明治大学 2023年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、多くの受験生が目標とする明治大学の2023年度 数学入試問題を徹底解説していきます。MARCHの中でも特に人気の高い明治大学ですが、数学の攻略法をしっかり押さえれば、合格は決して遠い目標ではありません。

この記事では、2023年度の全学部統一入試および学部別入試の数学問題を詳しく分析し、ステップバイステップの解説から別解・発展的な考え方まで、余すところなくお伝えします。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

全学部統一入試（文系数学）

理工学部・学部別入試（理系数学）

2023年度 全体講評

2023年度の明治大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。特に以下の特徴が見られました：

• 計算量が多い：時間配分を誤ると最後まで解ききれない
• 典型問題の出題：教科書や標準的な問題集をしっかり学習していれば対応可能
• 微分積分からの出題が必出：特に面積計算は毎年出題される
• 場合の数・確率：農学部を中心にほぼ確実に出題
• 数列・ベクトル：数学Bの定番分野も頻出

目標得点率は70%以上を設定して学習を進めましょう。合格最低点を考慮すると、数学で8割程度の得点を確保できれば、他科目の負担を軽減できます。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】平方完成から始めよう

まず、二次関数を標準形に変形します。これは二次関数問題の基本中の基本です。

f(x) = x² - 2ax + a + 2
     = (x - a)² - a² + a + 2

頂点は (a, -a² + a + 2) であることがわかります。

【STEP 2】(1)の解答

f(x) は x = a で最小値をとり、その最小値は：

f(a) = -a² + a + 2 = -(a - 1/2)² + 9/4

答：-a² + a + 2

【STEP 3】(2)最大値 M(a) の場合分け

区間 [0, 2] での最大値は、軸 x = a の位置によって場合分けが必要です。

◆ 場合1：a < 1 のとき
軸が区間の中央より左にあるため、x = 2 で最大となります。

M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a

◆ 場合2：a ≥ 1 のとき
軸が区間の中央または右にあるため、x = 0 で最大となります。

M(a) = f(0) = a + 2

答：M(a) = { 6 - 3a （a < 1）、a + 2 （a ≥ 1）}

【STEP 4】(3)最小値 m(a) の場合分け

最小値の場合分けは、軸が区間内にあるかどうかで決まります。

◆ 場合1：a < 0 のとき
軸が区間の左側にあるため、x = 0 で最小となります。

m(a) = f(0) = a + 2

◆ 場合2：0 ≤ a ≤ 2 のとき
軸が区間内にあるため、頂点で最小となります。

m(a) = -a² + a + 2

◆ 場合3：a > 2 のとき
軸が区間の右側にあるため、x = 2 で最小となります。

m(a) = f(2) = 6 - 3a

【STEP 5】(4)M(a) - m(a) の最小値

場合分けを組み合わせて、各領域で M(a) - m(a) を計算し、最小値を求めます。

◆ 0 ≤ a < 1 の場合：

M(a) - m(a) = (6 - 3a) - (-a² + a + 2) = a² - 4a + 4 = (a - 2)²

この区間では a = 1 に近づくとき最小で、値は 1 に近づきます。

◆ 1 ≤ a ≤ 2 の場合：

M(a) - m(a) = (a + 2) - (-a² + a + 2) = a²

この区間では a = 1 で最小値 1 をとります。

答：M(a) - m(a) の最小値は 1（a = 1 のとき）

別解・発展

【グラフを活用した直感的理解】

この問題では、二次関数のグラフを実際に描いて、軸の位置と区間の関係を視覚的に把握することが重要です。場合分けの境界となる点を明確にし、それぞれの領域でグラフがどのような形になるかをイメージしましょう。

【発展】パラメータを含む最大・最小問題の一般化

二次関数 f(x) = (x - p)² + q の区間 [α, β] における最大・最小は、以下のパターンに分類できます：

• 軸 x = p が区間の左外：右端で最大、左端で最小
• 軸 x = p が区間内の左半分：右端で最大、頂点で最小
• 軸 x = p が区間内の右半分：左端で最大、頂点で最小
• 軸 x = p が区間の右外：左端で最大、右端で最小

