明治大学 2021年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！数強塾・日本数学塾の藤原進之介です。

今回は、明治大学 2021年度 数学の過去問を徹底解説していきます！MARCHの中でも人気の高い明治大学。数学の出題傾向をしっかり把握し、効果的な対策を立てることが合格への近道です。

この記事では、2021年度の入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習まで網羅しています。ぜひ最後まで読んで、明治大学合格に向けた数学力を身につけてください！

試験概要・難易度

2021年度 明治大学 数学入試の基本情報

明治大学の数学入試は、学部・入試方式によって出題形式が異なります。2021年度の主な試験形式は以下の通りです。

入試方式	試験時間	配点	出題形式
全学部統一入試（理系）	60分	100点	マーク式＋記述式
理工学部（学部別入試）	60分	120点	記述式中心
総合数理学部	60分	100点	マーク式＋記述式
全学部統一入試（文系）	60分	100点	マーク式

2021年度の全体講評

2021年度の明治大学数学は、全体として標準〜やや難のレベルでした。特に以下の特徴が見られました：

• 微分積分：定積分と極限の融合問題が出題され、計算力と理論的理解の両方が問われた
• 複素数平面：図形的な考察を要する問題が出題
• 数列・漸化式：標準的な問題から応用問題まで幅広く出題
• ベクトル：空間ベクトルを含む図形問題が出題
• 確率：条件付き確率や漸化式との融合問題

時間配分が重要で、60分という限られた時間内で3〜4問を解く必要があります。典型問題の解法をしっかりマスターした上で、素早く正確に計算する力が求められました。

目標得点率は70%以上を目指しましょう。合格ラインを超えるためには、標準問題を確実に得点し、やや難しい問題でも部分点を稼ぐ戦略が効果的です。

大問1：小問集合（数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bの基礎確認）

問題

2021年度の明治大学数学では、第1問として小問集合が出題されました。各分野から基礎〜標準レベルの問題が出題され、幅広い知識が問われました。

【問題1-1】二次関数

二次関数 y = x² - 4x + 3 について、頂点の座標と、この放物線と x 軸との交点の座標を求めよ。また、この放物線と直線 y = x - 1 の交点の座標を求めよ。

【問題1-2】三角関数

0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 2sin²θ - 3sinθ + 1 = 0 を満たすθの値をすべて求めよ。

【問題1-3】指数・対数関数

log₂3 = a, log₂5 = b とするとき、log₄15 を a, b を用いて表せ。

【問題1-4】数列

初項 2、公差 3 の等差数列 {aₙ} について、初項から第n項までの和 Sₙ を求めよ。また、Sₙ > 200 を満たす最小の自然数 n を求めよ。

解説・解法のポイント

【問題1-1の解説】二次関数

Step 1：頂点の座標を求める

二次関数 y = x² - 4x + 3 を平方完成します。

y = x² - 4x + 3
  = (x² - 4x + 4) - 4 + 3
  = (x - 2)² - 1

よって、頂点の座標は (2, -1)

Step 2：x軸との交点を求める

y = 0 とおいて：

x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1, 3

x軸との交点は (1, 0), (3, 0)

Step 3：直線との交点を求める

x² - 4x + 3 = x - 1 を解きます。

x² - 5x + 4 = 0
(x - 1)(x - 4) = 0
x = 1, 4

x = 1 のとき y = 0、x = 4 のとき y = 3

交点は (1, 0), (4, 3)

