和歌山大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾の藤原進之介です。

今回は、和歌山大学 2018年度の数学を徹底解説します。この記事を読み終わったときには、「あ、この問題ってこのテクニックを使うんだ！」という確信が持てるようになります。特にベクトルと数列の漸化式という、受験生がよく引っかかる2つの単元が出題されていますが、心配しないでください。一緒に丁寧に進めていきましょう！

和歌山大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度

和歌山大学の数学は、以下のような特徴があります：

• 出題形式：大問2問（全学部共通）
• 試験時間：おそらく90分程度
• 難易度：標準レベル（入試基礎が固まっていれば対応可能）
• 特徴：計算量は多いが、基礎的な公式・定理の正確な理解があれば解ける

難易度の感覚

和歌山大学の数学は、ちょうど「野球のバッティング練習」みたいなものです。突然の変化球（難問）は少なく、むしろ基本的な球（基礎的な計算・定理の活用）を正確に打ち返す能力が求められます。つまり、青チャート（チャート式 基礎からの数学） で扱うような標準的な問題を、確実に解く力があれば十分合格圏内に入ります。

🧑 生徒：「和歌山大学の数学は、どのレベルの難易度ですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「標準レベルだね。つまり、教科書の公式や定理を正確に理解・活用できれば大丈夫。難問奇問はほぼ出ないから、『基礎問題精講』や『フォーカスゴールド』で基礎をしっかり固めれば、この大学は十分狙える難易度だよ。」

📝 2018年度 全問題と解説

大問1 ベクトル｜空間内の点と平面

【問題文】

1辺の長さが1の正四面体OABCがある。線分OAを1:2に内分する点をD、線分OBを2:1に内分する点をE、線分OCの中点をFとする。また、線分EPを2:1に内分する点をPとし、3点A, B, Cが定める平面と直線DPの交点をQとする。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

(2) $\vec{OQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

(3) $|\vec{BQ}|$ を求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：まずはD, E, Fの位置ベクトルを内分点の公式で求める
• ステップ②：Pの位置ベクトルを求める（EFを2:1に内分）
• ステップ③：Q（直線DP上かつ平面ABC上）の条件を使って連立方程式を立てる
• ステップ④：正四面体の性質（$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}$）を使って計算

【解説】

（1）$\vec{OP}$ を求める

まず各点の位置ベクトルを整理します。

点Dの位置ベクトル：線分OAを1:2に内分するので、
$$\vec{OD} = \frac{2 \cdot \vec{O} + 1 \cdot \vec{A}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{a}$$

点Eの位置ベクトル：線分OBを2:1に内分するので、
$$\vec{OE} = \frac{1 \cdot \vec{O} + 2 \cdot \vec{B}}{2+1} = \frac{2}{3}\vec{b}$$

点Fの位置ベクトル：線分OCの中点なので、
$$\vec{OF} = \frac{1}{2}\vec{c}$$

次に、問題文の「線分EPを2:1に内分する点をP」という記述ですが、これは誤りで、おそらく「線分EFを2:1に内分する点をP」という意味です（ここは問題解釈上の確認が必要）。この仮定で進めます。

EFを2:1に内分する点Pは、
$$\vec{OP} = \frac{1 \cdot \vec{OE} + 2 \cdot \vec{OF}}{2+1} = \frac{\vec{OE} + 2\vec{OF}}{3}$$

（2）$\vec{OQ}$ を求める

Qは直線DP上の点なので、
$$\vec{OQ} = \vec{OD} + t(\vec{OP} - \vec{OD})$$
$$= \frac{1}{3}\vec{a} + t\left(\frac{2}{9}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}\right)$$
$$= \frac{1}{3}\vec{a}(1-t) + \frac{2t}{9}\vec{b} + \frac{t}{3}\vec{c}$$

また、Qは平面ABCに属するので、3点A, B, Cが定める平面上の点は、
$$\vec{OQ} = s\vec{a} + u\vec{b} + v\vec{c}$$
の形で表され、係数の和が1になります：
$$s + u + v = 1$$

したがって、
$$\frac{1-t}{3} + \frac{2t}{9} + \frac{t}{3} = 1$$

$$\frac{3(1-t) + 2t + 3t}{9} = 1$$
$$\frac{3 - 3t + 2t + 3t}{9} = 1$$
$$\frac{3 + 2t}{9} = 1$$
$$3 + 2t = 9$$
$$t = 3$$

よって、
$$\vec{OQ} = \frac{1-3}{3}\vec{a} + \frac{2 \cdot 3}{9}\vec{b} + \frac{3}{3}\vec{c}$$
$$= -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c}$$

🧑 生徒：「Q がなぜ係数の和が1になるんですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！3点A, B, C が定める平面上の任意の点は、アフィン座標で表されるんだ。つまり $\vec{OQ} = s\vec{OA} + u\vec{OB} + v\vec{OC}$ のとき、平面上にあるためには $s + u + v = 1$ という条件が必要なんだよ。これが平面の方程式を満たす条件になるんだ。」

（3）$|\vec{BQ}|$ を求める

$$\vec{BQ} = \vec{OQ} - \vec{OB} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c} - \vec{b}$$
$$= -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{c}$$

正四面体の性質より、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ で、
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos 60° = \frac{1}{2}$$

$$= \frac{4 + 1 + 9}{9} + \frac{2}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$$
$$= \frac{14}{9} + \frac{2}{9} - \frac{6}{9} + \frac{3}{9} = \frac{13}{9}$$

大問2 数列｜漸化式と対数

【問題文】

数列$\{a_n\}$は

を満たす。また、数列$\{b_n\}$を$b_n = \log_4 a_n$で定める。次の問いに答えよ。

(1) $b_{n+1}$を $b_n$を用いて表せ。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。

(3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

(4) $2.321 < \log_{10} 5 < 2.322$ を利用して、$a_n$が$10^{100}$以上となる最小のnを求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：対数の性質で漸化式を$b_n$で表す
• ステップ②：$\{b_n\}$が等差数列でないことに気づき、階差数列の方法で一般項を求める
• ステップ③：$a_n = 4^{b_n}$で$a_n$を求める
• ステップ④：対数と不等式を使って条件を満たす最小のnを求める

【解説】

（1）$b_{n+1}$を $b_n$ を用いて表す

与えられた条件：
$$\log_4 a_{n+1} + \log_4 a_n = n$$

$b_n = \log_4 a_n$ を代入すると、
$$b_{n+1} + b_n = n$$

（2）$\{b_n\}$の一般項を求める

漸化式 $b_{n+1} = n - b_n$ から：
- $b_1 = 2$
- $b_2 = 1 - b_1 = 1 - 2 = -1$
- $b_3 = 2 - b_2 = 2 - (-1) = 3$
- $b_4 = 3 - b_3 = 3 - 3 = 0$
- $b_5 = 4 - b_4 = 4 - 0 = 4$

奇数番号と偶数番号を分けると、

$n$が奇数の場合（$n = 2k-1$）：
$$b_{2k} = (2k-2) - b_{2k-1}$$

パターンを追うと、$b_{2k-1} = k$ となることがわかります。

$n$が偶数の場合（$n = 2k

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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