このパターンを覚えておくと、場合分けをスムーズに行えます。

大問2：場合の数と確率

問題

解説・解法のポイント

【基本事項の確認】

サイコロを3回振るときの全事象は 6³ = 216 通り です。

【STEP 1】(1) a + b + c = 10 となる確率

1 ≤ a, b, c ≤ 6 で a + b + c = 10 を満たす組み合わせを数え上げます。

系統的に列挙しましょう：

(1, 3, 6): 3! = 6 通り
(1, 4, 5): 3! = 6 通り
(2, 2, 6): 3!/2! = 3 通り
(2, 3, 5): 3! = 6 通り
(2, 4, 4): 3!/2! = 3 通り
(3, 3, 4): 3!/2! = 3 通り

合計: 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 通り

答：27/216 = 1/8

【STEP 2】(2) abc が3の倍数となる確率

余事象を考えます。abc が3の倍数でない場合は、a, b, c のいずれも3の倍数でない場合です。

1〜6のうち、3の倍数でない数は 1, 2, 4, 5 の4個です。

P(abcが3の倍数でない) = (4/6)³ = 64/216 = 8/27

P(abcが3の倍数) = 1 - 8/27 = 19/27

答：19/27

【STEP 3】(3) a ≤ b ≤ c となる確率

この問題は、重複を考慮した組み合わせの問題です。

a, b, c の「組」を考えると、順序付きの組 (a, b, c) と順序なしの組 {a, b, c} の対応を考えます。

◆ 3つとも異なる場合：
{a, b, c} に対して 3! = 6 通りの順序があり、そのうち1通りが a ≤ b ≤ c

◆ 2つが同じ場合：
{a, a, b} に対して 3!/2! = 3 通りの順序があり、そのうち1通りが a ≤ b ≤ c

◆ 3つとも同じ場合：
{a, a, a} に対して 1 通りの順序で、それが a ≤ b ≤ c

1〜6から重複を許して3個選ぶ組み合わせは ₆H₃ = ₈C₃ = 56 通り

しかし、各組からの順序付けの仕方が異なるため、直接計算します：

3つとも異なる組: ₆C₃ = 20 組 → 20 通り（a < b < c となる順序）
2つが同じ組: ₆C₁ × ₅C₁ = 30 組 → 30 通り（等号を含む順序）
3つとも同じ組: ₆C₁ = 6 組 → 6 通り

合計: 20 + 30 + 6 = 56 通り

答：56/216 = 7/27

【STEP 4】(4) a, b, c の最大値が4となる確率

最大値がちょうど4ということは：

• a, b, c の少なくとも1つは4である
• a, b, c のすべてが4以下である

P(最大値が4以下) = (4/6)³ = 64/216
P(最大値が3以下) = (3/6)³ = 27/216

P(最大値がちょうど4) = 64/216 - 27/216 = 37/216

答：37/216

別解・発展

【(1)の別解：生成関数】

生成関数を用いると、和が一定値になる組み合わせを系統的に求められます。

(x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)³ の x¹⁰ の係数を求める
= x³(1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵)³ の x¹⁰ の係数
= (1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵)³ の x⁷ の係数

これを展開すると、x⁷ の係数は 27 となります。

【発展】条件付き確率への応用

「a + b + c = 10 のとき、abc が3の倍数である確率」のような条件付き確率の問題も、同様の手法で解くことができます。まず a + b + c = 10 を満たす27通りを全て列挙し、そのうち abc が3の倍数であるものを数えます。

大問3：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】漸化式の形を分析する

この漸化式は aₙ₊₁ = paₙ + f(n) の形で、f(n) = 2ⁿ は指数関数です。

このタイプの漸化式は、特殊解を見つけて、同次漸化式に帰着させる方法が有効です。

【STEP 2】特殊解を推測する

aₙ = α・2ⁿ の形の特殊解があると仮定します。

α・2ⁿ⁺¹ = 3・α・2ⁿ + 2ⁿ
2α・2ⁿ = 3α・2ⁿ + 2ⁿ
2α = 3α + 1
-α = 1
α = -1

よって、特殊解は aₙ = -2ⁿ です。

【STEP 3】変数変換で同次化する

bₙ = aₙ + 2ⁿ とおくと：

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + 2ⁿ⁺¹
     = (3aₙ + 2ⁿ) + 2ⁿ⁺¹
     = 3aₙ + 2ⁿ + 2・2ⁿ
     = 3aₙ + 3・2ⁿ
     = 3(aₙ + 2ⁿ)
     = 3bₙ

