明治大学 2022年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は明治大学 2022年度 数学の入試問題を徹底解説していきます。明治大学はMARCHの中でも特に人気が高く、数学の出題レベルも標準〜やや難の問題がバランスよく出題されます。この記事では、実際の入試問題をもとに、解法のポイントから別解、さらには類題演習まで網羅的に解説します。

明治大学合格を目指す受験生の皆さん、この記事を最後まで読んで、しっかりと対策を進めていきましょう！

試験概要・難易度

2022年度 明治大学 理工学部 数学 試験概要

2022年度の全体講評

2022年度の明治大学理工学部の数学は、例年通りの標準〜やや難レベルの出題でした。数学Ⅲからの出題が2問程度あり、微分・積分の計算力が問われる問題が中心となっています。

特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問：小問集合形式で、2次関数の解の配置、対数関数の微分・面積などが出題
• 第2問：三角形と面積に関する問題
• 第3問：数列・漸化式に関する問題
• 第4問：微分・積分の応用問題

全体として、チャート式（青）レベルの網羅的問題集をしっかりこなし、入試基礎〜入試標準レベルの演習を積んでおくことが重要です。90分という試験時間内にすべてを解ききるのは厳しいため、解ける問題から確実に得点する戦略が求められます。

目標得点ライン：合格を目指すなら70〜80点（約60〜65%）を確保したいところです。計算ミスを減らし、典型問題を確実に押さえることが合格への近道となります。

大問1：小問集合（2次関数・対数関数・面積）

問題

【第1問】次の問いに答えよ。

(1) 2次関数と解の配置

2次方程式 x² + ax + b = 0 の2つの解がともに1より大きく3より小さいとき、定数a, bの満たす条件を求めよ。

(2) 対数関数の微分

関数 f(x) = x log x（x > 0）について、f(x)の最小値を求めよ。

(3) 接線と面積

曲線 y = log x 上の点P(e, 1)における接線をℓとする。曲線 y = log x と接線ℓ、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 2次関数と解の配置

2次方程式の解の配置問題は、明治大学では頻出のテーマです。2つの解がともに区間(1, 3)に存在するための条件を、グラフを用いて視覚的に整理することが重要です。

【解法】

f(x) = x² + ax + b とおきます。2つの解α, βがともに1 < α < β < 3を満たすための条件は、以下の4つです：

1. 判別式 D ≥ 0（実数解を持つ）
2. f(1) > 0（x = 1より右側に解がある）
3. f(3) > 0（x = 3より左側に解がある）
4. 軸の位置：1 < -a/2 < 3（軸が区間内にある）

計算：

① D = a² - 4b ≥ 0 より b ≤ a²/4

② f(1) = 1 + a + b > 0 より b > -a - 1

③ f(3) = 9 + 3a + b > 0 より b > -3a - 9

④ 1 < -a/2 < 3 より -6 < a < -2

これら4つの条件をすべて満たす(a, b)の範囲が答えとなります。

【藤原先生のワンポイント】

解の配置問題は、「判別式」「端点の符号」「軸の位置」の3点セットで考えるのが基本です。必ず図を描いて視覚的に確認する習慣をつけましょう。また、条件式を連立して領域を図示する練習も重要です。

(2) 対数関数の微分と最小値

f(x) = x log x の最小値を求める問題です。これは数学Ⅲの基本的な微分の問題です。

【解法】

f(x) = x log x を微分します。

f'(x) = log x + x · (1/x) = log x + 1

f'(x) = 0 となるのは、log x + 1 = 0、すなわち log x = -1 のとき。

よって x = e⁻¹ = 1/e

増減表：

x = 1/e のとき、

f(1/e) = (1/e) · log(1/e) = (1/e) · (-1) = -1/e

答え：最小値は -1/e（x = 1/e のとき）

【藤原先生のワンポイント】

f(x) = x log x は非常に頻出の関数です。微分すると log x + 1 という形になることを覚えておきましょう。また、lim[x→+0] x log x = 0 となることも重要な性質です（ロピタルの定理で確認できます）。