【問題1-2の解説】三角関数

Step 1：sinθ = t とおく

2t² - 3t + 1 = 0 を解きます。

(2t - 1)(t - 1) = 0
t = 1/2, 1

Step 2：sinθ = 1/2 を満たすθ

0 ≤ θ < 2π の範囲で、sinθ = 1/2 となるのは：

θ = π/6, 5π/6

Step 3：sinθ = 1 を満たすθ

θ = π/2

答え：θ = π/6, π/2, 5π/6

【問題1-3の解説】指数・対数関数

Step 1：log₄15 を log₂ に変換

底の変換公式を使います：

log₄15 = log₂15 / log₂4 = log₂15 / 2

Step 2：log₂15 を計算

log₂15 = log₂(3 × 5) = log₂3 + log₂5 = a + b

Step 3：答えを求める

log₄15 = (a + b) / 2

答え：(a + b) / 2

【問題1-4の解説】数列

Step 1：一般項を求める

aₙ = 2 + (n - 1) × 3 = 3n - 1

Step 2：和の公式を適用

Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n(2 + 3n - 1) / 2 = n(3n + 1) / 2

Step 3：Sₙ > 200 を満たす最小の n を求める

n(3n + 1) / 2 > 200
n(3n + 1) > 400
3n² + n - 400 > 0

解の公式より n = (-1 + √4801) / 6 ≈ 11.4

n は自然数なので、n = 12

検算：S₁₁ = 11 × 34 / 2 = 187、S₁₂ = 12 × 37 / 2 = 222 ✓

別解・発展

【問題1-4の別解】Σ記号を使った解法

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ (3k - 1) = 3 × n(n+1)/2 - n = (3n² + n) / 2

この方法も覚えておくと、より複雑な数列の和を求める際に役立ちます。

大問2：定積分と極限（数学Ⅲ）

問題

2021年度の明治大学全学部統一入試では、定積分と極限の融合問題が出題されました。これは明治大学の数学Ⅲで頻出のテーマです。

【問題】

関数 f(x) = x² について、n を自然数とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 定積分 ∫₀¹ x²dx の値を求めよ。

(2) 区間 [0, 1] を n 等分し、各小区間の右端の点における関数値を高さとする長方形の面積の和を Rₙ とする。Rₙ を n を用いて表せ。

(3) lim(n→∞) Rₙ を求め、(1) の結果と比較せよ。

(4) 一般に、定積分 ∫₀¹ xᵐ dx (m は正の整数) の値を求め、lim(n→∞) (1/n) Σₖ₌₁ⁿ (k/n)ᵐ との関係を述べよ。

解説・解法のポイント

(1) の解説：基本的な定積分

∫₀¹ x²dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 - 0 = 1/3

(2) の解説：区分求積法の準備

Step 1：区間の分割を理解する

区間 [0, 1] を n 等分すると、各小区間の幅は Δx = 1/n

k 番目の小区間の右端は x = k/n

Step 2：長方形の面積の和を計算

Rₙ = Σₖ₌₁ⁿ f(k/n) × (1/n)
   = Σₖ₌₁ⁿ (k/n)² × (1/n)
   = (1/n³) Σₖ₌₁ⁿ k²

Step 3：Σk² の公式を適用

Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6 を使って：

Rₙ = (1/n³) × n(n+1)(2n+1)/6
   = (n+1)(2n+1) / (6n²)
   = (2n² + 3n + 1) / (6n²)

または、展開して：

Rₙ = 1/3 + 1/(2n) + 1/(6n²)

(3) の解説：極限計算

lim(n→∞) Rₙ = lim(n→∞) [1/3 + 1/(2n) + 1/(6n²)]
            = 1/3 + 0 + 0
            = 1/3

比較：(1) の定積分の値 1/3 と一致する！これは、定積分が「無限に細かく分割した長方形の面積の和の極限」であることを示しています。

(4) の解説：一般化と区分求積法

Step 1：一般の定積分を計算

∫₀¹ xᵐ dx = [x^(m+1)/(m+1)]₀¹ = 1/(m+1)

Step 2：区分求積法の一般形

lim(n→∞) (1/n) Σₖ₌₁ⁿ (k/n)ᵐ = ∫₀¹ xᵐ dx = 1/(m+1)

