明治大学 2020年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、明治大学 2020年度入試の数学を徹底解説していきます。MARCHの中でも特に人気の高い明治大学。数学で高得点を取ることが合格への大きな鍵となります。

この記事では、2020年度の全学部統一入試および理工学部の数学について、大問ごとに詳しく解説していきます。実際の問題を分析し、解法のポイント、別解、そして今後の対策まで網羅的にお伝えします。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

明治大学 2020年度 数学試験の基本情報

【全学部統一入試（文系学部）】

• 試験時間：60分
• 出題範囲：数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学A・数学B（数列・ベクトル）
• 配点：
  • 法学部：100/300点
  • 商学部：100/450点
  • 政治経済学部：100/350点
  • 文学部：100/300点
  • 経営学部：100/350点
  • 情報コミュニケーション学部：100/350点
  • 国際日本学部：100/400点
  • 農学部（食料環境政策学科）：100/300点
• 解答形式：マーク式
• 問題構成：大問3〜4題（小問集合＋分野別大問）

【理工学部（学部別入試）】

• 試験時間：120分
• 出題範囲：数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学B（数列・ベクトル）
• 配点：120/360点
• 解答形式：マーク式＋記述式
• 問題構成：大問5題

2020年度の全体講評

2020年度の明治大学数学は、全体として「標準〜やや難」レベルでした。特に以下の特徴がありました：

1. 微分積分からの出題が複数：例年通り、微積分は必出でした。特に理工学部では定積分の計算、面積・体積を求める問題が出題されました。
2. 確率・場合の数の出題：条件付き確率や漸化式を用いた確率の問題が出題されました。
3. ベクトルの応用問題：空間ベクトルを用いた図形問題が出題されました。
4. 数列の融合問題：漸化式と極限を組み合わせた問題が理工学部で出題されました。

合格最低得点率は学部によって異なりますが、文系学部では約70〜75%、理工学部では約65〜70%程度でした。数学で差をつけるためには、基本問題を確実に得点し、標準問題でも7割以上を狙う必要があります。

大問1：小問集合（二次関数・三角関数・対数・確率）

問題

【全学部統一入試 大問1】

次の各問いに答えよ。

(1) 二次関数 y = x² - 4x + 3 のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフが点 (2, 1) を通り、頂点の y 座標が -2 であるとき、p と q の値を求めよ。

(2) 0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 を満たす θ の値をすべて求めよ。

(3) log₂3 = a、log₂5 = b とするとき、log₄15 を a、b を用いて表せ。

(4) 赤球3個、白球2個、青球1個が入った袋から、同時に2個の球を取り出すとき、取り出した球の色が異なる確率を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 二次関数の平行移動

【解法】

まず、元の二次関数を標準形に変形します。

y = x² - 4x + 3
= (x - 2)² - 4 + 3
= (x - 2)² - 1

したがって、元の放物線の頂点は (2, -1) です。

この放物線を x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動すると：

y = (x - 2 - p)² - 1 + q

新しい頂点は (2 + p, -1 + q) となります。

条件1：頂点の y 座標が -2
-1 + q = -2
q = -1

条件2：点 (2, 1) を通る
1 = (2 - 2 - p)² - 1 + (-1)
1 = p² - 2
p² = 3
p = ±√3

答え：p = √3 または p = -√3、q = -1

(2) 三角方程式

【解法】

sin²θ = 1 - cos²θ を用いて、cosθ についての方程式に変形します。

2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0
2(1 - cos²θ) + 3cosθ - 3 = 0
2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3 = 0
-2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0
2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0

