^1 = 5$ かつ $5^x > 0$ より：

ステップ② $y$ を $t$ の式に変換する：

ステップ③ 微分して増減表を作る：

$0 < t < 5$ における $y' = 0$ の解：$t = 1$（$t=5$ は境界なので含まない）

$t$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$(5)$
$y'$		$-$	$0$	$+$
$y$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

ステップ④ $t = 1$ のときの $y$ の値を求める：

ステップ⑤ $t \to 0^+$ のとき $y \to 0$、$t \to 5^-$ のとき：

ただし $t = 0$ と $t = 5$ は含まない（開区間）ので、境界値は含まれない。

増減表から、$t \in (0, 5)$ での $y$ の最小値は $t = 1$ での $-7$、$t \to 5^-$ での極限値は $25$（到達しない）。

（$t=1$ すなわち $x=0 < 1$ で最小値 $-7$ を取り、$t$ が $5$ に近づくにつれて $y$ は $25$ に近づくが到達しない）

【この大問で身につく力】 指数関数の置換テクニックと微分を使った最大最小の求め方。置換積分の前段階として重要なスキル。

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大問1-(3)：群数列（難易度★★★☆☆）

【問題文】

数列 $\{a_n\}$ を $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{1}{6}, \cdots$ と定めるとき、$a_{220}$ を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
群数列の考え方	第 $k$ 群の項数は $k$、累積項数は $\dfrac{k(k+1)}{2}$
第 $k$ 群の初項	$\dfrac{1}{k+1}$、$j$ 番目の項は $\dfrac{j}{k+1}$

【解法ステップ】

ステップ① 数列を群に分ける：

• 第1群：$\dfrac{1}{2}$（1項）
• 第2群：$\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$（2項）
• 第3群：$\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{4}$（3項）
• 第 $k$ 群：$\dfrac{1}{k+1}, \dfrac{2}{k+1}, \cdots, \dfrac{k}{k+1}$（$k$ 項）

ステップ② 第 $k$ 群までの累積項数を求める：

ステップ③ $a_{220}$ が何群何番目かを調べる：

$210 < 220 \leq 231$ なので、$a_{220}$ は第21群に属する。

ステップ④ 第21群の何番目かを求める：

第21群は $a_{211}$ から始まる（210項目の次）。

よって、$a_{220}$ は第21群の10番目。

ステップ⑤ 第21群の10番目の値を求める：

第21群の $j$ 番目は $\dfrac{j}{22}$ なので：

【この大問で身につく力】 群数列の処理力。「何群の何番目か」という2段階の調査プロセスをマスターできる。

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大問2：放物線と接線・囲まれた面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$xy$ 平面上の放物線 $y = x^2$ を $C$ とする。点 $P(-2, -5)$ を通り、放物線 $C$ に接する2つの直線を $\ell_1, \ell_2$ とする。

(1) 直線 $\ell_1, \ell_2$ の方程式を求めよ。
(2) 接点をそれぞれ $A(a, a^2)$, $B(b, b^2)$ とするとき、$a, b$ の値を求めよ。
(3) 放物線 $C$ と2直線 $\ell_1, \ell_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
接線の方程式	接点 $(t, t^2)$ における接線：$y = 2t(x - t) + t^2 = 2tx - t^2$
放物線と直線で囲まれた面積	$\frac{1}{6}|a_2 - a_1|^3$（$a_1, a_2$ は交点の $x$ 座標）

【解法ステップ】

ステップ① 接点を $(t, t^2)$ とおく。$y' = 2x$ より、接線の方程式：

ステップ② 接線が点 $P(-2, -5)$ を通る条件：

$$-5 = 2t \cdot (-2) - t^2$$
$$-5 = -4t - t^2$$
$$t^2 + 4t - 5 = 0$$
$$(t+5)(t-1) = 0$$
$$t = -5 \quad \text{または} \quad t = 1$$

ステップ③ 各接線の方程式：

$t = -5$ のとき：$y = -10x - 25$ → $\ell_1$（傾き $-10$）

$t = 1$ のとき：$y = 2x - 1$ → $\ell_2$（傾き $2$）

ステップ④ 接点の座標：

ステップ⑤ 面積 $S$ を計算する。囲まれた領域は放物線 $C$ と $\ell_1$（$x \in [-5, -2]$）と $C$ と $\ell_2$（$x \in [-2, 1]$）の2部分に分かれる。

$\ell_2$ と $C$ の囲む面積（$x \in [-2, 1]$）：

面積は絶対値なので $S_2 = 9$（または $\dfrac{1}{6}|1-(-2)|^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$……）