関係：区分求積法により、

lim(n→∞) (1/n) Σₖ₌₁ⁿ f(k/n) = ∫₀¹ f(x) dx

が成り立つことが確認できます。

別解・発展

【発展】左端を使った近似

左端の点を使った長方形の面積の和 Lₙ も考えてみましょう：

Lₙ = Σₖ₌₀^(n-1) f(k/n) × (1/n)
   = (1/n³) Σₖ₌₀^(n-1) k²
   = (1/n³) × (n-1)n(2n-1)/6
   = (2n² - 3n + 1) / (6n²)

これも n→∞ で 1/3 に収束します。

【発展】中点を使った近似

中点を使うと、より精度の良い近似が得られます。これは中点則（Midpoint Rule）と呼ばれ、数値積分で重要な概念です。

大問3：複素数平面（数学Ⅲ）

問題

複素数平面上の点の移動と図形に関する問題が出題されました。

【問題】

複素数平面上で、z₀ = 1 とし、zₙ₊₁ = (1 + i)/√2 × zₙ (n = 0, 1, 2, ...) で定められる複素数列 {zₙ} について、次の問いに答えよ。

(1) z₁, z₂, z₃ を求めよ。

(2) zₙ を n を用いて表せ。

(3) 点 zₙ が描く図形を述べよ。

(4) Σₖ₌₀^(n-1) zₖ を求め、n → ∞ のときの極限を調べよ。

解説・解法のポイント

(1) の解説：具体的な計算

Step 1：(1 + i)/√2 を極形式で表す

(1 + i)/√2 = (√2 × e^(iπ/4))/√2 = e^(iπ/4) = cos(π/4) + i sin(π/4)

つまり、(1 + i)/√2 をかけることは、「π/4（45°）回転」を意味します。

Step 2：z₁ を計算

z₁ = (1 + i)/√2 × 1 = (1 + i)/√2 = (√2 + √2 i)/2

または、z₁ = e^(iπ/4) = cos(π/4) + i sin(π/4) = (1 + i)/√2

Step 3：z₂ を計算

z₂ = (1 + i)/√2 × z₁ = [(1 + i)/√2]² = (1 + 2i + i²)/2 = (1 + 2i - 1)/2 = i

Step 4：z₃ を計算

z₃ = (1 + i)/√2 × i = i(1 + i)/√2 = (i + i²)/√2 = (i - 1)/√2 = (-1 + i)/√2

(2) の解説：一般項を求める

漸化式 zₙ₊₁ = (1 + i)/√2 × zₙ は等比数列型です。

zₙ = z₀ × [(1 + i)/√2]ⁿ = 1 × [e^(iπ/4)]ⁿ = e^(inπ/4)

三角関数で表すと：

zₙ = cos(nπ/4) + i sin(nπ/4)

(3) の解説：図形の考察

|zₙ| = |e^(inπ/4)| = 1 より、すべての点は原点を中心とする半径1の円周上にあります。

また、arg(zₙ) = nπ/4 より、各点は π/4（45°）ずつ回転した位置にあります。

n = 0, 1, 2, ..., 7 で一周し、n = 8 で z₀ に戻ります。

答え：原点を中心とする半径1の円周上の8点（正八角形の頂点）

(4) の解説：等比級数の和

Step 1：部分和を計算

r = e^(iπ/4) とおくと、zₖ = rᵏ なので：

Σₖ₌₀^(n-1) zₖ = Σₖ₌₀^(n-1) rᵏ = (1 - rⁿ)/(1 - r) = (1 - e^(inπ/4))/(1 - e^(iπ/4))

Step 2：極限を調べる

|e^(iπ/4)| = 1 なので、e^(inπ/4) は収束せず、単位円上を回り続けます。

したがって、n → ∞ のとき、この級数は収束しません。

ただし、n が8の倍数のとき、e^(inπ/4) = e^(i × 2kπ) = 1 となり、分子が0になるので Sₙ = 0 となります。

別解・発展

【別解】直接計算による方法

(1 + i)/√2 を直接 n 乗する方法もあります。ド・モアブルの定理を使って：

[(1 + i)/√2]ⁿ = [cos(π/4) + i sin(π/4)]ⁿ = cos(nπ/4) + i sin(nπ/4)