(3) 接線と曲線で囲まれた面積

【解法】

まず、y = log x 上の点P(e, 1)における接線の式を求めます。

y = log x を微分すると y' = 1/x

x = e における傾きは 1/e

接線ℓの方程式：

y - 1 = (1/e)(x - e)

y = (1/e)x - 1 + 1 = (1/e)x

すなわち y = x/e

次に、囲まれた領域を特定します。

• 曲線 y = log x は x = 1 で y = 0（x軸と交わる）
• 接線 y = x/e は原点を通る

囲まれる領域は、x = 1 から x = e の範囲で、接線が上、曲線が下となる部分です。

面積S：

S = ∫₁ᵉ (x/e - log x) dx

各項を計算：

∫₁ᵉ (x/e) dx = (1/e) · [x²/2]₁ᵉ = (1/e) · (e²/2 - 1/2) = (e² - 1)/(2e)

∫₁ᵉ log x dx = [x log x - x]₁ᵉ = (e · 1 - e) - (1 · 0 - 1) = (e - e) - (-1) = 1

よって、

S = (e² - 1)/(2e) - 1 = (e² - 1 - 2e)/(2e) = (e² - 2e - 1)/(2e)

これをさらに整理すると、

S = (e - 1)²/(2e) - 2/e = (e² - 2e - 1)/(2e)

【藤原先生のワンポイント】

∫log x dx = x log x - x + C は必ず覚えておきましょう。部分積分で導出する方法と、公式として覚える方法の両方をマスターしておくと安心です。また、接線と曲線で囲まれた面積は、「接点を通る接線」の場合、(1/12)公式や(1/6)公式が使えないかチェックする習慣をつけましょう。

別解・発展

【(3)の別解：変曲点を利用した方法】

y = log x には変曲点がありませんが、対数関数の接線問題では、接点の座標を文字でおく一般化が有効な場合があります。

曲線 y = log x 上の点(t, log t)における接線は、

y = (1/t)(x - t) + log t = x/t - 1 + log t

この接線が点(0, a)を通るとき、接点のt座標を求める問題などに発展させることができます。明治大学では、このような「逆問題」も出題されることがあるので、練習しておきましょう。

大問2：三角形と面積

問題

【第2問】

△ABCにおいて、AB = c, BC = a, CA = b とする。辺BCを t : (1-t)（0 < t < 1）に内分する点をDとし、ADの長さをdとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) d² を a, b, c, t を用いて表せ。

(2) △ABCの面積Sをa, b, cを用いて表せ（ヘロンの公式を導出せよ）。

(3) t = 1/2のとき、中線ADの長さの2乗を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) d² の導出（スチュワートの定理）

この問題は、スチュワートの定理の導出に関連しています。ベクトルを用いた解法が最もスマートです。

【解法】

Aを始点として、位置ベクトルを設定します。

→AB = c⃗, →AC = b⃗ とおきます。

点Dは辺BCを t : (1-t) に内分するので、

→AD = (1-t)→AB + t→AC = (1-t)c⃗ + tb⃗

d² = |→AD|² を計算します。

d² = |(1-t)c⃗ + tb⃗|²

= (1-t)²|c⃗|² + 2t(1-t)(c⃗·b⃗) + t²|b⃗|²

= (1-t)²c² + 2t(1-t)(c⃗·b⃗) + t²b²

ここで、余弦定理より、

a² = b² + c² - 2bc cos A

c⃗·b⃗ = bc cos A = (b² + c² - a²)/2

これを代入して整理すると、

d² = (1-t)c² + tb² - t(1-t)a²

これがスチュワートの定理の一形式です。

(2) ヘロンの公式の導出

三角形ABCの面積Sを、3辺の長さa, b, cのみで表します。

【解法】

まず、cos A を余弦定理から求めます。

cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)

sin²A = 1 - cos²A を計算します。

sin²A = 1 - {(b² + c² - a²)/(2bc)}²

= {4b²c² - (b² + c² - a²)²}/(4b²c²)

分子を展開・整理します。

4b²c² - (b² + c² - a²)²

= {2bc + (b² + c² - a²)}{2bc - (b² + c² - a²)}

= {(b + c)² - a²}{a² - (b - c)²}

= (b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)

s = (a + b + c)/2 とおくと、

b + c - a = 2(s - a), a + b - c = 2(s - c), a - b + c = 2(s - b)

よって、

sin²A = {2s · 2(s-a) · 2(s-b) · 2(s-c)}/(4b²c²)

= {16s(s-a)(s-b)(s-c)}/(4b²c²)

sin A > 0 より、

sin A = {4√[s(s-a)(s-b)(s-c)]}/(2bc)