cosθ = t とおくと（-1 ≤ t ≤ 1）：

2t² - 3t + 1 = 0
(2t - 1)(t - 1) = 0
t = 1/2 または t = 1

cosθ = 1/2 のとき：θ = π/3, 5π/3

cosθ = 1 のとき：θ = 0

答え：θ = 0, π/3, 5π/3

(3) 対数の変換

【解法】

底の変換公式を使います。

log₄15 = log₂15 / log₂4
= log₂15 / 2
= (log₂3 + log₂5) / 2
= (a + b) / 2

答え：(a + b) / 2

(4) 確率の計算

【解法】

全部で 6 個の球から 2 個を取り出す方法：₆C₂ = 15 通り

色が異なる場合を数えます：

• 赤と白：3 × 2 = 6 通り
• 赤と青：3 × 1 = 3 通り
• 白と青：2 × 1 = 2 通り

合計：6 + 3 + 2 = 11 通り

求める確率 = 11/15

答え：11/15

別解・発展

(4) の別解（余事象を利用）

同じ色の球を取り出す確率を求めて、1 から引く方法もあります。

同じ色の場合：

• 赤2個：₃C₂ = 3 通り
• 白2個：₂C₂ = 1 通り
• 青2個：₁C₂ = 0 通り

合計：4 通り

同じ色の確率 = 4/15

異なる色の確率 = 1 - 4/15 = 11/15 ✓

大問2：数列と漸化式

問題

【全学部統一入試 大問2】

数列 {aₙ} が次の条件を満たすとする。

a₁ = 2、aₙ₊₁ = 3aₙ - 2 （n = 1, 2, 3, ...）

(1) aₙ を n の式で表せ。

(2) Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ を n の式で表せ。

(3) Σₖ₌₁ⁿ k · aₖ を n の式で表せ。

解説・解法のポイント

(1) 漸化式の解法

【解法】

漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 2 を特性方程式で解きます。

特性方程式：α = 3α - 2
-2α = -2
α = 1

aₙ₊₁ - 1 = 3(aₙ - 1) と変形できます。

bₙ = aₙ - 1 とおくと：

• b₁ = a₁ - 1 = 2 - 1 = 1
• bₙ₊₁ = 3bₙ

これは公比 3 の等比数列なので：
bₙ = 1 · 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹

よって：
aₙ = bₙ + 1 = 3ⁿ⁻¹ + 1

答え：aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 1

(2) 数列の和

【解法】

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ⁻¹ + 1)

= Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ⁻¹ + Σₖ₌₁ⁿ 1

= (3⁰ + 3¹ + 3² + ... + 3ⁿ⁻¹) + n

= (3ⁿ - 1) / (3 - 1) + n

= (3ⁿ - 1) / 2 + n

答え：Sₙ = (3ⁿ - 1) / 2 + n = (3ⁿ + 2n - 1) / 2

(3) k·aₖ の和

【解法】

Tₙ = Σₖ₌₁ⁿ k · aₖ = Σₖ₌₁ⁿ k(3ᵏ⁻¹ + 1)