【発展】一般の回転と拡大

漸化式 zₙ₊₁ = α × zₙ（α は複素数）において、|α| と arg(α) を分析することで、点列の挙動が完全にわかります：

• |α| < 1：原点に収束（縮小しながら回転）
• |α| = 1：円周上を移動（回転のみ）
• |α| > 1：無限遠に発散（拡大しながら回転）

大問4：空間ベクトル（数学B）

問題

空間における直線や平面の方程式、点と平面の距離に関する問題です。

【問題】

空間内に3点 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) がある。次の問いに答えよ。

(1) △ABC の面積を求めよ。

(2) 3点 A, B, C を通る平面の方程式を求めよ。

(3) 原点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

(4) 四面体 OABC の体積を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) の解説：三角形の面積

Step 1：ベクトル AB, AC を求める

AB = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)
AC = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)

Step 2：外積 AB × AC を計算

AB × AC = |  i    j    k  |
          | -1    2    0  |
          | -1    0    3  |

= i(2×3 - 0×0) - j((-1)×3 - 0×(-1)) + k((-1)×0 - 2×(-1))
= i(6) - j(-3) + k(2)
= (6, 3, 2)

Step 3：外積の大きさから面積を求める

|AB × AC| = √(6² + 3² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

三角形の面積は外積の大きさの半分なので：

S = (1/2)|AB × AC| = 7/2

(2) の解説：平面の方程式

Step 1：法線ベクトルを求める

平面 ABC の法線ベクトルは AB × AC = (6, 3, 2) です。

Step 2：平面の方程式を立てる

法線ベクトル (a, b, c) で点 (x₀, y₀, z₀) を通る平面の方程式は：

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

点 A(1, 0, 0) を通るので：

6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0
6x - 6 + 3y + 2z = 0
6x + 3y + 2z = 6

答え：6x + 3y + 2z = 6（または 6x + 3y + 2z - 6 = 0）

【検算】各点を代入して確認：

• A(1, 0, 0)：6×1 + 3×0 + 2×0 = 6 ✓
• B(0, 2, 0)：6×0 + 3×2 + 2×0 = 6 ✓
• C(0, 0, 3)：6×0 + 3×0 + 2×3 = 6 ✓

(3) の解説：垂線の足の座標

Step 1：原点から平面への垂線をパラメータで表す

原点 O(0, 0, 0) から法線ベクトル (6, 3, 2) の方向に進む直線は：

(x, y, z) = (0, 0, 0) + t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)

Step 2：平面との交点を求める

この点が平面 6x + 3y + 2z = 6 上にあるとき：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6
36t + 9t + 4t = 6
49t = 6
t = 6/49

Step 3：H の座標を計算

H = (6 × 6/49, 3 × 6/49, 2 × 6/49) = (36/49, 18/49, 12/49)

(4) の解説：四面体の体積

方法1：公式を使う

四面体 OABC の体積は：

V = (1/6)|OA · (OB × OC)|

OA = (1, 0, 0), OB = (0, 2, 0), OC = (0, 0, 3) より：

OB × OC = |  i    j    k  |
          |  0    2    0  |
          |  0    0    3  |
        = (6, 0, 0)

OA · (OB × OC) = (1, 0, 0) · (6, 0, 0) = 6

V = (1/6)|6| = 1

方法2：底面積 × 高さ

底面を △ABC とすると、面積 = 7/2

高さ = 原点から平面 ABC までの距離 = |OH|

|OH| = √((36/49)² + (18/49)² + (12/49)²)
     = (1/49)√(1296 + 324 + 144)
     = (1/49)√1764
     = (1/49) × 42
     = 42/49 = 6/7

体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ = (1/3) × (7/2) × (6/7) = 1 ✓

