早稲田大学 2003年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾の藤原進之介です。

早稲田大学の2003年度入試数学。この年の問題は「スピード＋正確性」を試す良問揃いです。問題数が多く時間配分が勝負を左右する試験ですが、各問題の本質を理解していれば、確実に得点できる設計になっています。

この記事では、5つの大問すべてを「なぜそうなるのか」という根本的理解から解説します。丸暗記ではなく、本当の解法力を身につけていきましょう！

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早稲田大学の数学ってどんな試験？

試験形式の全体像

早稲田大学の入試数学は以下の特徴があります：

• 問題数：大問5問（2時間で解く）
• 難易度：標準～やや難（基礎がしっかりしていれば対応可能）
• 時間配分：1問あたり約24分（でも複雑な計算で時間不足になりやすい）
• 重要スキル：素早い見極め能力・計算効率・複数単元の融合理解

特徴を料理にたとえると

新調理人が「きれいな店舗＋材料の最高級化」に走るのに対し、一流の料亭は「素材の本質を引き出す調理技術」を磨きます。早稲田数学は後者です。

各問題は様々な単元（図形・確率・数列・三角関数など）から出題されますが、どれもが基本定理の応用です。焦らず、基本から積み重ねることが合格への最短ルートなんです。

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🧑 生徒：「問題が多いし、難しそうに見えます…」

👨‍🏫 藤原先生：「大丈夫！早稲田の問題は『複雑に見えるけど、基本の組み合わせ』なんだよ。たとえば料理で言えば、たくさんの材料を使ってても、塩・油・火加減の基本ができてれば作れるのと同じ。一つひとつ丁寧にほどいていけば、必ず道が見える。一緒にやっていこう！」

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📝 2003年度 全問題と解説

大問1：格子点の番号付けと数式処理

【問題文】

xy平面上の正の整数 $m, n$ を成分にもつ点 $(m, n)$ を格子点と呼ぶ。各格子点に次の規則で番号 $f(m, n)$ を付ける：

(i) $f(1,1) = 1$

(ii) $f(n,1) = f(1, n-1) + 1$ (n = 2,3,4, …)
$f(n-i, i+1) = f(n-i+1, i) + 1$ (i = 1,2, …, n-1; n ≥ 2)

このとき、$f(3, 2)$ を求めよ。また、$f(1, m)$ と $f(m, 1)$ を $m$ の式で表せ。さらに、$f(m, n) = 100$ となる格子点 $(m, n)$ について、$m + n$ の値と座標を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：規則から何が起きているかを理解する

この番号付けは対角線方向に進みながら、左下から右上へ移動する方式です。

$f(1,1) = 1$から始まって：
- $(1,1) \to (1,2) \to (2,1) \to (1,3) \to (2,2) \to (3,1) \to \ldots$

ステップ②：$f(3, 2)$ を計算する

規則から：
- $f(1,1) = 1$
- $f(2,1) = f(1,1) + 1 = 2$
- $f(1,2) = f(2,1) + 1 = 3$
- $f(3,1) = f(2,1) + 1 = 3$ （違う！再確認）

正確には $f(n,1)$ 列を考えると：
$$f(n,1) = f(1,n-1) + 1$$

これは第 $n$ 行の左端が、前の対角線の値に1を足したもの。計算すると：
$$f(3,2) = 8$$

ステップ③：$f(1, m)$ と $f(m, 1)$ の一般式

対角線ごとの番号付けパターンを分析すると：
- 第1対角線：$(1,1)$ → 1個の点
- 第2対角線：$(1,2), (2,1)$ → 2個の点
- 第3対角線：$(1,3), (2,2), (3,1)$ → 3個の点

第 $m$ 対角線の最後の点の番号は $\frac{m(m+1)}{2}$ です。

したがって：
$$f(1, m) = 1 + 2 + 3 + \ldots + m = \frac{m(m+1)}{2}$$

ステップ④：$f(m, n) = 100$ の点を探す

$m + n = k$ となる対角線上の点で $f(m, n) = 100$ なる点を探します。

第14対角線：$\frac{14 \times 15}{2} = 105$
第13対角線：$\frac{13 \times 14}{2} = 91$

したがって $m + n = 15$ で、$(m, n) = (6, 9)$ です。

【解説】

この問題はパターン認識と規則の一般化がキーです。格子点の番号付けは「斜め方向に進む」という視覚的な理解から始めることが重要。

多くの生徒が規則を見た瞬間に「複雑だ」と感じて投げ出してしまいますが、いくつかの点を実際に計算してみると、パターンが見えるんです。数学は「ルールを見抜く作業」。焦らずコツコツ計算してみましょう。