面積 S = (1/2)bc sin A より、

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]（ヘロンの公式）

(3) 中線の長さ（t = 1/2の場合）

t = 1/2 を(1)の結果に代入します。

d² = (1/2)c² + (1/2)b² - (1/2)(1/2)a²

= (1/2)(b² + c²) - (1/4)a²

= (2b² + 2c² - a²)/4

これが中線の長さの公式です。

3本の中線について、この公式を適用すると、

m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4

m_b² = (2c² + 2a² - b²)/4

m_c² = (2a² + 2b² - c²)/4

これらを足すと、

m_a² + m_b² + m_c² = (3/4)(a² + b² + c²)

という美しい関係式が得られます。

別解・発展

【座標を用いた別解】

A(0, 0), B(c, 0), C(b cos A, b sin A) と座標設定すると、

D = (1-t)B + tC = ((1-t)c + tb cos A, tb sin A)

d² = AD² を計算することで同じ結果が得られます。座標幾何が得意な人はこちらの方法も試してみてください。

【発展：角の二等分線への応用】

角Aの二等分線がBCと交わる点をEとすると、E はBCを b : c に内分します（角の二等分線の性質）。このとき t = c/(b+c) を代入することで、角の二等分線の長さも求められます。

大問3：数列と漸化式

問題

【第3問】

数列{aₙ}が次の漸化式で定義されている。

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ (n = 1, 2, 3, ...)

(1) bₙ = aₙ/3ⁿ とおくとき、{bₙ}の漸化式を求めよ。

(2) 一般項aₙを求めよ。

(3) Σ(k=1 to n) aₖ を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 変換による漸化式の単純化

aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ という漸化式は、「p^n型の特殊解を持つ」形式です。

【解法】

bₙ = aₙ/3ⁿ より aₙ = 3ⁿbₙ

元の漸化式に代入：

3ⁿ⁺¹bₙ₊₁ = 2 · 3ⁿbₙ + 3ⁿ

両辺を3ⁿで割る：

3bₙ₊₁ = 2bₙ + 1

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3

(2) 一般項の導出

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3 は等比型の漸化式です。

特性方程式 x = (2/3)x + 1/3 を解くと x = 1

よって bₙ₊₁ - 1 = (2/3)(bₙ - 1)

cₙ = bₙ - 1 とおくと、cₙ₊₁ = (2/3)cₙ

c₁ = b₁ - 1 = a₁/3 - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

よって cₙ = (-2/3)(2/3)ⁿ⁻¹ = -2 · 2ⁿ⁻¹/3ⁿ = -2ⁿ/3ⁿ

bₙ = cₙ + 1 = 1 - (2/3)ⁿ = (3ⁿ - 2ⁿ)/3ⁿ

したがって、

aₙ = 3ⁿbₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

検算：

a₁ = 3 - 2 = 1 ✓

a₂ = 2a₁ + 3 = 2 + 3 = 5, また 3² - 2² = 9 - 4 = 5 ✓

(3) 和の計算

Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ = Σ(k=1 to n)(3ᵏ - 2ᵏ)

= Σ(k=1 to n)3ᵏ - Σ(k=1 to n)2ᵏ

= 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) - 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - 2ⁿ⁺¹ + 2

= (3ⁿ⁺¹ - 3 - 2ⁿ⁺² + 4)/2

= (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解：直接的なアプローチ】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ に対して、特殊解を aₙ = α·3ⁿ の形で探します。

代入すると：

α·3ⁿ⁺¹ = 2α·3ⁿ + 3ⁿ

3α = 2α + 1

α = 1

よって特殊解は 3ⁿ。

一般解は aₙ - 3ⁿ = c·2ⁿ の形。

n = 1：a₁ - 3 = c·2 より 1 - 3 = 2c、c = -1

したがって aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【発展：極限への応用】

aₙ/3ⁿ = 1 - (2/3)ⁿ → 1（n → ∞）

これは「aₙ が 3ⁿ に漸近的に等しい」ことを意味します。このような極限の問題も出題される可能性があります。

大問4：微分・積分の応用（対数関数と回転体）

問題

【第4問】

関数 f(x) = (log x)²/x（x > 0）について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) の変曲点の座標を求めよ。