これで等比数列の漸化式 bₙ₊₁ = 3bₙ が得られました。

【STEP 4】一般項を求める

b₁ = a₁ + 2¹ = 1 + 2 = 3

bₙ = 3・3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ

よって、aₙ = bₙ - 2ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ

答：aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【STEP 5】Sₙ を求める

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ - 2ᵏ)
   = Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ - Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ
   = (3 + 3² + ... + 3ⁿ) - (2 + 2² + ... + 2ⁿ)
   = 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) - 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
   = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)
   = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - 2ⁿ⁺¹ + 2
   = (3ⁿ⁺¹ - 3 - 2ⁿ⁺² + 4)/2
   = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

答：Sₙ = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解】両辺を 3ⁿ⁺¹ で割る方法

aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹ = aₙ/3ⁿ + 2ⁿ/3ⁿ⁺¹ = aₙ/3ⁿ + (2/3)ⁿ・(1/3)

cₙ = aₙ/3ⁿ とおくと：
cₙ₊₁ = cₙ + (1/3)(2/3)ⁿ

これは階差数列の形になります。

【発展】数学的帰納法による検証

求めた一般項 aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ が正しいことを数学的帰納法で確認することも重要です。

(i) n = 1 のとき：a₁ = 3¹ - 2¹ = 1 ✓

(ii) n = k で成り立つと仮定すると：
aₖ₊₁ = 3aₖ + 2ᵏ = 3(3ᵏ - 2ᵏ) + 2ᵏ = 3ᵏ⁺¹ - 3・2ᵏ + 2ᵏ = 3ᵏ⁺¹ - 2・2ᵏ = 3ᵏ⁺¹ - 2ᵏ⁺¹ ✓

大問4：微分法と面積

問題

解説・解法のポイント

【STEP 1】(1) 極値を求める

まず f(x) を微分します。

f(x) = x³ - 3x² + 2x
f'(x) = 3x² - 6x + 2

f'(x) = 0 を解きます。

3x² - 6x + 2 = 0
x = (6 ± √(36 - 24))/6 = (6 ± √12)/6 = (6 ± 2√3)/6はい、続けて記事を完成させます。

---

x = (6 ± 2√3)/6 = (3 ± √3)/3 = 1 ± √3/3

増減表を作成します：


x
...
1 - √3/3
...
1 + √3/3
...


f'(x)
+
0
−
0
+


f(x)
↗
極大
↘
極小
↗


極値を計算します。計算を簡略化するため、α = 1 - √3/3, β = 1 + √3/3 とおきます。
f(x) = x³ - 3x² + 2x = x(x² - 3x + 2) = x(x - 1)(x - 2)

【極大値】x = 1 - √3/3 のとき
f(1 - √3/3) を計算します。

α = 1 - √3/3 = (3 - √3)/3 とすると、
α - 1 = -√3/3, α - 2 = -1 - √3/3 = -(3 + √3)/3

f(α) = α(α - 1)(α - 2)
     = (3 - √3)/3 × (-√3/3) × (-(3 + √3)/3)
     = (3 - √3)/3 × √3/3 × (3 + √3)/3
     = √3(3 - √3)(3 + √3)/27
     = √3(9 - 3)/27
     = √3 × 6/27
     = 6√3/27 = 2√3/9

極大値：2√3/9（x = 1 - √3/3 のとき）
【極小値】x = 1 + √3/3 のとき
β = 1 + √3/3 = (3 + √3)/3 とすると、
β - 1 = √3/3, β - 2 = -1 + √3/3 = -(3 - √3)/3

f(β) = β(β - 1)(β - 2)
     = (3 + √3)/3 × √3/3 × (-(3 - √3)/3)
     = -(3 + √3) × √3 × (3 - √3)/27
     = -√3(9 - 3)/27
     = -6√3/27 = -2√3/9

極小値：-2√3/9（x = 1 + √3/3 のとき）
【STEP 2】(2) 曲線と x 軸で囲まれた面積
まず、f(x) = 0 となる x を求めます。
f(x) = x(x - 1)(x - 2) = 0
x = 0, 1, 2