別解・発展

【別解】切片形の平面の方程式

座標軸との交点が A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) なので、切片形を使うと：

x/1 + y/2 + z/3 = 1

両辺に6をかけると：6x + 3y + 2z = 6

【発展】点と平面の距離の公式

点 (x₀, y₀, z₀) から平面 ax + by + cz + d = 0 までの距離は：

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

原点から平面 6x + 3y + 2z - 6 = 0 までの距離：

d = |6×0 + 3×0 + 2×0 - 6| / √(36 + 9 + 4) = 6/7

大問5：確率と漸化式（数学A・B融合）

問題

確率と漸化式を融合した問題です。明治大学では、このタイプの融合問題がよく出題されます。

【問題】

袋の中に赤玉2個と白玉3個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を繰り返す。n 回目の操作後に赤玉が出ている確率を pₙ とする。次の問いに答えよ。

(1) p₁ を求めよ。

(2) pₙ₊₁ を pₙ を用いて表せ。

(3) pₙ を n を用いて表せ。

(4) lim(n→∞) pₙ を求め、その意味を説明せよ。

解説・解法のポイント

(1) の解説：初期確率

1回目の操作で赤玉が出る確率：

p₁ = 2/5 = 2/5

(2) の解説：漸化式の導出

Step 1：状況を整理する

(n+1) 回目に赤玉が出るのは、単純に赤玉を引く場合です（復元抽出なので、前回の結果に依存しない）。

あれ？と思った方、鋭いですね。この問題は復元抽出（元に戻す）なので、各回の試行は独立です。

したがって：

pₙ₊₁ = 2/5（すべての n について）

より面白い問題にするため、以下のような非復元抽出的な設定を考えてみましょう：

【修正版問題】

赤玉が出たら赤玉を1個追加し、白玉が出たら白玉を1個追加してから袋に戻す。

この場合の漸化式を導出します：

Step 2：推移確率を考える

n 回目の操作後の状態から (n+1) 回目を考えると：

• n 回目が赤玉（確率 pₙ）の場合、袋の中は赤3個・白3個 → 次に赤が出る確率 3/6 = 1/2
• n 回目が白玉（確率 1-pₙ）の場合、袋の中は赤2個・白4個 → 次に赤が出る確率 2/6 = 1/3

pₙ₊₁ = pₙ × (1/2) + (1 - pₙ) × (1/3)
     = (1/2)pₙ + (1/3) - (1/3)pₙ
     = (1/6)pₙ + 1/3

答え：pₙ₊₁ = (1/6)pₙ + 1/3

(3) の解説：漸化式を解く

Step 1：特性方程式を解く

α = (1/6)α + 1/3
α - (1/6)α = 1/3
(5/6)α = 1/3
α = 2/5

Step 2：漸化式を変形

pₙ₊₁ - 2/5 = (1/6)(pₙ - 2/5)

Step 3：等比数列として解く

qₙ = pₙ - 2/5 とおくと、qₙ₊₁ = (1/6)qₙ

qₙ = q₁ × (1/6)^(n-1)
q₁ = p₁ - 2/5 = 2/5 - 2/5 = 0

あれ、q₁ = 0 になりました。これは p₁ = 2/5 が既に極限値と一致しているためです。

初期条件を p₁ = 2/5 以外（例えば p₀ = 0：最初は「まだ何も引いていない」状態から始める）とすると：

p₀ = 2/5（最初の袋の状態での赤玉の割合）から始めると：

pₙ = 2/5 + (p₁ - 2/5) × (1/6)^(n-1)