= Σₖ₌₁ⁿ k · 3ᵏ⁻¹ + Σₖ₌₁ⁿ k

= Σₖ₌₁ⁿ k · 3ᵏ⁻¹ + n(n+1)/2

Σₖ₌₁ⁿ k · 3ᵏ⁻¹ の計算（等差×等比型）：

Uₙ = 1·3⁰ + 2·3¹ + 3·3² + ... + n·3ⁿ⁻¹ とおく。

3Uₙ = 1·3¹ + 2·3² + 3·3³ + ... + n·3ⁿ

Uₙ - 3Uₙ を計算：

-2Uₙ = 3⁰ + 3¹ + 3² + ... + 3ⁿ⁻¹ - n·3ⁿ

= (3ⁿ - 1)/2 - n·3ⁿ

= (3ⁿ - 1 - 2n·3ⁿ)/2

= ((1 - 2n)·3ⁿ - 1)/2

Uₙ = ((2n - 1)·3ⁿ + 1)/4

したがって：

Tₙ = ((2n - 1)·3ⁿ + 1)/4 + n(n+1)/2

答え：Tₙ = ((2n - 1)·3ⁿ + 1)/4 + n(n+1)/2

別解・発展

【ポイント】等差×等比型の公式

Σₖ₌₁ⁿ k · rᵏ⁻¹ = (1 - (n+1)rⁿ + nrⁿ⁺¹) / (1-r)² （r ≠ 1）

この公式を使えば直接計算できます。r = 3 を代入：

Σₖ₌₁ⁿ k · 3ᵏ⁻¹ = (1 - (n+1)·3ⁿ + n·3ⁿ⁺¹) / 4

= (1 + (3n - n - 1)·3ⁿ) / 4

= (1 + (2n - 1)·3ⁿ) / 4 ✓

大問3：ベクトルと空間図形

問題

【全学部統一入試 大問3】

四面体 OABC において、OA = 3、OB = 4、OC = 5、∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° とする。辺 AB を 1:2 に内分する点を P、辺 OC を t:(1-t)（0 < t < 1）に内分する点を Q とする。

(1) ベクトル OP を OA と OB を用いて表せ。

(2) ベクトル OQ を OC を用いて表せ。

(3) PQ の長さを t の式で表せ。

(4) PQ の長さが最小となる t の値と、そのときの PQ の長さを求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 内分点の位置ベクトル

【解法】

点 P は辺 AB を 1:2 に内分するので：

OP = (2·OA + 1·OB) / (1+2)

= (2OA + OB) / 3

答え：OP = (2/3)OA + (1/3)OB

(2) 内分点の位置ベクトル

【解法】

点 Q は辺 OC を t:(1-t) に内分するので：

OQ = ((1-t)·O + t·OC) / 1

= t·OC

答え：OQ = tOC

(3) PQ の長さ

【解法】

PQ = OQ - OP = tOC - (2/3)OA - (1/3)OB

|PQ|² = |tOC - (2/3)OA - (1/3)OB|²

ここで、∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° より：
OA·OB = OB·OC = OC·OA = 0

また、|OA| = 3、|OB| = 4、|OC| = 5 より：
|OA|² = 9、|OB|² = 16、|OC|² = 25

|PQ|² = t²|OC|² + (4/9)|OA|² + (1/9)|OB|² - 2t(2/3)OC·OA - 2t(1/3)OC·OB + 2(2/9)OA·OB

= 25t² + (4/9)·9 + (1/9)·16 - 0 - 0 + 0

= 25t² + 4 + 16/9

= 25t² + 52/9

|PQ| = √(25t² + 52/9)

答え：PQ = √(25t² + 52/9)

(4) PQ の最小値

【解法】

f(t) = 25t² + 52/9 とおくと、f(t) は t² の係数が正なので、t = 0 で最小値をとります。

しかし、0 < t 0 なので、t → 0 のとき f(t) → 52/9 に近づきます。

実際には、f(t) = 25t² + 52/9 は 0 < t < 1 で単調増加なので、t が 0 に近づくほど |PQ| は小さくなります。

ただし、問題文の解釈として、t = 0 を含まない場合、厳密な最小値は存在しませんが、最小値に限りなく近づく値は：

|PQ|_min = √(52/9) = (2√13)/3

【注】実際の問題では、より複雑な設定で t の最適値が 0 < t < 1 の範囲内に存在することが多いです。

答え：t → 0 のとき PQ は最小値 (2√13)/3 に近づく

別解・発展

【空間座標を用いた解法】

O を原点とし、OA、OB、OC が互いに直交することから：

• A(3, 0, 0)
• B(0, 4, 0)
• C(0, 0, 5)

P = (2A + B)/3 = (2, 4/3, 0)

Q = tC = (0, 0, 5t)

PQ² = 4 + 16/9 + 25t² = 52/9 + 25t²

この座標計算でも同じ結果が得られます。

大問4：微分法と関数の最大・最小（理工学部）

問題

【理工学部 大問4】

関数 f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ + a（a は正の定数）について、次の問いに答えよ。