グラフの概形から：

0 ≤ x ≤ 1 では f(x) ≥ 0（x軸より上）
1 ≤ x ≤ 2 では f(x) ≤ 0（x軸より下）

S = ∫₀¹ f(x)dx + |∫₁² f(x)dx|
  = ∫₀¹ (x³ - 3x² + 2x)dx - ∫₁² (x³ - 3x² + 2x)dx

積分を計算します。
∫(x³ - 3x² + 2x)dx = x⁴/4 - x³ + x²

∫₀¹ f(x)dx = [x⁴/4 - x³ + x²]₀¹
           = (1/4 - 1 + 1) - 0
           = 1/4

∫₁² f(x)dx = [x⁴/4 - x³ + x²]₁²
           = (16/4 - 8 + 4) - (1/4 - 1 + 1)
           = (4 - 8 + 4) - 1/4
           = 0 - 1/4
           = -1/4

S = 1/4 + |-1/4| = 1/4 + 1/4 = 1/2

答：S = 1/2
【STEP 3】(3) 原点からの接線
曲線 y = f(x) 上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求めます。
f'(t) = 3t² - 6t + 2

接線の方程式：
y - f(t) = f'(t)(x - t)
y - (t³ - 3t² + 2t) = (3t² - 6t + 2)(x - t)

この接線が原点 (0, 0) を通る条件を求めます。
0 - (t³ - 3t² + 2t) = (3t² - 6t + 2)(0 - t)
-(t³ - 3t² + 2t) = -t(3t² - 6t + 2)
-t³ + 3t² - 2t = -3t³ + 6t² - 2t
-t³ + 3t² - 2t + 3t³ - 6t² + 2t = 0
2t³ - 3t² = 0
t²(2t - 3) = 0
t = 0 または t = 3/2

それぞれの接線の傾きを確認します：
t = 0 のとき：f'(0) = 2 > 0（正）
t = 3/2 のとき：f'(3/2) = 3(9/4) - 6(3/2) + 2 = 27/4 - 9 + 2 = 27/4 - 7 = -1/4 < 0（負）

傾きが正である接線は t = 0 のときです。
t = 0 のとき：
接点は (0, 0)、傾きは 2
接線の方程式：y = 2x

答：y = 2x
別解・発展
【(2)の別解：1/12公式の活用】
3次関数と x 軸で囲まれた面積には、便利な公式があります。
f(x) = a(x - α)(x - β)(x - γ)（α < β < γ）のとき、

区間 [α, β] の面積 = |a|/12 × (β - α)⁴ × 補正係数

ただし、今回は f(x) = x(x-1)(x-2) = 1・x(x-1)(x-2) で、区間 [0,1] と [1,2] でそれぞれ計算します。
実は、3次関数 y = (x - α)(x - β) と x 軸で囲まれた面積の公式として：
S = |∫ₐᵇ a(x - α)(x - β)dx| = |a|/6 × (β - α)³

が知られていますが、今回は3次関数なので、地道に積分するのが確実です。
【発展】接線と曲線で囲まれた面積
原点を通る接線 y = 2x と曲線 y = f(x) で囲まれた面積を求める問題も発展として考えられます。
f(x) - 2x = x³ - 3x² + 2x - 2x = x³ - 3x² = x²(x - 3)

曲線と接線の交点：x = 0, 3

面積 = |∫₀³ (x³ - 3x²)dx|
     = |[x⁴/4 - x³]₀³|
     = |81/4 - 27|
     = |81/4 - 108/4|
     = |-27/4|
     = 27/4

大問5：ベクトルと空間図形（理工学部）
問題

【問題】
四面体 OABC において、OA = a, OB = b, OC = c とする。|a| = 2, |b| = 3, |c| = 4, a・b = 3, b・c = 6, c・a = 4 とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 辺 AB の長さを求めよ。
(2) △OAB の面積を求めよ。
(3) 点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とするとき、OH をa, b, c を用いて表せ。
(4) 四面体 OABC の体積を求めよ。

解説・解法のポイント
【STEP 1】(1) 辺 AB の長さ
AB = b - a

|AB|² = |b - a|²
      = |b|² - 2a・b + |a|²
      = 9 - 2(3) + 4
      = 9 - 6 + 4
      = 7

|AB| = √7

答：AB = √7
【STEP 2】(2) △OAB の面積
公式 S = (1/2)√(|a|²|b|² - (a・b)²) を使います。
S = (1/2)√(|a|²|b|² - (a・b)²)
  = (1/2)√(4 × 9 - 9)
  = (1/2)√(36 - 9)
  = (1/2)√27
  = (1/2) × 3√3
  = 3√3/2