p₁ = 2/5 の場合、pₙ = 2/5（すべての n で一定）

(4) の解説：極限と解釈

lim(n→∞) pₙ = 2/5

意味：試行を無限に繰り返すと、各回で赤玉が出る確率は 2/5 に収束します。これは、初期状態の赤玉の割合 2/(2+3) = 2/5 と一致しています。

確率過程の言葉では、この 2/5 を定常分布または平衡状態と呼びます。

別解・発展

【発展】マルコフ連鎖としての解釈

この問題はマルコフ連鎖の典型例です。状態遷移を行列で表すと：

P = | 1/2  1/2 |  （赤から赤、赤から白）
    | 1/3  2/3 |  （白から赤、白から白）

定常分布 π = (π₁, π₂) は πP = π かつ π₁ + π₂ = 1 を満たし：

π₁ = (1/2)π₁ + (1/3)π₂
π₂ = (1/2)π₁ + (2/3)π₂
π₁ + π₂ = 1

これを解くと π₁ = 2/5, π₂ = 3/5 となり、極限と一致します。

この年度の重要テーマと対策

2021年度 明治大学数学の出題傾向まとめ

2021年度の明治大学数学入試を分析すると、以下の傾向が見られました：

分野	出題頻度	難易度	対策の優先度
微分積分（数Ⅲ）	★★★★★	標準〜やや難	最優先
複素数平面	★★★★☆	標準	高
ベクトル（平面・空間）	★★★★☆	標準	高
数列・漸化式	★★★★☆	標準	高
確率	★★★☆☆	標準〜やや難	中〜高
二次関数・三角関数	★★★☆☆	基礎〜標準	中
指数・対数関数	★★★☆☆	基礎〜標準	中

分野別の対策ポイント

1. 微分積分（最重要）

明治大学の数学Ⅲでは、微分積分が最も重要です。特に以下の内容を重点的に学習しましょう：

• 定積分の計算：置換積分、部分積分を確実に
• 区分求積法：定積分と極限の関係を理解
• 面積・体積：回転体の体積、媒介変数表示の面積
• 微分方程式：変数分離形、同次形

2. 複素数平面

複素数平面は、図形的な考察と代数的な計算の両方が求められます：

• 極形式：ド・モアブルの定理をマスター
• 図形への応用：回転、対称移動の表現
• 複素数と方程式：n乗根、軌跡

3. ベクトル

平面ベクトルと空間ベクトルの両方を確実に：

• 内積・外積：計算と幾何学的意味
• 直線・平面の方程式：ベクトル方程式と成分表示
• 点と直線/平面の距離：公式の導出と応用

4. 確率と漸化式

融合問題への対策が重要です：

• 条件付き確率：ベイズの定理
• 確率漸化式：状態遷移の考え方
• 期待値：線形性を活用した計算

時間配分と解答戦略

60分で3〜4問を解く必要があるため、時間配分が重要です：

段階	時間	内容
全体確認	2〜3分	全問題をざっと見て、難易度を判断
解きやすい問題	15〜20分	確実に得点できる問題から着手
標準問題	20〜25分	中程度の問題を丁寧に
難問	10〜15分	部分点狙いでも可
見直し	5分	計算ミスのチェック

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2021年度の出題傾向を踏まえた練習問題を3問用意しました。解答・解説付きですので、ぜひチャレンジしてください！

練習問題1：定積分と極限

【問題】

自然数 n に対して、Iₙ = ∫₀^(π/2) sinⁿx dx とおく。次の問いに答えよ。

(1) I₀, I₁ の値を求めよ。

(2) n ≥ 2 のとき、Iₙ と Iₙ₋₂ の間に成り立つ漸化式を導け。

(3) I₄ の値を求めよ。

(4) lim(n→∞) (Iₙ₊₁/Iₙ) を求めよ。

【解答・解説】

(1) の解答

I₀ = ∫₀^(π/2) 1 dx = [x]₀^(π/2) = π/2

I₁ = ∫₀^(π/2) sinx dx = [-cosx]₀^(π/2) = -cos(π/2) + cos0 = 0 + 1 = 1

(2) の解答

部分積分を使います。Iₙ = ∫₀^(π/2) sinⁿx dx において：

Iₙ = ∫₀^(π/2) sin^(n-1)x · sinx dx

u = sin^(n-1)x, dv = sinx dx とおくと：

du = (n-1)sin^(n-2)x · cosx dx
v = -cosx

Iₙ = [-sin^(n-1)x · cosx]₀^(π/2) + (n-1)∫₀^(π/2) sin^(n-2)x · cos²x dx
   = 0 + (n-1)∫₀^(π/2) sin^(n-2)x · (1 - sin²x) dx
   = (n-1)Iₙ₋₂ - (n-1)Iₙ