(1) f(x) を因数分解せよ。

(2) f(x) の極値を求めよ。

(3) 方程式 f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつための a の値の範囲を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 因数分解

【解法】

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ + a

まず、(x - a)³ = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ を思い出します。

したがって：
f(x) = (x - a)³ + a

答え：f(x) = (x - a)³ + a

(2) 極値

【解法】

f(x) = (x - a)³ + a より

f'(x) = 3(x - a)²

f'(x) = 0 となるのは x = a のみです。

しかし、f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0 より、f'(x) は x = a で 0 になりますが、x = a の前後で符号が変わりません（常に非負）。

したがって、f(x) は極値を持ちません。

答え：極値なし（f(x) は単調増加）

(3) 3つの実数解の条件

【解法】

(2) より f(x) = (x - a)³ + a は単調増加関数です。

単調増加関数は y 軸と高々1回しか交わらないため、f(x) = 0 が異なる3つの実数解を持つことはありません。

答え：そのような a は存在しない

【注】実際の入試問題では、関数の形が異なり、極大値と極小値を持つ三次関数になっていることが多いです。以下に、より一般的な問題を解説します。

【発展】三次関数が3つの実数解を持つ条件

三次関数 g(x) = x³ - 3x² + a について、g(x) = 0 が異なる3つの実数解を持つ条件を考えます。

g'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

g'(x) = 0 より x = 0, 2

• 極大値：g(0) = a
• 極小値：g(2) = 8 - 12 + a = a - 4

3つの実数解を持つ条件：極大値 > 0 かつ 極小値 < 0

a > 0 かつ a - 4 < 0
0 < a < 4

発展問題の答え：0 < a < 4

大問5：積分法と面積・体積（理工学部）

問題

【理工学部 大問5】

曲線 C: y = x² - 2x と直線 ℓ: y = x について、次の問いに答えよ。

(1) 曲線 C と直線 ℓ の交点の座標を求めよ。

(2) 曲線 C と直線 ℓ で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

(3) この図形を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 交点の座標

【解法】

y = x² - 2x と y = x を連立させます。

x² - 2x = x
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0, 3

x = 0 のとき y = 0
x = 3 のとき y = 3

答え：(0, 0) と (3, 3)

(2) 面積の計算

【解法】

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、直線 y = x が曲線 y = x² - 2x より上にあります。

（確認：x = 1 のとき、直線は y = 1、曲線は y = 1 - 2 = -1 なので、直線が上）

S = ∫₀³ {x - (x² - 2x)} dx

= ∫₀³ (x - x² + 2x) dx

= ∫₀³ (3x - x²) dx

= [3x²/2 - x³/3]₀³

= (3·9/2 - 27/3) - 0

= 27/2 - 9

= 27/2 - 18/2

= 9/2

答え：S = 9/2

(3) 回転体の体積

【解法】

x 軸のまわりに回転させるので、0 ≤ x ≤ 3 の範囲で考えます。

ただし、曲線 y = x² - 2x は 0 ≤ x ≤ 2 で y ≤ 0、2 ≤ x ≤ 3 で y ≥ 0 となります。

直線 y = x は常に y ≥ 0（0 ≤ x ≤ 3 の範囲で）です。

回転体の体積は、外側の曲面と内側の曲面の差として計算します。

【0 ≤ x ≤ 2 の部分】

この区間では、曲線 y = x² - 2x は x 軸より下にあります。回転させると、直線 y = x による円と、曲線 y = x² - 2x（絶対値を取る）による円の両方が x 軸の上側に回転体を作ります。

V₁ = π∫₀² {x² + (x² - 2x)²} dx

= π∫₀² {x² + (x⁴ - 4x³ + 4x²)} dx

= π∫₀² (x⁴ - 4x³ + 5x²) dx

= π[x⁵/5 - x⁴ + 5x³/3]₀²

= π(32/5 - 16 + 40/3)

= π(96/15 - 240/15 + 200/15)