(3) 1 ≤ x ≤ e の範囲で、曲線 y = f(x) とx軸で囲まれた部分をx軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 増減と極値

【解法】

f(x) = (log x)²/x = (log x)² · x⁻¹

商の微分法則を適用：

f'(x) = {2(log x) · (1/x) · x - (log x)² · 1}/x²

= {2 log x - (log x

= {2 log x - (log x)²}/x²

= {log x (2 - log x)}/x²

f'(x) = 0 となるのは、log x = 0 または log x = 2 のとき。

すなわち x = 1 または x = e²

増減表：

極値：

• x = 1 で極小値：f(1) = (log 1)²/1 = 0
• x = e² で極大値：f(e²) = (log e²)²/e² = 4/e² = 4/e²

(2) 変曲点の座標

変曲点を求めるには、f''(x) = 0 となる点を探します。

【解法】

f'(x) = {log x (2 - log x)}/x² = (2 log x - (log x)²)/x²

f''(x) を計算します。u = 2 log x - (log x)², v = x² として商の微分法を適用：

u' = 2/x - 2(log x)/x = (2 - 2 log x)/x

v' = 2x

f''(x) = (u'v - uv')/v²

= {(2 - 2 log x)/x · x² - (2 log x - (log x)²) · 2x}/x⁴

= {x(2 - 2 log x) - 2x(2 log x - (log x)²)}/x⁴

= {2 - 2 log x - 4 log x + 2(log x)²}/x³

= {2(log x)² - 6 log x + 2}/x³

= {2((log x)² - 3 log x + 1)}/x³

f''(x) = 0 となるのは (log x)² - 3 log x + 1 = 0 のとき。

t = log x とおくと、t² - 3t + 1 = 0

t = (3 ± √5)/2

よって、

log x = (3 + √5)/2 または log x = (3 - √5)/2

変曲点のx座標：

x = e^{(3+√5)/2} または x = e^{(3-√5)/2}

変曲点の座標：

x = e^{(3-√5)/2} のとき、y = {(3-√5)/2}² / e^{(3-√5)/2}

（実際の答案では、具体的な数値計算まで求められないことが多いので、上記の形で答えれば十分です。）

(3) 回転体の体積

1 ≤ x ≤ e の範囲で、y = (log x)²/x をx軸の周りに回転させた体積を求めます。

【解法】

V = π∫₁ᵉ {f(x)}² dx = π∫₁ᵉ {(log x)²/x}² dx = π∫₁ᵉ (log x)⁴/x² dx

ここで置換積分を行います。t = log x とおくと、dt = dx/x

また x = eᵗ より dx = eᵗ dt、x² = e²ᵗ

積分区間：x = 1 のとき t = 0、x = e のとき t = 1

V = π∫₀¹ t⁴/e²ᵗ · eᵗ dt = π∫₀¹ t⁴ e⁻ᵗ dt

∫t⁴ e⁻ᵗ dt は部分積分を繰り返して計算します。

公式：∫tⁿ e⁻ᵗ dt の漸化式

Iₙ = ∫tⁿ e⁻ᵗ dt = -tⁿ e⁻ᵗ + n∫tⁿ⁻¹ e⁻ᵗ dt = -tⁿ e⁻ᵗ + nIₙ₋₁

I₀ = ∫e⁻ᵗ dt = -e⁻ᵗ

[I₀]₀¹ = -e⁻¹ - (-1) = 1 - 1/e

I₁ = [-te⁻ᵗ]₀¹ + [I₀]₀¹ = -e⁻¹ + (1 - 1/e) = 1 - 2/e

I₂ = [-t²e⁻ᵗ]₀¹ + 2I₁ = -e⁻¹ + 2(1 - 2/e) = 2 - 5/e

I₃ = [-t³e⁻ᵗ]₀¹ + 3I₂ = -e⁻¹ + 3(2 - 5/e) = 6 - 16/e

I₄ = [-t⁴e⁻ᵗ]₀¹ + 4I₃ = -e⁻¹ + 4(6 - 16/e) = 24 - 65/e

したがって、

V = π(24 - 65/e) = π(24e - 65)/e

別解・発展

【別解：定積分の公式を用いる方法】

∫₀^∞ tⁿ e⁻ᵗ dt = n!（ガンマ関数の性質）

ただし、積分区間が[0, 1]の場合は、不完全ガンマ関数となるため、上記の漸化式による計算が標準的です。

【発展：一般化】

∫(log x)ⁿ/xᵐ dx の形の積分は、t = log x と置換することで ∫tⁿ e⁽¹⁻ᵐ⁾ᵗ dt の形に帰着できます。この変換テクニックは、明治大学以外の大学でも頻出なので、しっかりマスターしておきましょう。