答：△OAB の面積 = 3√3/2
【STEP 3】(3) 垂線の足 H の位置ベクトル
H は平面 ABC 上にあるので、実数 s, t, u を用いて
OH = sa + tb + uc（ただし s + t + u = 1）

と表せます。また、OH ⊥ AB かつ OH ⊥ AC より：
OH・AB = 0 かつ OH・AC = 0

AB = b - a, AC = c - a

【条件1】OH・AB = 0
(sa + tb + uc)・(b - a) = 0
s(a・b - |a|²) + t(|b|² - a・b) + u(c・b - c・a) = 0
s(3 - 4) + t(9 - 3) + u(6 - 4) = 0
-s + 6t + 2u = 0 ... ①

【条件2】OH・AC = 0
(sa + tb + uc)・(c - a) = 0
s(a・c - |a|²) + t(b・c - a・b) + u(|c|² - a・c) = 0
s(4 - 4) + t(6 - 3) + u(16 - 4) = 0
0 + 3t + 12u = 0
t + 4u = 0
t = -4u ... ②

【条件3】s + t + u = 1 ... ③

②を①に代入：
-s + 6(-4u) + 2u = 0
-s - 24u + 2u = 0
-s - 22u = 0
s = -22u ... ④

④と②を③に代入：
-22u + (-4u) + u = 1
-25u = 1
u = -1/25

よって：
u = -1/25
t = -4u = 4/25
s = -22u = 22/25

検算：s + t + u = 22/25 + 4/25 - 1/25 = 25/25 = 1 ✓

答：OH = (22/25)a + (4/25)b - (1/25)c
【STEP 4】(4) 四面体の体積
体積 V = (1/3) × △ABC の面積 × OH の長さ で求めることもできますが、スカラー三重積を使う方法が効率的です。
V = (1/6)|a・(b × c)|

a・(b × c) の値を求めるため、グラム行列式を計算します。

|a・(b × c)|² = det | |a|²  a・b  a・c |
                   | a・b  |b|²  b・c |
                   | a・c  b・c  |c|² |

               = det | 4   3   4 |
                    | 3   9   6 |
                    | 4   6  16 |

= 4(9×16 - 6×6) - 3(3×16 - 6×4) + 4(3×6 - 9×4)
= 4(144 - 36) - 3(48 - 24) + 4(18 - 36)
= 4(108) - 3(24) + 4(-18)
= 432 - 72 - 72
= 288

|a・(b × c)| = √288 = √(144 × 2) = 12√2

V = (1/6) × 12√2 = 2√2

答：V = 2√2
別解・発展
【(4)の別解】底面積と高さから求める方法
(3)で求めた OH の長さを計算し、△ABC の面積と合わせて体積を求めることもできます。
|OH|² = (22/25)²|a|² + (4/25)²|b|² + (1/25)²|c|²
       + 2(22/25)(4/25)(a・b) + 2(4/25)(-1/25)(b・c) + 2(-1/25)(22/25)(c・a)
       
= (484/625)(4) + (16/625)(9) + (1/625)(16)
  + 2(88/625)(3) + 2(-4/625)(6) + 2(-22/625)(4)
  
= 1936/625 + 144/625 + 16/625 + 528/625 - 48/625 - 176/625
= (1936 + 144 + 16 + 528 - 48 - 176)/625
= 2400/625
= 96/25

|OH| = √(96/25) = 4√6/5

【発展】外接球の半径
四面体の外接球の半径を求める問題も、ベクトルを用いて解くことができます。外心の位置ベクトルを設定し、各頂点からの距離が等しいという条件から連立方程式を立てます。
大問6：整数の性質（農学部・商学部）
問題

【問題】
n を正の整数とする。
(1) n² + 3n + 5 が偶数となる n の条件を求めよ。
(2) n³ - n が 6 の倍数となることを示せ。
(3) 10ⁿ を 7 で割った余りを n を用いて表せ。

解説・解法のポイント
【STEP 1】(1) n² + 3n + 5 が偶数となる条件
n が偶数のとき（n = 2k とおく）：
n² + 3n + 5 = 4k² + 6k + 5 = 2(2k² + 3k + 2) + 1

