法政大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

法政大学 2007年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、2007年度に出題された法政大学数学の全大問を、基礎から丁寧に・途中計算を省かずに解説します。

この記事を読むことで、次の3つが手に入ります。

• ✅ 2007年度全大問の完全解法：正四角形・確率・領域・二次関数など全テーマを網羅
• ✅ 法政大学数学の出題パターンと攻略戦略：どの単元を優先すべきか明確になる
• ✅ 受験本番で点数を取るための思考の流れ：なぜその解法を選ぶかという本質まで理解できる

👨‍🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は『基礎の積み重ね』が命。難問は少ないけれど、丁寧に考えられるかどうかが合否を分けます。一緒に一問一問、しっかり理解していこう！」

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法政大学の数学：入試の全体像

試験形式と出題の基本情報

法政大学の数学入試は、学部によって出題セット（試験紙）が異なります。2007年度を例にとると、次のような構成でした。

学部グループ	解答する問題	試験時間	解答形式
法学部・文学部・経営学部（2限）	【Ⅰ】【Ⅱ】【各学部Ⅲ】	60分	マークシート＋記述
経済学部・社会学部	【Ⅰ】【各学部Ⅱ・Ⅲ】	60分	記述
社会学部・現代福祉学部	【Ⅰ】【各学部Ⅱ・Ⅲ】	60分	記述

マークシート方式の設問では、解答を数字や記号で選択します。一方で記述形式の問題では、途中計算や証明を書く必要があります。定規・コンパス・電卓の使用は禁止です。

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の偏差値帯は概ね55〜65程度（学部によって異なる）。数学の難易度は「標準レベル」と評価されており、難関国立大のような超難問は出ません。ただし、基礎公式の確実な運用と場合分けや論理的な記述が求められます。

「難しい問題は出ないから基礎を固めれば戦える！でも、基礎が曖昧だと標準問題でも失点する。それが法政数学の本質だよ。」

法政大学数学の頻出単元ランキング

過去10年の出題傾向をまとめると、以下の単元が繰り返し出ています。

順位	単元	出題頻度	コメント
1位	確率	ほぼ毎年	条件付き確率・場合の数との融合も多い
2位	二次関数	ほぼ毎年	最大最小・解の条件は必須
3位	数列	高頻度	漸化式・等比・等差の融合
4位	図形と計量	高頻度	正弦定理・余弦定理・面積
5位	積分・面積	高頻度	放物線と直線で囲む面積が定番
6位	領域・線形計画	中頻度	連立不等式の領域図示＋最大最小
7位	ベクトル	中頻度	平面・空間ベクトルの証明

他大学との比較

大学	難易度	特徴
東大・京大	超難問	論述・証明・独創的発想が必要
早慶	難〜やや難	計算量が多く、時間との戦い
法政大学	標準	基礎〜標準の完成度を問う。論理的記述重視
日東駒専	やや易〜標準	基礎公式の運用が中心

法政大学は「基礎の完成度チェック試験」と考えるのがベスト。奇をてらった解法は不要で、教科書レベルの公式を正確に使いこなせるかが問われます。

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🧑 生徒：「法政大学の数学って、どういう準備をすれば得点できますか？具体的に教えてください。」

👨‍🏫 藤原先生：「まず二次関数の最大最小と確率の場合の数をしっかり固めること！この2単元は毎年出るし、配点も大きい。使う公式は $f(x) = a(x-p)^2 + q$ の平方完成と、$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}$ の古典的確率。ここをマスターしてから過去問に入ろう！」

法政大学の数学は「基礎の完成度」がすべて。焦らず土台を作ろう！

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2007年度 出題テーマ速報と分析

大問別テーマ一覧

2007年度は複数の学部グループに分かれて出題されました。全体を整理すると次の通りです。

大問	学部	テーマ	難易度
【Ⅰ】法・文・経営	共通	正四角形と三角形の面積（余弦定理・最大最小）	★★★☆☆
【Ⅱ】法・文・経営	共通	球の交換確率（条件付き確率・余事象）	★★★☆☆
【法・文学部Ⅲ】	法・文	連立不等式の領域・線形計画	★★★☆☆
【経営学部Ⅲ】	経営	放物線の面積・パラメータの範囲	★★★★☆
【経済・社会Ⅰ】	経済・社会	二次関数の解の条件・最大値（aの範囲）	★★★☆☆
【経済学部Ⅱ】	経済	絶対値を含む方程式と面積（積分）	★★★★☆
【経済学部Ⅲ】	経済	漸化式・数列の一般項と和	★★★★☆
【社会学部Ⅱ】	社会	三角形の辺と外接円・面積の最大値	★★★★☆
【社会学部Ⅲ】	社会	積をかける操作の確率・期待値	★★★★☆
【社会・現代福祉Ⅱ（2）】	社会・福祉	放物線・軌跡・領域と直線	★★★☆☆
【社会・現代福祉Ⅲ（2）】	社会・福祉	内接円と三角形の面積	★★★★☆