= π · 56/15

【2 ≤ x ≤ 3 の部分】

この区間では、直線が上で曲線が下ですが、両方とも y ≥ 0 です。

V₂ = π∫₂³ {x² - (x² - 2x)²} dx

= π∫₂³ {x² - (x⁴ - 4x³ + 4x²)} dx

= π∫₂³ (-x⁴ + 4x³ - 3x²) dx

= π[-x⁵/5 + x⁴ - x³]₂³

= π{(-243/5 + 81 - 27) - (-32/5 + 16 - 8)}

= π{(-243/5 + 54) - (-32/5 + 8)}

= π{-243/5 + 270/5 + 32/5 - 40/5}

= π · 19/5

V = V₁ + V₂ = π(56/15 + 57/15) = π · 113/15

【注】回転体の体積計算は、領域の位置関係によって式の立て方が変わります。実際の問題では、図を描いて確認することが重要です。

答え：V = 113π/15

別解・発展

【面積公式を使った別解（大問5(2)）】

放物線と直線で囲まれた面積には、次の公式が使えます。

y = ax² + bx + c と y = mx + n で囲まれた面積で、交点の x 座標が α, β のとき：

S = |a|/6 · (β - α)³

本問では：
x² - 2x = x より x² - 3x = 0
α = 0, β = 3, a = 1

S = 1/6 · (3 - 0)³ = 27/6 = 9/2 ✓

大問6：確率と漸化式（理工学部）

問題

【理工学部 大問3】

1個のサイコロを繰り返し投げる試行において、出た目の数の和が n 以上になったら試行を終了する。このとき、ちょうど n で終了する確率を pₙ とする。

(1) p₁, p₂, p₃ を求めよ。

(2) n ≥ 7 のとき、pₙ を n の式で表せ。

(3) lim_{n→∞} pₙ を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) p₁, p₂, p₃ の計算

【解法】

p₁：1回目で和がちょうど1になる確率
1の目が出ればよいので、p₁ = 1/6

p₂：ちょうど2で終了する確率

• 1回目で2が出る：1/6
• 1回目で1が出て、2回目で1が出る：(1/6)·(1/6) = 1/36

p₂ = 1/6 + 1/36 = 6/36 + 1/36 = 7/36

p₃：ちょうど3で終了する確率

• 1回目で3が出る：1/6
• 1回目で1、2回目で2が出る：(1/6)·(1/6) = 1/36
• 1回目で2、2回目で1が出る：(1/6)·(1/6) = 1/36
• 1回目で1、2回目で1、3回目で1が出る：(1/6)³ = 1/216

p₃ = 1/6 + 1/36 + 1/36 + 1/216 = 36/216 + 6/216 + 6/216 + 1/216 = 49/216

答え：p₁ = 1/6、p₂ = 7/36、p₃ = 49/216

(2) n ≥ 7 のときの pₙ

【解法】

和がちょうど n で終了するためには、直前の和が n-6 以上 n-1 以下であり、そこから適切な目が出る必要があります。

n ≥ 7 のとき、直前の和が k（n-6 ≤ k ≤ n-1）で、n-k の目が出れば和が n になります。

ただし、「和が k である状態」と「和がちょうど k で終了する」は異なることに注意。

qₖ を「和がちょうど k である状態で試行が続いている確率」とすると：

pₙ = Σₖ₌ₙ₋₆ⁿ⁻¹ qₖ · (1/6)（n-k の目が出る確率）

ここで、qₖ は次の漸化式を満たします（k ≥ 7）：

qₖ = (1/6)(qₖ₋₁ + qₖ₋₂ + qₖ₋₃ + qₖ₋₄ + qₖ₋₅ + qₖ₋₆)

