早稲田大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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【セクション1】リード文
早稲田大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾グループ代表の藤原進之介が、2018年度早稲田大学数学の全大問を丁寧に解説します。
この記事で得られる3つの価値：
- ✅ 全9問を完全解説：問題の背景にある考え方から丁寧に説明
- ✅ 合否を分けたポイント：どの問題で点数を稼ぐべきかが明確になる
- ✅ 早稲田数学の傾向と対策：2018年度だけでなく、今後の学習指針が得られる
👨🏫 藤原先生より一言： 早稲田の数学は「難しい」というイメージを持つ人が多いけど、実は標準問題をいかに素早く正確に解けるかが合否の鍵なんだ。焦らず一緒にやっていこう！
【セクション2】早稲田大学の数学：入試の全体像
早稲田大学 数学の試験形式と特徴
早稲田大学は学部によって数学の形式が大きく異なります。ここでは複数の学部の数学を横断的に解説します。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 60〜120分（学部による） |
| 問題数 | 3〜9問（学部・年度による） |
| 解答形式 | 記述式・穴埋め式が混在 |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（理系） |
| 難易度帯 | 標準〜やや難（一部難問あり） |
2018年度の特徴として、大問1（商学部系）は小問集合で幅広い単元をカバー、大問2（理工学部系）は高度な解析・幾何・複素数を含む本格的な記述問題、大問3（基幹・創造・先進理工学部系）は整数・関数方程式・幾何と、実に多彩なテーマが登場しました。
過去5〜10年の頻出単元ランキング
| 順位 | 単元 | 頻出度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分 | ★★★★★ |
| 2位 | 確率・場合の数 | ★★★★★ |
| 3位 | 複素数・複素平面 | ★★★★☆ |
| 4位 | 数列・漸化式 | ★★★★☆ |
| 5位 | ベクトル・図形 | ★★★★☆ |
| 6位 | 対数・指数 | ★★★☆☆ |
| 7位 | 整数問題 | ★★★☆☆ |
他大学との違い
東大は「論証の丁寧さ」と「発想力」が問われる純粋な記述式ですが、早稲田大学は「計算のスピードと正確性」+「幅広い単元への対応力」が求められます。特に理工系学部は計算量が多く、時間配分が非常に重要です。
会話①
🧑 生徒：「先生、早稲田の数学ってどんな問題が多いんですか？」
👨🏫 藤原先生：「早稲田の数学でよく出るのは微分・積分、確率、数列の漸化式だよ。たとえば2018年度でも、漸化式を使った確率問題が登場していて、$P_{n+1} = \frac{2}{3}P_{n+1} + \frac{1}{3}P_{n-1}$ という形の確率漸化式を解くスキルが要求されているんだ。これは青チャートや1対1対応の演習でしっかり訓練できるよ！」
【セクション3】2018年度 出題テーマ速報と分析
2018年度 大問別テーマ一覧
| 大問 | 出典学部系 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 問1(1) | 商学部系 | 正六角形の面積（三角比） | ★★☆☆☆ |
| 問1(2) | 商学部系 | 対数関数の値域 | ★★★☆☆ |
| 問1(3) | 商学部系 | 平均・標準偏差（統計） | ★★☆☆☆ |
| 問2 | 商学部系 | 正方形と距離の最大・最小 | ★★★☆☆ |
| 問3 | 商学部系 | 売上・利益の最大化（整数制約） | ★★☆☆☆ |
| 問4 | 商学部系 | 2次方程式と複素数・領域図示 | ★★★★☆ |
| 問5 | 商学部系 | リーグ戦の確率・比較論述 | ★★★★☆ |
| 大問2[1]〜[4] | 理工学部系 | 複素数・放物線・確率漸化式・弧長 | ★★★★☆〜★★★★★ |
| 大問3[1]〜[3] | 基幹・先進理工系 | 整数・関数方程式・数列・幾何 | ★★★★★ |
前年度との傾向変化
2017年度と比較すると、2018年度は整数問題の比重が増加し、大問31では $a^2 = b^n + 225$（$b$は素数）という整数の方程式が登場。また、理工系の大問2ではオイラーの公式に関連する極限問題が出題され、複素数と解析の融合という高度な出題が見られました。
合格ラインと得点戦略
- 商学部系：全体の60〜65%が目安。問1〜問3を確実に取り、問5の(1)(2)まで得点するのが理想。