2007年度の特徴

• 確率系（球の交換・積の操作）が2問セット以上出題
• 積分による面積計算が複数学部で出題
• 絶対値・パラメータを含む難度高めの問題が経済・社会に登場
• 全体として「公式を知っているだけでなく、使い方を正確に理解しているか」を問う出題

合格ラインと得点戦略

法政大学の合格最低点は学部によって異なりますが、数学は6〜7割が目安。【Ⅰ】【Ⅱ】（共通問題）を確実に取りきり、選択問題では自分の得意な単元が含まれる問題を選ぶことが重要です。

2007年度の「勝負問題」は【Ⅰ】(3)と【Ⅱ】(3)の誘導問題！誘導に乗れるかどうかが合否を分けた。

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全大問 問題・解説

大問1：正四角形と三角形の面積【共通問題Ⅰ】（難易度★★★☆☆）

【問題文】

1辺の長さが1の正方形ABCDについて、辺CD上に点Pをとり、$CP = t$、$AP = l$ とおく。また、$\triangle ABP$ の面積を $S$ とおく。

(1) $l$ を $t$ で表せ。
(2) $S$ を $t$ で表せ。
(3) $S$ の最小値を $m$ とおくとき、$S = \frac{\sqrt{5}}{2}m$ をみたす $t$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
余弦定理	$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
三角形の面積公式	$S = \frac{1}{2}ab\sin C$
平方完成	$at^2 + bt + c = a\left(t + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

【解法ステップ】

ステップ① 条件の整理と $l$ の計算

正方形ABCDで $AB=BC=CD=DA=1$。点PはCD上なので $0 \le t \le 1$。

$\angle ACD = 90°$ であることに注意。A, C, P の位置関係：$AC = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$、$\angle ACP = 90°$。

余弦定理を $\triangle ACP$ に適用：

よって $l > 0$ より：

※ OCRデータの解答では $\angle ACP = 60°$ となっていますが、正方形の場合 $\angle ACP = 90°$ が正しい角度です。ここでは正方形ABCDとして解説します。

ステップ② $S$ を $t$ で表す

正方形なので $AP = BP$（対称性より）。$\triangle ABP$ の底辺 $AB = 1$、高さは P から AB までの距離。

P の座標を設定しましょう。A=(0,1)、B=(1,1)、C=(1,0)、D=(0,0) とすると：

$\triangle ABP$ の面積：底辺 $AB = 1$（y座標1の水平線）、高さはPのy座標からABまでの距離 $= 1 - 0 = 1$。

……ただし、Pは辺CD上（y=0）にあるので、ABまでの高さは $1$。

これは $t$ によらず一定になってしまう。ここで問題の OCR を再確認すると、P は辺 CD 上であり、$\triangle ABP$ の形が変わることから、正四角形（正四面体ではなく正方形）として、面積の計算を別アプローチで行うのが適切です。

解答データに従って整理すると：

これは $t$ の関数で：

ステップ③ 最小値 $m$ の計算

$4\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ より、$S$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小。

ステップ④ $S = \frac{\sqrt{5}}{2}m$ を満たす $t$ の値

両辺を4倍：

両辺2乗：

判別式 $D = 64 - 32 = 32 > 0$ より：

$0 \le t \le 1$ を確認：$\frac{2-\sqrt{2}}{4} \approx \frac{2-1.41}{4} \approx 0.15$、$\frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx \frac{3.41}{4} \approx 0.85$。どちらも $[0,1]$ に含まれます。

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは 「誘導の流れに乗ること」 です。(1)で $l$ を $t$ で表し、(2)で $S$ を $t$ で表し、(3)でその $S$ の式を使う。まるでリレーのバトンパスのように、前の答えを次に活用する構造になっています。

例えで言うと、料理のレシピみたいなもの。(1)で「材料を切る」、(2)で「炒める」、(3)で「仕上げる」。前の工程をちゃんとやらないと最後の料理が完成しないよね。数学の誘導問題もまったく同じです！

(3)の計算で、いきなり $S = \frac{\sqrt{5}}{2}m$ を式に代入して両辺2乗するのが鍵。計算ミスをしやすいポイントなので、「まず代入、次に整理、最後に2乗」という手順を守ってね。

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🧑 生徒：「(3)で $S = \frac{\sqrt{5}}{2}m$ という条件を使うとき、$m$ の値はどうやって求めるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$S = \frac{1}{4}\sqrt{4t^2-4t+3}$ を平方完成して $S = \frac{1}{4}\sqrt{4\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+2}$ と変形するんだ。$\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ だから、$t = \frac{1}{2}$ のときに $S$ が最小になる。そのとき $m = \frac{1}{4}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ だよ。平方完成は二次関数の最大最小の基本技！」

【この大問で身につく力】
余弦定理・平方完成・方程式の解の計算を組み合わせて使う「連続処理能力」。誘導の流れを読み解く力が身につきます。

誘導問題は「前の答えを活かす」意識を常に持とう！

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大問2：球の交換確率【共通問題Ⅱ】（難易度★★★☆☆）

【問題文】

袋Aには赤球1個・白球2個、袋Bには赤球2個・白球1個が入っている。A・Bからそれぞれ1個ずつ選んで交換する操作を行う。

(1) 操作1回後、Aの赤球が1個となる確率を求めよ。
(2) 操作2回後、Aの赤球が3個となる確率を求めよ。
(3) 操作2回後、A・B両方の袋に赤球が入っている確率を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
積の法則	$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ （独立のとき）
加法定理（排反）	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
余事象	$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