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大問2：三角関数と関数値の最大値

【問題文】

$0° ≤ θ < 360°$ のとき、関数

とおく。

(1) $x = \frac{1}{2}\sin^2θ + \sin θ + \frac{1}{2}$ とするとき、$x$ の動く範囲を求めよ。

(2) $y = |f(θ)|$ の最大値を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：$x$ の定義式を簡潔に書き直す

$\sin θ$ を $t$ とすると（$-1 ≤ t ≤ 1$）：
$$x = \frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t^2 + 2t + 1) = \frac{1}{2}(t+1)^2$$

ステップ②：$x$ の範囲を求める

$-1 ≤ t ≤ 1$ のとき：
- $t = -1$ で $x = 0$
- $t = 0$ で $x = \frac{1}{2}$
- $t = 1$ で $x = 2$

したがって $0 ≤ x ≤ 2$ ✓

ステップ③：$f(θ)$ を $x$ の関数で表す

$\cos 2θ = 1 - 2\sin^2 θ$ を利用：

$$\cos 2θ - 4\sin θ - 3 = 1 - 2\sin^2 θ - 4\sin θ - 3$$
$$= -2\sin^2 θ - 4\sin θ - 2 = -2\left(\sin^2 θ + 2\sin θ + 1\right)$$
$$= -2(\sin θ + 1)^2 = -4x$$

したがって：
$$f(θ) = x^3 - 4x = g(x)$$

ステップ④：$|g(x)|$ の最大値を求める（$0 ≤ x ≤ 2$）

$g(x) = x^3 - 4x$、$g'(x) = 3x^2 - 4$

$g'(x) = 0$ ⟹ $x = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} ≈ 1.15$

$x ∈ [0, 2]$ での $g(x)$ の値：
- $g(0) = 0$
- $g\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 4 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27} - \frac{8\sqrt{3}}{3} = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$
- $g(2) = 8 - 8 = 0$

最小値は $-\frac{16\sqrt{3}}{9}$ なので、$|g(x)|$ の最大値は $\frac{16\sqrt{3}}{9}$

【解説】

この問題の核は「置換による関数の簡約化」です。

$x = \frac{1}{2}\sin^2 θ + \sin θ + \frac{1}{2}$ という複雑な式を見た瞬間、「これは何かの二乗をバラしたものじゃないか？」と疑う癖をつけることです。実際、$\frac{1}{2}(t+1)^2$ という形に整理できました。

こういう「隠れた因数分解」を見抜くために、常に「完全平方式はないか？」と問いかけることが大切。参考書『青チャート』の因数分解セクションを何度も読み込むことをお勧めします。

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🧑 生徒：「$x = \frac{1}{2}(t+1)^2$ という形にどうやって気づくんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。$\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}$ を見たら、まず係数を確認する習慣をつけよう。$1^2 : 2 : 1$ の形ってわかる？これは完全平方$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$の形なんだ。$\frac{1}{2}$ でくくると $(t+1)^2$ が出てくる。パターン認識を磨くために、毎日数式を眺める練習をしよう！」

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大問3：確率の漸化式と特性方程式

【問題文】

次のルールでサイコロを繰り返し投げる：
- 5以上の目が続けて2回出たら、このサイコロ投げをやめる
- それ以外は続ける

$n$ 回目に5以上の目が出て、かつ$(n+1)$回目のサイコロ投げを続ける確率を $a_n$ とし、$n$ 回目に4以下の目が出て、$(n+1)$回目のサイコロ投げを行う確率を $b_n$ とおく。

漸化式を立てて、$a_n$ の一般項を求めよ。

【解法ポイント】

ステップ①：確率を整理する

• 5以上の目が出る確率：$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• 4以下の目が出る確率：$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

ステップ②：$a_1, b_1$ を求める

• $a_1$：1回目に5以上 ⟹ $a_1 = \frac{1}{3}$
• $b_1$：1回目に4以下 ⟹ $b_1 = \frac{2}{3}$

ステップ③：漸化式を立てる

$n+1$ 回目で「5以上の目が出て、まだ続く」ケース：
- $(n)$ で「4以下の目」→ $(n+1)$ で「5以上の目」：$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}$
- $(n)$ で「5以上の目＋続く」→ $(n+1)$ で「4以下の目」：$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}$

$$a_{n+

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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