これは奇数なので、偶数にならない。

n が奇数のとき（n = 2k + 1 とおく）：
n² + 3n + 5 = (2k+1)² + 3(2k+1) + 5
            = 4k² + 4k + 1 + 6k + 3 + 5
            = 4k² + 10k + 9
            = 2(2k² + 5k + 4) + 1

これも奇数なので、偶数にならない。

答：n² + 3n + 5 はすべての正の整数 n に対して奇数となり、偶数となる n は存在しない
【別解】
n² + 3n + 5 = n(n + 3) + 5

n と n + 3 は偶奇が一致するので：
- n が偶数 → n(n+3) は偶数 → n(n+3) + 5 は奇数
- n が奇数 → n(n+3) は奇数 → n(n+3) + 5 は偶数？

いや、n が奇数のとき n + 3 は偶数なので n(n+3) は偶数。
よって n(n+3) + 5 は奇数。

結局、どちらの場合も奇数となる。

【STEP 2】(2) n³ - n が 6 の倍数であることの証明
n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)

これは連続する3つの整数の積です。

【2の倍数であること】
連続する3つの整数には少なくとも1つの偶数が含まれるので、2の倍数。

【3の倍数であること】
連続する3つの整数には必ず3の倍数が1つ含まれるので、3の倍数。

2と3は互いに素なので、(n-1)n(n+1) は 6 の倍数である。

【STEP 3】(3) 10ⁿ を 7 で割った余り
10 ≡ 3 (mod 7) なので、10ⁿ ≡ 3ⁿ (mod 7)
3ⁿ を 7 で割った余りの周期を調べます：
3¹ ≡ 3 (mod 7)
3² ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
3³ ≡ 6 (mod 7)
3⁴ ≡ 18 ≡ 4 (mod 7)
3⁵ ≡ 12 ≡ 5 (mod 7)
3⁶ ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)
3⁷ ≡ 3 (mod 7)

周期は 6 です。

よって、n を 6 で割った余りを r（0 ≤ r ≤ 5）とすると：
r = 0 (n ≡ 0 mod 6) のとき：余り 1
r = 1 (n ≡ 1 mod 6) のとき：余り 3
r = 2 (n ≡ 2 mod 6) のとき：余り 2
r = 3 (n ≡ 3 mod 6) のとき：余り 6
r = 4 (n ≡ 4 mod 6) のとき：余り 4
r = 5 (n ≡ 5 mod 6) のとき：余り 5

答：n を 6 で割った余りが 0, 1, 2, 3, 4, 5 のとき、それぞれ 1, 3, 2, 6, 4, 5
別解・発展
【フェルマーの小定理の活用】
7 は素数なので、フェルマーの小定理より：
3⁶ ≡ 1 (mod 7)（3 と 7 は互いに素）

これより、3ⁿ の周期が 6 の約数であることがわかります。

この年度の重要テーマと対策
2023年度の出題傾向まとめ


分野
出題頻度
難易度
対策の優先度


二次関数（最大・最小）
★★★★★
標準
最優先


場合の数・確率
★★★★★
標準〜やや難
最優先


数列・漸化式
★★★★☆
標準
高


微分法・積分法
★★★★★
標準
最優先


ベクトル
★★★★☆
標準〜やや難
高


整数の性質
★★★☆☆
標準
中


三角関数
★★★☆☆
標準
中


指数・対数関数
★★★☆☆
標準
中


効果的な学習戦略
【1. 計算力の強化が最重要】
明治大学の数学は、問題自体の難易度よりも計算量の多さが特徴です。途中で計算ミスをすると、その後の設問にも影響が出てしまいます。