- 理工学部系：全体の55〜60%が目安。大問2[1]を完答し、[2][3]で部分点を狙う。
- 基幹・先進理工系：全体の50〜55%が目安。大問3[1]の穴埋め4問を優先攻略。
【セクション4】全大問 問題・解説
大問1(1)：正六角形の面積（難易度★★☆☆☆）
【問題文】
半径1の円に外接する正六角形の面積を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 正三角形の面積 | 底辺 $\times$ 高さ $\div$ 2 |
| $\tan 30°$ の値 | $\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
【解法ステップ】
ステップ① 正六角形の構造を把握する：
正六角形の中心から各辺に垂線を下ろすと、正六角形は6つの合同な二等辺三角形（実は正三角形）に分割される。「外接」とは円が正六角形の内側に接している（内接円）ことを意味するので、円の半径 = 中心から各辺への距離 = 1。
ステップ② 1つの二等辺三角形の底辺を求める：
中心角は $360° \div 6 = 60°$ なので、各三角形の頂角は $60°$、底角は $60°$ で正三角形。中心から辺への距離が1なので：
底辺 $= \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
ステップ③ 1つの三角形の面積を求める：
ステップ④ 正六角形全体の面積：
【藤原先生の解説】
「外接」と「内接」の区別が最初の関門だよ。「円に外接する正六角形」とは、正六角形の各辺に円が接している状態——つまり円は内接円なんだ。料理で例えると、丸いケーキを六角形の箱にぴったり収めた状態をイメージしてね！中心から辺への距離が半径に等しくなる。
この大問で身につく力： $\tan$ の値を活用した図形の計量能力と、「外接・内接」の定義の正確な理解。
大問1(2)：対数関数の値域（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$x \geq 1,\ y > 1,\ xy = 4$ のとき、$z = (\log_2 x)^2(\log_2 2y)$ のとりうる値の範囲を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 対数の性質 | $\log_2 2y = \log_2 2 + \log_2 y = 1 + \log_2 y$ |
| 微分による増減表 | $f'(t) = 0$ の解で増減を判定 |
【解法ステップ】
ステップ① 変数を置換する：
$xy = 4$ より $y = \dfrac{4}{x}$。$x \geq 1$ かつ $y > 1$ より：
ステップ② $t = \log_2 x$ と置く：
$1 \leq x < 4$ より $0 \leq t < 2$。また：
ステップ③ $z$ を $t$ の関数として表す：
ステップ④ 増減表を作る：
$0 \leq t < 2$ の範囲で $f'(t) \geq 0$（等号は $t=0,2$ のとき）
| $t$ | $0$ | $\cdots$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $f'(t)$ | $0$ | $+$ | $0$ |
| $f(t)$ | $0$ | $\nearrow$ | $4$ |
ステップ⑤ 値域を確定：
$t=0$（$x=1$）のとき $z=0$（含む）、$t \to 2$（$x \to 4$）のとき $z \to 4$（含まない）
【藤原先生の解説】
対数の問題で大切なのは、まず変数変換で整理すること。$t = \log_2 x$ と置くだけで、複雑に見えた式がシンプルな3次関数に変わるんだ。「$y > 1$ かつ $xy = 4$」から $x < 4$ という条件を導き出すのも忘れずに！端点の含まれ方（$x=1$ は含む、$x=4$ は含まない）を丁寧に確認しよう。
この大問で身につく力： 対数の変換能力と、変数変換後の関数の値域を正確に求めるスキル。
大問1(3)：平均・標準偏差（難易度★★☆☆☆）
【問題文】
100人のテストの得点のデータをみると、25人が0点、75人が100点であった。このデータの平均値と標準偏差を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 平均値 | $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$ |
| 分散 | $s^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ |
| 標準偏差 | $s = \sqrt{s^2}$ |
【解法ステップ】
ステップ① 平均値を計算：
ステップ② 分散を計算：
ステップ③ 標準偏差を計算：
【藤原先生の解説】
統計の問題は計算ミスが命取り！分散の計算で $75^2 \times 25 + 25^2 \times 75$ を因数分解すると $25^2(9 \times 25 + 75) = 625 \times 300 = 187500$ と計算できるよ。最後の $\sqrt{1875} = 25\sqrt{3}$ は $1875 = 25^2 \times 3$ と分解することがポイントだ。
この大問で身につく力： 統計量の定義を正確に使いこなす計算力。
大問2：正方形と距離の最大・最小（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$a, b$（$a > b > 0$）を定数とし、$x$-$y$ 平面上に2点 $A(0, a)$, $B(b, 0)$ をとる。点 $P$ は線分 $AB$ を1辺とする正方形の周および内部の点である。原点 $O(0,0)$ がこの正方形の外部の点であるとき、各問に答えよ。
【解法ステップ：(1) 残り2頂点の座標】
ステップ① $\vec{AB}$ を求める：
ステップ② $\vec{AB}$ に垂直な単位方向ベクトルを求める：
$\vec{AB}$ を $90°$ 回転させた方向は $(a, b)$（長さ $\sqrt{a^2+b^2}$）。正方形の1辺の長さは $|\vec{AB}| = \sqrt{a^2+b^2}$ なので、隣の頂点への移動量はそのまま $(a, b)$。
ステップ③ 頂点 $C$, $D$ を求める：
$$C = B + (a, b) = (b+a, b) = (a+b, b)$$
$$D = A + (a, b) = (a, a+b)$$
【解法ステップ：(2) OP の最大値】
$a > b > 0$ より、4頂点のうち最も原点から遠いのは $D(a, a+b)$（直感的に最も右上にある点）。
【解法ステップ：(3) OP の最小値】
$O$ が正方形の外部にあるとき、$O$ から正方形に最も近い点は $O$ から直線 $AB$ への垂線の足（垂線の足が線分 $AB$ の内側にある場合）。
直線 $AB$ の方程式：$\dfrac{x}{b} + \dfrac{y}{a} = 1$ すなわち $ax + by - ab = 0$
点と直線の距離の公式より：
【藤原先生の解説】
会話②
🧑 生徒：「(3) で O から線分 AB に垂線を下ろすとき、その垂線の足が線分の内側にあることはどうやって確認するんですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問だね！垂線の足が線分の内側にあることは、$a > b > 0$ という条件から保証されているよ。具体的には、O が正方形の外部にあるという条件を使って確認できるんだ。また、(1) で求めた頂点の座標から正方形の位置を把握すると、直線 $AB$ の方程式 $\dfrac{x}{b} + \dfrac{y}{a} = 1$（すなわち $ax + by = ab$）に対して点と直線の距離の公式 $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を使えばすぐに答えが出るよ！"
この大問で身につく力： ベクトルを使った正方形の頂点計算と、点と直線の距離の公式の応用。
大問3：売上・利益の最大化（難易度★★☆☆☆）
【問題文】
販売個数 $y$ 個（$y$ は1以上の整数）は、販売価格 $p$ 円に対して $y = 10 - p$ で定められる。
【解法ステップ：(1) 売上最大化】
売上 $z = py = p(10-p) = -(p-5)^2 + 25$
$p$ は $1 \leq p \leq 9$（$y \geq 1$ かつ整数）の整数。$p = 5$ のとき最大。
【解法ステップ：(2) 利益最大化（$c(y) = y^2$）】
$y$ は正の整数なので $y = 2$（$w=12$）または $y = 3$（$w = 12$）でどちらも最大。
【解法ステップ：(3) 利益最大化（$c(y) = y^2 + 20y - 20$）】
$y \geq 1$ の整数なので、$y = 1$ のとき最大（$u = -2 - 10 + 20 = 8$）。
【藤原先生の解説】
この問題のポイントは 「$y$ が整数」という制約だよ。連続関数として微分で頂点を求めると $y = 5/2 = 2.5$ になるけど、整数なので $y=2$ と $y=3$ の両方を確認しないといけない。(3) では経費が急増するから、$y=1$ しか利益が出ないという面白い結果になるんだ。これ、まるでビジネスの世界と同じだよね！