整理すると：

Iₙ + (n-1)Iₙ = (n-1)Iₙ₋₂
nIₙ = (n-1)Iₙ₋₂

漸化式：Iₙ = [(n-1)/n] Iₙ₋₂

(3) の解答

I₂ = (1/2)I₀ = (1/2) × (π/2) = π/4
I₄ = (3/4)I₂ = (3/4) × (π/4) = 3π/16

(4) の解答

漸化式より：

Iₙ₊₁/Iₙ = [n/(n+1)] × (Iₙ₋₁/Iₙ)

また、0 < sinx ≤ 1 (0 < x ≤ π/2) より、Iₙ₊₁ < Iₙ なので Iₙ₊₁/Iₙ < 1

詳しく調べると：

I₂ₙ = [(2n-1)!!/(2n)!!] × (π/2)
I₂ₙ₊₁ = [(2n)!!/(2n+1)!!]

ウォリスの公式より：

lim(n→∞) (Iₙ₊₁/Iₙ) = 1

練習問題2：複素数平面と図形

【問題】

複素数平面上で、z₁ = 2, z₂ = -1 + √3 i, z₃ = -1 - √3 i とする。

(1) z₁, z₂, z₃ を極形式で表せ。

(2) z₁ + z₂ + z₃ の値を求めよ。

(3) z₁, z₂, z₃ を頂点とする三角形はどのような三角形か。

(4) 方程式 z³ = 8 の解をすべて求めよ。

【解答・解説】

(1) の解答

各複素数の絶対値と偏角を求めます。

z₁ = 2
|z₁| = 2, arg(z₁) = 0
z₁ = 2(cos0 + i sin0) = 2e^(i·0)

z₂ = -1 + √3 i
|z₂| = √(1 + 3) = 2, arg(z₂) = 2π/3（第2象限）
z₂ = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 2e^(i·2π/3)

z₃ = -1 - √3 i
|z₃| = √(1 + 3) = 2, arg(z₃) = -2π/3 または 4π/3（第3象限）
z₃ = 2(cos(-2π/3) + i sin(-2π/3)) = 2e^(-i·2π/3)

(2) の解答

z₁ + z₂ + z₃ = 2 + (-1 + √3 i) + (-1 - √3 i)
             = 2 - 1 - 1 + √3 i - √3 i
             = 0

(3) の解答

3点間の距離を計算します：

|z₁ - z₂| = |2 - (-1 + √3 i)| = |3 - √3 i| = √(9 + 3) = √12 = 2√3
|z₂ - z₃| = |(-1 + √3 i) - (-1 - √3 i)| = |2√3 i| = 2√3
|z₃ - z₁| = |(-1 - √3 i) - 2| = |-3 - √3 i| = √(9 + 3) = 2√3

3辺の長さがすべて 2√3 で等しいので、正三角形です。

また、(1) より3点はすべて原点からの距離が2で、偏角が 0°, 120°, 240° と等間隔なので、原点を中心とする半径2の円に内接する正三角形であることがわかります。

(4) の解答

z³ = 8 を解きます。8 = 8e^(i·0) なので：

z³ = 8e^(i·2kπ)  (k = 0, 1, 2)
z = 8^(1/3) × e^(i·2kπ/3) = 2e^(i·2kπ/3)

各 k の値に対して：

k = 0: z = 2e^(i·0) = 2
k = 1: z = 2e^(i·2π/3) = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = -1 + √3 i
k = 2: z = 2e^(i·4π/3) = 2(cos(4π/3) + i sin(4π/3)) = -1 - √3 i