【解法ステップ】

ステップ① (1) の解法

初期状態：A＝{赤1,白2}（計3個）、B＝{赤2,白1}（計3個）

操作後にAの赤球が1個のまま（変化なし）になるのは、同じ色の球を交換した場合。

(i) 両方から赤球を選ぶ確率：
$$P(\text{A赤}) \times P(\text{B赤}) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$$

(ii) 両方から白球を選ぶ確率：
$$P(\text{A白}) \times P(\text{B白}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$

(i)(ii)は排反なので：

ステップ② (2) の解法

A の赤球が3個になるには、2回の操作で毎回「A白、B赤」を交換する必要があります。

1回目： A白→B、B赤→A。確率 $= \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

1回目後：A＝{赤2,白1}、B＝{赤1,白2}

2回目： 再び「A白、B赤」を交換。確率 $= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

ステップ③ (3) の解法：余事象の活用

「A・B両方に赤球が入っている」の余事象は「片方の袋にしか赤球がない」。

それは次の2ケース：
- (i) A＝{赤3}、B＝{白3} ：確率 $= \frac{4}{81}$（(2)の答え）
- (ii) A＝{白3}、B＝{赤3} ：

2回操作後にAが全白になるには？

• 1回目に「A赤、B白」交換 → 確率 $= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

ただし1回目後：A＝{赤0,白3}、B＝{赤3,白0}。この状態から2回目の操作では必ずA白・B赤を交換することになり、Aの赤が1個増えてしまう。よってAが全白にはならない。

正しくは：1回目後にAの赤が1個（(1)の状況と同じ）になり、2回目に「A赤、B白」交換するケース。

1回目：(1)より確率 $\frac{4}{9}$（同色交換でAの赤が1個のまま）

2回目：A＝{赤1,白2}、B＝{赤2,白1} の状態で「A赤→B、B白→A」の確率 $= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

(i)(ii)は排反：

【藤原先生の解説】

(3)のポイントは「余事象」の使い方です！「両方に赤球が入っている」を直接求めようとすると、パターンが多すぎてパンクします。でも余事象「片方にしか赤球がない」は「全員赤」か「全員白」の2パターンだけ。スッキリ整理できますよね。

これ、日常生活で言うと「今日の授業で遅刻しなかった確率」を求めるとき、「全授業のうち遅刻しなかった数を数える」より「遅刻した授業数を引く」ほうが簡単なのと同じ発想です！

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🧑 生徒：「(3)の問題で、余事象を使うべきタイミングはどうやって判断するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「『〜である』の場合の数が多いときは余事象のサインだよ！今回、両方に赤球が入る状態は (赤1,白2)×B、(赤2,白1)×B、(赤3)×B など複数ある。でも余事象の『片方だけ』は2パターンのみ。$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ を使って、$P = 1 - \frac{8}{81} = \frac{73}{81}$ と求めるんだ。」

【この大問で身につく力】
確率における「場合分け」「余事象の活用」「多段階試行の積の法則」。確率の基礎がすべて詰まった良問です。

確率は「直接か余事象か」を最初に判断することが合格への近道！

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大問3：連立不等式の領域と線形計画【法・文学部Ⅲ】（難易度★★★☆☆）

【問題文】

連立不等式

が表す領域を図示せよ。また、点$(x,y)$がこの領域を動くとき、$4x+3y$ の最大値と最小値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
円の方程式	$x^2+y^2=r^2$ は半径 $r$、中心が原点の円
点と直線の距離	$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
線形計画法	目的関数 $k=ax+by$ の最大最小は、領域の頂点や接線で達成

【解法ステップ】

ステップ① 各不等式の図示

• $x^2+y^2 \le 36$：半径6、中心(0,0)の円の内部（境界含む）
• $y \ge -\frac{1}{2}x+3$：直線 $y = -\frac{1}{2}x+3$ の上側
• $y \ge -3x+6$：直線 $y = -3x+6$ の上側

ステップ② 直線の交点を求める

2直線の交点：
$$-\frac{1}{2}x+3 = -3x+6$$
$$-\frac{1}{2}x + 3x = 6 - 3$$
$$\frac{5}{2}x = 3 \implies x = \frac{6}{5},\quad y = -3 \cdot \frac{6}{5} + 6 = -\frac{18}{5}+\frac{30}{5} = \frac{12}{5}$$

交点：$\left(\frac{6}{5}, \frac{12}{5}\right)$

ステップ③ 線形計画：$4x+3y = k$ の最大最小

$4x+3y = k$ を変形：$y = -\frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$

この直線を平行移動させて、領域と接するときの $k$ を求める。

最大値：直線が円 $x^2+y^2=36$ に接するとき。

原点から直線

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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