和歌山大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾の藤原進之介です。

今回は、和歌山大学の2015年度入試数学を徹底解説します。この大学の数学は「基礎力重視」の標準レベル。つまり、難しい技巧を使わなくても、しっかりした計算力と論理的思考があれば得点できる問題がほとんどです。

この記事を読めば、以下の3つが分かります：

✅ 和歌山大学の数学がどういう試験なのか
✅ 2015年度の全問題の具体的な解き方
✅ 確実に得点するための勉強法

大丈夫！一緒にやっていきましょう。

和歌山大学の数学ってどんな試験？

試験形式と難易度

和歌山大学の数学は以下の特徴があります：

大学の特徴：「スポーツの基本練習」みたいな数学

野球でいうなら、ホームランを狙う変な技巧を使わず、基本的なフォームで正確に打つという感じです。教育学部・経済学部・観光学部・システム工学部に分かれていて、学部によって解く問題が異なります（2015年度は大問1～4が共通など）。

ここで大切なのは：「難しい公式を知っていることより、基本公式を正確に使える力」です。

🧑 生徒：「和歌山大学ってどのレベルの問題が出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「標準レベルだね。例えば確率の問題なら余事象の性質や漸化式による確率を使うけど、これは高校の基本公式だよ。難しいのは『どの公式を使うか』を判断することだね。だからしっかり基礎をおさえておけば大丈夫だよ！」

📝 2015年度 問題全文と詳細解説

大問1：確率と漸化式（全学部共通）

【問題文】

$n$を1以上の整数とする。袋の中に、1の数字を書いたカードが1枚、2の数字を書いたカードが2枚、3の数字を書いたカードが3枚入っている。

この袋の中から、無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し、もとに戻すという試行を繰り返す。次の問いに答えよ。

(1) 積の割り切れ性

この試行を$n$回繰り返したとき、記録されたn個の数字すべての積を$R_n$とする。$R_n$が3で割り切れない確率と、$R_n$が6で割り切れる確率を$n$を用いて表せ。

(2) 和の偶奇性と漸化式

この試行を$n$回繰り返したとき、記録されたn個の数字の合計を$S_n$とし、$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする。$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し、数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ。

【解法ポイント】

(1) では：
- ステップ①：カードが出る確率を計算する
- ステップ②：「3で割り切れない」の条件を分析する
- ステップ③：余事象と包除原理を活用する

(2) では：
- ステップ①：$S_{n+1}$が偶数になる条件を場合分けする
- ステップ②：漸化式を立てる
- ステップ③：等比数列に変形して一般項を求める

【解説】

(1) $R_n$の割り切れ性

まず、カードを取り出す確率は：

$R_n$が3で割り切れない確率：

$R_n$が3で割り切れない ⟺ n回の試行で「3のカードが1度も出ない」

つまり、毎回「1または2」を引く必要があります。

$R_n$が6で割り切れる確率：

6で割り切れる ⟺ 2でも3でも割り切れる

これは「2と3が少なくとも1回は出現」という意味です。

ここで包除原理を使います：

• $P(R_n$が2で割り切れない$) = P(\text{毎回奇数})$

• 毎回「1または3」を引く = $\left(\frac{1}{6} + \frac{3}{6}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$

• $P(R_n$が6で割り切れない$) = P(\text{2が出ない かつ 3が出ない})$

• 毎回「1」を引く = $\left(\frac{1}{6}\right)^n$

したがって：

🧑 生徒：「なぜ包除原理を使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。『2で割り切れるAND 3で割り切れる』という『両方満たす』条件を求めるとき、直接数えるのは複雑だよ。だから『全体から邪魔なものを引く』という余事象を使うんだ。『6で割り切れない ⟹ 2で割り切れないOR 3で割り切れない』だから、重複を除くために+を使うってわけだね。」

(2) $S_n$の偶奇性と漸化式

$p_n = P(S_n \text{が偶数})$とします。

$S_{n+1}$が偶数になる条件は：

• Case 1： $S_n$が偶数 かつ $(n+1)$回目に偶数（2）を引く

• 確率 = $p_n \cdot \frac{1}{3}$

• Case 2： $S_n$が奇数 かつ $(n+1)$回目に奇数（1または3）を引く

• 確率 = $(1-p_n) \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = (1-p_n) \cdot \frac{2}{3}$

（ここで、奇数は「1」（確率$\frac{1}{6}$）と「3」（確率$\frac{1}{2}$）なので、合計$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$）

したがって漸化式は：

このタイプの漸化式を解くには、特性方程式を使って等比数列に変形します：

展開して係数を比較すると：

より $\frac{2}{3}\alpha = \frac{2}{3}$ ⟹ $\alpha = \frac{1}{2}$

したがって：

この数列 $\left\{p_n - \frac{1}{2}\right\}$ は、初項：

$p_1$は「1回の試行で$S_1$が偶数になる確率」= 「1回目に2を引く確率」 = $\frac{1}{3}$

でも待ってください！$S_1$は「記録された1つの数字」そのものです。だから：
- $P(S_1 = 1) = \frac{1}{6}$ （奇数）
- $P(S_1 = 2) = \frac{1}{3}$ （偶数）
- $P(S_1 = 3) = \frac{1}{2}$ （奇数）

よって $p_1 = P(S_1 \text{が偶数}) = \frac{1}{3}$

実は、初期条件をもう一度確認すると：$S_0 = 0$（偶数）なので $p_0 = 1$

そして $p_1 = -\frac{1}{3}(1) + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ✓

したがって：

答：

🧑 生徒：「漸化式を『等比数列の形』に変形する意味がわかりません。」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね。$p_{n+1} = ap_n + b$という形の漸化式は直接は解けないんだ。だから$p_n$から『定数をひいた形』にすることで、$q_n = p_n - \alpha$とおくと$q_{n+1} = aq_n$という『掛け算だけの等比数列』にするんだよ。料理でいえば、『複雑な材料を一度ほぐしてから混ぜる』みたいなイメージだね。」

大問2：三角関数の恒等式（全学部共通）

【問題文】

整数$a, b$は$0 \leq a \leq 3, 0 \leq b \leq 3$を満たし、

がすべての実数$x$について成り立っている。このような$(a, b)$の組をすべて求めよ。

【解法ポイント】

• ステップ①：積和公式で左辺を展開する
• ステップ②：恒等式の条件を整理する
• ステップ③：$a, b$の値を場合分けで求める

【解説】

恒等式はすべての$x$で成り立つということは、各項の係数が0になるということです。

積和公式を使いましょう：

ここで $A = bx + a\pi$, $B = bx$ とすると：

$\cos(a\pi) = (-1)^a$ なので：

$$2a \sin(bx + a\pi)\sin bx = a[(-1)^a - \cos(2bx + a\pi)]$$
$$= a(-1)^a - a\cos(2bx +

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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