実際は $-x^2 + 2x - 1 = -(x-1)^2 \leq 0$ なので：

$\ell_1$ と $C$ の囲む面積（$x \in [-5, -2]$）：

🧑 生徒：「放物線と接線で囲まれた面積の計算で、なぜ $\dfrac{1}{6}|b - a|^3$ という公式が使えるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！これは放物線と接線で囲まれた面積の公式で、$\int_a^b (x-a)^2\,dx = \dfrac{(b-a)^3}{3}$ という積分の結果から来ているんだ。放物線 $y = x^2$ と点 $x = t$ での接線は $(x-t)^2$ の形で表せるから、$\int_a^t (x-t)^2\,dx = \dfrac{(t-a)^3}{3}$ になる。これを2倍する必要はなく、そのまま $\dfrac{|b-a|^3}{6}$ になるのは、放物線が上に凸・下に凸で変わるからだよ。今回の問題では、各接線と放物線の囲む部分はちょうど $\dfrac{3^3}{6} = \dfrac{9}{2}$……あれ、$9$ になるね？積分範囲が $-2$ から $1$ で幅は $3$、$\dfrac{3^3}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$……少し違うかな。実際に積分で確かめることが大切なんだ！この問題の場合、$P$ が接線外の点なので通常の「接線と放物線」の公式ではなく、ちゃんと積分計算しよう。」

【この大問で身につく力】 接線の求め方から面積計算まで、微分・積分の総合力が身につく。

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大問3：円形道路と店舗立地の応用問題（難易度★★★★☆）

【問題文】

円形の環状道路に3600人の顧客が $0.1°$ 間隔で分布。$a$ を $1$ 以上 $180$ 未満の整数として店舗Pから時計回り $a°$ に店舗Aが立地。

(1) 2店舗のみの場合の各売上。
(2) 店舗Bを追加したときの売上と、Bの売上最大の条件。
(3) B の利益が常に負になる $a$ の条件。
(4) A と B の売上合計最大の条件。

【解法ステップ】

ステップ① 基本設定の確認：

• 顧客数：$3600$ 人、$0.1°$ 間隔 → 全体で $\dfrac{360}{0.1} = 3600$ 人
• 各顧客は最寄り店舗で $1000$ 円購入

ステップ② (1) 2店舗（P, A）の場合：

P と A の中間点（弦の等距離点）は直線距離で見た場合、円上の中間角が境界。

PとAの中間点は時計回り $\dfrac{a}{2}°$、反時計回り $180 + \dfrac{a}{2}°$ の位置。

店舗 P の担当範囲：$180°$ 分（$\dfrac{a}{2}°$ から反時計回り $180°$）
店舗 A の担当範囲：$180°$ 分

各店舗の顧客数：$\dfrac{180}{0.1} = 1800$ 人

ステップ③ (2) 店舗 B を $b°$ の位置に追加（$1 \leq b < 360$）：

場合分けが必要。$b < a$ の場合（B が P と A の間）：

• B の担当範囲：P 方向 $\dfrac{b}{2}°$、A 方向 $\dfrac{a-b}{2}°$ → 合計 $\dfrac{a}{2}°$
• B の顧客数：$\dfrac{a/2}{0.1} = 5a$ 人

• B の売上：$5000a$ 円

• A の担当範囲：B 方向 $\dfrac{a-b}{2}°$、反時計回り方向 $180 - \dfrac{a}{2}°$ 分

• A の顧客数：$180 \times \dfrac{1}{0.1} - \dfrac{a+b}{2} \times \dfrac{1}{0.1}$
• A の売上：$1{,}800{,}000 - 5000b$ 円

$b > a$ の場合（B が A の反対側）：

• B の売上：$1{,}800{,}000 - 5000a$ 円
• A の売上：$5000b$ 円

B の売上最大条件：$b < a$ のとき $5000a$ は $a$ によって決まり $b$ には依存しない。$b > a$ のとき $1{,}800{,}000 - 5000a$。$a < 180$ より $b < a$ のケースの方が大きくなりうるが、$b$ の選び方によらず $b < a$ の任意の $b$ で $5000a$ が達成できる。

ステップ④ (3) B の利益が常に負：

B の開設費用 $100$ 万円。B の最大売上が $100$ 万円未満であればよい。

$b < a$ のとき B の売上は $5000a$ 円、$b > a$ のとき $1{,}800{,}000 - 5000a$ 円。

$b < a$ の最大売上：$5000a < 1{,}000{,}000 \Rightarrow a < 200$（常に成立）

$b > a$ の最大

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