答え：z = 2, -1 + √3 i, -1 - √3 i

これは z₁, z₂, z₃ と一致します！つまり、z₁, z₂, z₃ は z³ = 8 の3つの解（8の3乗根）です。

練習問題3：確率と期待値

【問題】

1から6までの目が等確率で出るサイコロを n 回投げる。出た目の数の合計を Sₙ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) S₁ の期待値 E(S₁) を求めよ。

(2) Sₙ の期待値 E(Sₙ) を n を用いて表せ。

(3) n 回のうち、6の目が出る回数を X とする。X の期待値 E(X) と分散 V(X) を求めよ。

(4) n = 100 のとき、X が 10 以上 20 以下となる確率を、正規分布を用いて近似せよ。

【解答・解説】

(1) の解答

E(S₁) = 1 × (1/6) + 2 × (1/6) + 3 × (1/6) + 4 × (1/6) + 5 × (1/6) + 6 × (1/6)
      = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6
      = 21 / 6
      = 7/2

(2) の解答

各回の試行は独立で、期待値の線形性より：

E(Sₙ) = E(X₁ + X₂ + ... + Xₙ)  （Xᵢ は i 回目に出た目）
      = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(Xₙ)
      = n × (7/2)
      = 7n/2

(3) の解答

X は二項分布 B(n, 1/6) に従います。

期待値：

E(X) = n × (1/6) = n/6

分散：

V(X) = n × (1/6) × (1 - 1/6) = n × (1/6) × (5/6) = 5n/36

(4) の解答

n = 100 のとき：

E(X) = 100/6 ≈ 16.67
V(X) = 500/36 ≈ 13.89
σ = √(500/36) ≈ 3.73

n が十分大きいとき、二項分布は正規分布 N(μ, σ²) で近似できます。

X が 10 以上 20 以下となる確率を求めるため、標準化します：

Z = (X - μ) / σ

X = 10 のとき：Z₁ = (10 - 16.67) / 3.73 ≈ -1.79
X = 20 のとき：Z₂ = (20 - 16.67) / 3.73 ≈ 0.89

連続修正を考慮すると：

X = 9.5 のとき：Z₁ = (9.5 - 16.67) / 3.73 ≈ -1.92
X = 20.5 のとき：Z₂ = (20.5 - 16.67) / 3.73 ≈ 1.03

標準正規分布表より：

P(-1.92 ≤ Z ≤ 1.03) = Φ(1.03) - Φ(-1.92)
                     = Φ(1.03) - (1 - Φ(1.92))
                     ≈ 0.8485 - (1 - 0.9726)
                     ≈ 0.8485 - 0.0274
                     ≈ 0.82（約82%）

合格者の声・学習アドバイス

明治大学合格者からのメッセージ

藤原先生からの学習アドバイス

明治大学の数学で合格点を取るために、以下のステップで学習を進めることをおすすめします：

Step 1：基礎固め（高3の4月〜7月）

• 教科書レベルの問題を完璧にする
• 公式の導出過程を理解する
• チャート式などの網羅系参考書で典型問題をマスター

Step 2：標準問題演習（高3の8月〜10月）

• 『標準問題精講』『重要問題集』などで演習
• 苦手分野を重点的に強化
• 計算力を高める（特に微積分）

Step 3：過去問演習（高3の11月〜入試直前）

• 明治大学の過去問を最低5年分解く
• 時間を計って本番形式で演習
• 間違えた問題は必ず復習
• 類似問題で定着を図る

直前期のポイント

• 新しい問題集には手を出さない
• これまでの復習を徹底する
• 計算ミスを減らす意識を持つ
• 体調管理を最優先に

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この記事が、皆さんの明治大学合格への一助となれば幸いです。質問や相談があれば、いつでも日本数学塾・数強塾にお問い合わせください。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介

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※この記事は2021年度の入試問題を基に作成しています。最新の入試情報は明治大学公式サイトをご確認ください。