【藤原先生のワンポイント】

対数関数を含む積分では、t = log x の置換が非常に有効です。また、tⁿ e^(at) の積分は部分積分の繰り返しで計算できますが、漸化式を立てて計算する方法を覚えておくと、ミスを減らせます。

全学部統一入試 2022年度 出題内容

ここでは、理工学部以外を志望する方にも参考になるよう、2022年度 全学部統一入試の出題内容も紹介します。

第1問(1)：空間ベクトルと位置ベクトル

四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OC上にそれぞれ点P, Q, Rをとり、平面PQRに関する問題が出題されました。

ポイント：

• 位置ベクトルの基本的な扱い
• 3点が定める平面の方程式
• 直線と平面の交点の求め方

第1問(2)：対数方程式と対称式

log₂x + log₂y = 4, log₂x · log₂y = 3 を満たすx, yを求める問題です。

解法：

s = log₂x + log₂y = 4, p = log₂x · log₂y = 3 とおくと、

log₂x, log₂y は t² - 4t + 3 = 0 の解。

(t - 1)(t - 3) = 0 より t = 1, 3

よって (log₂x, log₂y) = (1, 3) または (3, 1)

(x, y) = (2, 8) または (8, 2)

第4問：サイコロと複素数の確率

サイコロを振って出た目に応じて複素数の値が決まる問題で、確率と複素数の融合問題が出題されました。

ポイント：

• 複素数の偏角と絶対値
• ド・モアブルの定理
• 場合分けによる確率計算

この年度の重要テーマと対策

2022年度の出題傾向分析

2022年度の明治大学数学を分析すると、以下のテーマが重要であることがわかります。

1. 微分・積分（数学Ⅲ）

明治大学理工学部では、数学Ⅲの微分・積分が2問程度出題されるのが例年のパターンです。特に以下の内容は必ず押さえておきましょう。

• 対数関数 log x を含む関数の微分・積分
• 増減表を書いて極値を求める問題
• 変曲点の計算（f''(x) = 0）
• 面積・体積の計算
• 置換積分（特に t = log x）
• 部分積分の反復

2. 2次関数と解の配置

解の配置問題は、明治大学の定番テーマです。以下の条件を瞬時に書き出せるようにしておきましょう。

• 判別式 D の条件
• 端点での関数値の符号条件
• 軸の位置条件

3. ベクトル

平面ベクトル・空間ベクトルともに出題されます。特に以下を重点的に練習しましょう。

• 位置ベクトルによる点の表示
• 内分点・外分点
• 面積・体積の計算
• 直線と平面の交点

4. 数列と漸化式

2022年度も漸化式の問題が出題されました。以下の漸化式のパターンは完璧にしておきましょう。

• 等差型・等比型
• aₙ₊₁ = paₙ + q 型（特性方程式）
• aₙ₊₁ = paₙ + f(n) 型
• 分数型漸化式
• 隣接3項間漸化式

5. 式と証明（恒等式・剰余の定理）

明治大学理工学部の特徴的な出題分野です。他のMARCH校と比べても出題頻度が高いので、しっかり対策しましょう。

• 恒等式の係数決定
• 剰余の定理・因数定理
• 解と係数の関係
• 相加平均・相乗平均の不等式

効果的な対策法

1. 基礎固め：チャート式（青）レベルの問題集を完璧に
2. 入試標準演習：「1対1対応の演習」や「標準問題精講」で実力アップ
3. 過去問演習：最低5年分は解いて出題傾向を把握
4. 時間配分の練習：90分で4問を解く練習を繰り返す
5. 計算力の強化：微分・積分の計算ミスを減らす訓練