この大問で身につく力： 離散的な整数最適化問題に対する二次関数の応用と場合分けの習慣。
大問4：2次方程式と複素数・領域（難易度★★★★☆）
【問題文】
実数 $\alpha, \beta$ に対して、2次方程式 $p^2 - \alpha p - \beta = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とする。
【解法ステップ：(1) 実数解の場合の領域】
解と係数の関係より：
$$\alpha + \beta = \alpha,\quad \alpha\beta = -\beta$$
$f(x) = x^2 - \alpha x - \beta$ とおく。$\alpha, \beta$ が実数で $|\alpha| < 1$, $|\beta| < 1$ となる条件は：
① 判別式 $D \geq 0$：$\alpha^2 + 4\beta \geq 0 \Rightarrow \beta \geq -\dfrac{1}{4}\alpha^2$
② 軸の範囲：$-1 < \dfrac{\alpha}{2} < 1 \Rightarrow -2 < \alpha < 2$
③ $f(-1) > 0$：$1 + \alpha - \beta > 0 \Rightarrow \beta < \alpha + 1$
④ $f(1) > 0$：$1 - \alpha - \beta > 0 \Rightarrow \beta < -\alpha + 1$
これら4条件の共通領域を $\alpha$-$\beta$ 平面上に図示する（放物線 $\beta = -\dfrac{1}{4}\alpha^2$ と直線 $\beta = \alpha+1$, $\beta = -\alpha+1$ で囲まれた領域、境界は放物線上の $-2 < \alpha < 2$ 部分のみ含む）。
【解法ステップ：(2) 虚数解のとき $|\alpha|$ を求める】
$\alpha$ が虚数のとき、実数係数の方程式より $\beta = \bar{\alpha}$。解と係数の関係：
また $\beta = \bar{\alpha}$ より $\alpha + \bar{\alpha} = \alpha$（$\alpha$ の実部の関係）を使うと：
よって $|\alpha| = \sqrt{-\beta}$
【解法ステップ：(3) 虚数解の場合の領域】
$\alpha$ が虚数（共役ペア）のとき $a^2 + 4\beta < 0$、かつ $|\alpha| < 1$ より $-\beta < 1$、$|\beta| = |\bar{\alpha}| = |\alpha| < 1$ より $-\beta < 1$：
会話③
🧑 生徒：「大問4(2) で $|\alpha|$ を求めるとき、解と係数の関係はどう使うんですか？」
👨🏫 藤原先生：「$p^2 - \alpha p - \beta = 0$ の2つの解が $\alpha$ と $\beta$ なんだから、解と係数の関係より $\alpha + \beta = \alpha$（和）、$\alpha \cdot \beta = -\beta$（積）が成り立つよ。$\alpha$ が虚数のとき実数係数だから $\beta = \bar{\alpha}$。積の式 $\alpha \bar{\alpha} = -\beta$ つまり $|\alpha|^2 = -\beta$ が導けて、$|\alpha| = \sqrt{-\beta}$ が答えになるんだ！」
この大問で身につく力： 解と係数の関係と複素数の絶対値の連携、領域の正確な図示能力。
大問5：リーグ戦の確率と比較論述（難易度★★★★☆）
【問題文】
4チームA・B・C・Dが総当たりリーグ戦。Aは確率 $p$（$0 A が2勝1敗の場合、A が優勝できないのは「負けた相手のチームが3勝（全勝）する場合」のみ。 A が B・C に勝ち D に負ける場合を例に：Dが全勝するにはD が B,C にも勝つ必要→確率 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$。 情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！ 数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！ 藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！【解法ステップ：(1) A が全勝して優勝】
【解法ステップ：(2) A が2勝1敗で優勝】
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