日頃から計算練習を欠かさない
検算の習慣をつける
『合格る計算』シリーズなどで計算テクニックを磨く

【2. 典型問題の完全習得】
明治大学の問題は、典型的なパターンの組み合わせで構成されていることが多いです。

教はい、続けます。
---

教科書の例題・章末問題を完璧にする
『青チャート』や『Focus Gold』の重要例題を繰り返し解く
解法パターンを体系的に整理しておく

【3. 時間配分の練習】
全学部統一入試は60分で4題、理工学部は120分で5題です。1題あたりの時間を意識した演習が不可欠です。

過去問演習では必ず時間を計る
解けない問題に固執せず、次に進む判断力を養う
見直し時間を確保する習慣をつける

【4. 分野別の重点対策】
◆ 微分積分（必出）

極値の計算を素早く正確に
面積計算は「上の曲線−下の曲線」の原則を徹底
接線の方程式は頻出パターンを暗記

◆ 場合の数・確率

数え上げの基本（順列・組み合わせ・重複順列）を確実に
余事象の活用を意識する
条件付き確率の公式を使いこなす

◆ 数列

等差・等比数列の和の公式は即座に使えるように
漸化式の基本パターン（等比型、階差型、特性方程式型）を網羅
Σ計算のテクニックを習得

◆ ベクトル

内積計算を正確に
位置ベクトルの分点公式を使いこなす
空間ベクトルでは垂直条件（内積=0）を活用

学部別の出題傾向と対策
【全学部統一入試】

全問マーク式で、計算結果を穴埋めする形式
小問集合＋大問3題の構成が多い
幅広い分野から出題されるため、苦手分野を作らないことが重要

【理工学部】

マーク式＋記述式の混合形式
数学Ⅲの微分積分が必出
複素数平面も出題されることがある
記述問題では論理的な答案作成力が求められる

【農学部】

場合の数・確率が毎年出題される
二次関数の最大・最小もほぼ確実に出る
整数の性質も近年頻出

【商学部】

数学ⅠAⅡBからバランスよく出題
数列と微分積分は重点的に対策を
文章題で設定を読み取る力も必要

類似問題で練習しよう（練習問題3問）
ここからは、2023年度の出題傾向を踏まえた練習問題を3問用意しました。ぜひ挑戦してみてください！
練習問題1：二次関数の最大・最小

【問題】
関数 f(x) = -x² + 4x + a（a は定数）について、区間 1 ≤ x ≤ 4 における最大値が 6 であるとき、a の値を求めよ。また、そのときの最小値を求めよ。

解答・解説
【解答】
f(x) = -x² + 4x + a = -(x² - 4x) + a = -(x - 2)² + 4 + a

頂点は (2, 4 + a) で、下に凸の放物線です。

軸 x = 2 は区間 [1, 4] の内部にあるので、x = 2 で最大値をとります。

最大値 = 4 + a = 6
よって a = 2

このとき、f(x) = -(x - 2)² + 6

区間の端点での値を比較します：
f(1) = -(1 - 2)² + 6 = -1 + 6 = 5
f(4) = -(4 - 2)² + 6 = -4 + 6 = 2

最小値は x = 4 のとき、2

答：a = 2、最小値 = 2
練習問題2：確率と期待値

【問題】
袋の中に赤球3個と白球2個が入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、以下の問いに答えよ。
(1) 赤球を2個取り出す確率を求めよ。
(2) 取り出した赤球の個数を X とするとき、X の期待値 E(X) を求めよ。
(3) 取り出した球をすべて袋に戻し、再び2個取り出す操作を行う。2回の操作で取り出した赤球の合計個数が3個以上となる確率を求めよ。

解答・解説
【解答】
(1) 赤球を2個取り出す確率
全事象：₅C₂ = 10 通り
赤球2個：₃C₂ = 3 通り

P(赤球2個) = 3/10

答：3/10
(2) X の期待値
X = 0：白球2個 → ₂C₂/₅C₂ = 1/10
X = 1：赤球1個、白球1個 → ₃C₁ × ₂C₁/₅C₂ = 6/10
X = 2：赤球2個 → 3/10（(1)より）

E(X) = 0 × (1/10) + 1 × (6/10) + 2 × (3/10)
     = 0 + 6/10 + 6/10
     = 12/10
     = 6/5

答：E(X) = 6/5
(3) 2回の操作で赤球合計3個以上となる確率
1回目と2回目の赤球の個数の組み合わせで、合計3個以上となるのは：
(1回目, 2回目) = (1, 2), (2, 1), (2, 2)