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：2次関数と解の配置

【問題】

2次方程式 x² - 2ax + a + 2 = 0 の2つの解がともに正であるための、定数aの範囲を求めよ。

【解答・解説】

f(x) = x² - 2ax + a + 2 とおく。2つの解がともに正であるための条件は：

① 判別式 D ≥ 0

D/4 = a² - (a + 2) = a² - a - 2 = (a - 2)(a + 1) ≥ 0

よって a ≤ -1 または a ≥ 2

② f(0) > 0（x = 0より右側に解がある）

f(0) = a + 2 > 0 より a > -2

③ 軸 > 0（軸が正の位置にある）

軸 x = a > 0

①②③の共通範囲：

①より a ≤ -1 または a ≥ 2

②より a > -2

③より a > 0

これらを満たすのは a ≥ 2

練習問題2：対数関数の微分と面積

【問題】

曲線 y = x² log x（x > 0）について、以下の問いに答えよ。

(1) この曲線の極値を求めよ。

(2) 1 ≤ x ≤ e の範囲で、この曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解答・解説】

(1)

y = x² log x を微分：

y' = 2x log x + x² · (1/x) = 2x log x + x = x(2 log x + 1)

y' = 0 となるのは x = 0（定義域外）または 2 log x + 1 = 0 のとき。

log x = -1/2 より x = e^(-1/2) = 1/√e

増減を調べると、x = 1/√e で極小。

極小値 = (1/√e)² · log(1/√e) = (1/e) · (-1/2) = -1/(2e)

(2)

1 ≤ x ≤ e で y = x² log x ≥ 0（x ≥ 1 で log x ≥ 0 より）

S = ∫₁ᵉ x² log x dx

部分積分：∫x² log x dx = (x³/3) log x - ∫(x³/3) · (1/x) dx

= (x³/3) log x - (1/3)∫x² dx = (x³/3) log x - x³/9 + C

S = [(x³/3) log x - x³/9]₁ᵉ

= {(e³/3) · 1 - e³/9} - {0 - 1/9}

= e³/3 - e³/9 + 1/9

= 2e³/9 + 1/9 = (2e³ + 1)/9

練習問題3：漸化式と極限

【問題】

数列{aₙ}が a₁ = 2, aₙ₊₁ = (3aₙ + 1)/(aₙ + 3) で定義されている。

(1) bₙ = (aₙ - 1)/(aₙ + 1) とおくとき、bₙ₊₁ を bₙ を用いて表せ。

(2) 一般項 aₙ を求めよ。

(3) lim[n→∞] aₙ を求めよ。

【解答・解説】

(1)

aₙ₊₁ = (3aₙ + 1)/(aₙ + 3) を代入：

bₙ₊₁ = (aₙ₊₁ - 1)/(aₙ₊₁ + 1)

= {(3aₙ + 1)/(aₙ + 3) - 1}/{(3aₙ + 1)/(aₙ + 3) + 1}

= {(3aₙ + 1 - aₙ - 3)/(aₙ + 3)}/{(3aₙ + 1 + aₙ + 3)/(aₙ + 3)}

= (2aₙ - 2)/(4aₙ + 4) = 2(aₙ - 1)/{4(aₙ + 1)}

= (1/2) · (aₙ - 1)/(aₙ + 1) = (1/2)bₙ

(2)

bₙ₊₁ = (1/2)bₙ より、{bₙ}は公比1/2の等比数列。

b₁ = (a₁ - 1)/(a₁ + 1) = (2 - 1)/(2 + 1) = 1/3

bₙ = (1/3) · (1/2)ⁿ⁻¹ = 1/(3 · 2ⁿ⁻¹)

(aₙ - 1)/(aₙ + 1) = 1/(3 · 2ⁿ⁻¹) を aₙ について解く：

3 · 2ⁿ⁻¹(aₙ - 1) = aₙ + 1

3 · 2ⁿ⁻¹ · aₙ - aₙ = 1 + 3 · 2ⁿ⁻¹

aₙ(3 · 2ⁿ⁻¹ - 1) = 3 · 2ⁿ⁻¹ + 1

aₙ = (3 · 2ⁿ⁻¹ + 1)/(3 · 2ⁿ⁻¹ - 1)

(3)

lim[n→∞] aₙ = lim[n→∞] (3 · 2ⁿ⁻¹ + 1)/(3 · 2ⁿ⁻¹ - 1)

分子・分母を 3 · 2ⁿ⁻¹ で割ると：

= lim[n→∞] (1 + 1/(3 · 2ⁿ⁻¹))/(1 - 1/(3 · 2ⁿ⁻¹))

= (1 + 0)/(1 - 0) = 1

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