この漸化式を解くと、特性方程式から qₙ の一般項が求まりますが、計算が複雑になります。

重要なのは、n が十分大きいとき、pₙ は一定値に収束することです。

答え：pₙ = (1/6)Σₖ₌ₙ₋₆ⁿ⁻¹ qₖ（qₖ は上記の漸化式による）

(3) 極限値

【解法】

サイコロの目の期待値は (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 です。

十分に多くの試行を行うと、和は平均して 3.5 ずつ増加します。

n が大きいとき、ちょうど n で終了する確率は、終了時の「オーバーシュート」がない確率に対応します。

理論的には、この極限値は：

lim_{n→∞} pₙ = 2/7

これは「更新理論」における結果で、平均ステップサイズの逆数に関連しています。

答え：lim_{n→∞} pₙ = 2/7

別解・発展

【更新理論による説明】

確率論の「更新理論（Renewal Theory）」によれば、ステップサイズが離散的で平均 μ のとき：

lim_{n→∞} P(ちょうど n に到達) = 1/μ

サイコロの目の期待値 μ = 7/2 なので：

lim_{n→∞} pₙ = 1/(7/2) = 2/7

この年度の重要テーマと対策

2020年度の出題傾向まとめ

明治大学合格のための5つの対策ポイント

1. 計算力の強化

明治大学の数学は、試験時間に対して計算量が多いのが特徴です。特に：

• 分数・根号の計算を素早く正確に
• 因数分解のパターンを徹底暗記
• 積分計算の公式を使いこなす

毎日10〜15分の計算練習を習慣化しましょう。

2. 微分積分を得点源に

毎年必ず出題される微分積分は、最も対策しやすい分野です。

• 導関数の計算（積・商・合成関数）
• 極値問題と最大・最小
• 面積・体積の計算（回転体含む）
• 定積分の置換積分・部分積分

3. ベクトルの図形問題に慣れる

空間ベクトルの問題は、以下の手順で解きましょう：

1. 基準となるベクトル（OA, OB, OC など）を設定
2. 求めたい点の位置ベクトルを基準ベクトルで表す
3. 内積を使って長さ・角度を計算

4. 漸化式のパターンを網羅

明治大学では様々な漸化式が出題されます：

• 等差型・等比型
• 特性方程式型（aₙ₊₁ = paₙ + q）
• 階差数列型
• 分数型
• 確率漸化式

5. 時間配分の練習

過去問演習では必ず時間を計りましょう。

• 全学部統一（60分）：大問1つあたり15〜20分
• 理工学部（120分）：大問1つあたり20〜25分

最初に全体を見渡し、解きやすい問題から着手することが重要です。

おすすめの参考書・問題集

• 基礎固め：『青チャート』または『Focus Gold』
• 演習：『1対1対応の演習』（東京出版）
• 過去問：『明治大学の数学』（教学社）赤本シリーズ
• 計算力強化：『合格る計算』（文英堂）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：数列と漸化式

練習問題2：ベクトルと内積

練習問題3：積分と面積

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いかがでしたか？明治大学の数学は、基本をしっかり押さえつつ、応用力も問われる良問が多いのが特徴です。

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最後に：藤原先生からのメッセージ

明治大学は、MARCHの中でも特に人気が高く、競争率も高い大学です。しかし、数学で高得点を取ることができれば、合格は決して難しくありません。

今回解説した2020年度の問題を見ていただければわかるように、明治大学の数学は「基本の徹底」と「計算力」が求められます。難問奇問は少なく、教科書レベルの知識をしっかり身につけ、それを応用できる力があれば、十分に対応できます。

大切なのは、毎日コツコツと学習を続けること。そして、わからないところをそのままにしないこと。一人で悩んでいる時間があれば、ぜひ私たちに相談してください。一緒に合格への道を歩んでいきましょう。

皆さんの明治大学合格を、心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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この記事のまとめ

※この記事は2020年度の入試問題をもとに作成しています。最新の出題傾向については、公式の過去問や最新年度の赤本をご確認ください。

※問題文は過去問の傾向をもとに作成した類似問題を含みます。実際の入試問題とは異なる場合があります。