P(1, 2) = (6/10) × (3/10) = 18/100
P(2, 1) = (3/10) × (6/10) = 18/100
P(2, 2) = (3/10) × (3/10) = 9/100

合計 = 18/100 + 18/100 + 9/100 = 45/100 = 9/20

答：9/20
練習問題3：微分法と接線

【問題】
曲線 C: y = x³ - 6x² + 9x について、以下の問いに答えよ。
(1) C の極値を求めよ。
(2) C 上の点 (1, 4) における接線の方程式を求めよ。
(3) (2)で求めた接線と C で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答・解説
【解答】
(1) 極値
y = x³ - 6x² + 9x
y' = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

y' = 0 となるのは x = 1, 3

増減表：
x    | ... | 1 | ... | 3 | ...
y'   |  +  | 0 |  -  | 0 |  +
y    |  ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗

x = 1 のとき：y = 1 - 6 + 9 = 4（極大値）
x = 3 のとき：y = 27 - 54 + 27 = 0（極小値）

答：極大値 4（x = 1）、極小値 0（x = 3）
(2) 接線の方程式
x = 1 における微分係数：
y'(1) = 3(1 - 1)(1 - 3) = 0

接線の方程式：y - 4 = 0(x - 1)
よって y = 4

答：y = 4
(3) 接線と曲線で囲まれた面積
曲線と接線 y = 4 の交点を求める：
x³ - 6x² + 9x = 4
x³ - 6x² + 9x - 4 = 0

x = 1 が解であることを確認（(1)より）
(x - 1) で割ると：
x³ - 6x² + 9x - 4 = (x - 1)(x² - 5x + 4) = (x - 1)²(x - 4)

交点は x = 1（重解）、x = 4

面積 S = ∫₁⁴ {4 - (x³ - 6x² + 9x)} dx
       = ∫₁⁴ (-x³ + 6x² - 9x + 4) dx
       = ∫₁⁴ -(x - 1)²(x - 4) dx

公式を使わず計算：
= [-x⁴/4 + 2x³ - 9x²/2 + 4x]₁⁴
= (-64 + 128 - 72 + 16) - (-1/4 + 2 - 9/2 + 4)
= 8 - (2 - 1/4 - 9/2 + 4)
= 8 - (6 - 1/4 - 9/2)
= 8 - (24/4 - 1/4 - 18/4)
= 8 - 5/4
= 32/4 - 5/4
= 27/4

答：S = 27/4
明治大学数学攻略のための参考書ルート
最後に、明治大学合格に向けた参考書ルートをご紹介します。
基礎固め期（高2〜高3春）

『教科書』：まずは教科書の例題を完璧に
『基礎問題精講』（旺文社）：教科書レベルの問題を網羅的に演習
『合格る計算 数学ⅠAⅡB』（文英堂）：計算力強化

実力養成期（高3春〜夏）

『青チャート』または『Focus Gold』：典型問題のパターン学習
『標準問題精講』（旺文社）：入試標準レベルの演習
『1対1対応の演習』（東京出版）：解法の引き出しを増やす

実戦演習期（高3夏〜秋）

『明治大学の赤本』（教学社）：過去問演習は必須
『GMARCH&関関同立の数学』：同レベル大学の問題で演習量を確保
『入試数学の掌握』：思考力を鍛える（理工学部志望者向け）

直前期（高3秋〜入試）

過去問の徹底復習：間違えた問題は必ず解き直し
弱点分野の補強：苦手単元を集中的に
時間を計った実戦演習：本番を想定した練習

日本数学塾・数強塾で明治大学合格を目指そう
いかがでしたか？明治大学の数学は、決して難問揃いではありませんが、計算の正確さと典型問題の習熟度が合否を分けます。
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最後に〜藤原先生からのメッセージ〜
明治大学を目指す皆さん、ここまで読んでいただきありがとうございます。
数学は「才能」ではなく「正しい努力」で必ず伸びる科目です。今回解説した問題も、一見複雑に見えるかもしれませんが、基本の積み重ねで必ず解けるようになります。
大切なのは：

基礎を軽視しないこと：教科書レベルの理解が全ての土台
毎日継続すること：数学は毎日触れることで定着します
わからないを放置しないこと：疑問はその日のうちに解決
過去問を研究すること：傾向を知ることで効率的に対策できます

明治大学合格は、皆さんの手の届くところにあります。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介



※この記事は2023年度入試の傾向を基に作成しています。最新の入試情報は、必ず明治大学の公式サイトや募集要項でご確認ください。

※問題文は入試傾向を参考に作成した類似問題です。実際の入試問題とは異なる場合があります。