香川大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

【別解：外積を使う方法（理系向け）】

平面 $ABC$ の法線ベクトル $vec{n}$ は、$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ で求められます。外積を用いると、垂線の足の計算がより直接的に行えます。

$vec{n} = (vec{b} - vec{a}) times (vec{c} - vec{a})$

点 $O$ から平面 $ABC$ への距離 $d$ は：

$d = frac{|overrightarrow{OA} cdot vec{n}|}{|vec{n}|}$

この方法は計算量が増える場合もありますが、概念的にはシンプルです。

【発展：四面体の体積】

垂線の足が求まれば、四面体 $OABC$ の体積も計算できます：

$V = frac{1}{3} times (triangle ABC の面積) times |overrightarrow{OH}|$

また、スカラー三重積を用いた公式：

$V = frac{1}{6}|vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})|$

も覚えておくと便利です。

大問4：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

漸化式の問題は香川大学で毎年のように出題される重要分野です。特に「$a_{n+1} = pa_n + f(n)$」型の漸化式は頻出です。

【ステップ1】$b_n$ に関する漸化式を導く（問1）

$b_n = frac{a_n}{2^n}$ より、$a_n = 2^n b_n$

元の漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ に代入：

$2^{n+1} b_{n+1} = 3 cdot 2^n b_n + 2^n$

両辺を $2^n$ で割る：

$2b_{n+1} = 3b_n + 1$

【答え】$b_{n+1} = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2}$

【ステップ2】${b_n}$ の一般項を求める（問2）

$b_{n+1} = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2}$ は「特性方程式」を使って解きます。

特性方程式：$alpha = frac{3}{2}alpha + frac{1}{2}$

$alpha - frac{3}{2}alpha = frac{1}{2}$

$-frac{1}{2}alpha = frac{1}{2}$

$alpha = -1$

$b_{n+1} - (-1) = frac{3}{2}(b_n - (-1))$

$b_{n+1} + 1 = frac{3}{2}(b_n + 1)$

$c_n = b_n + 1$ とおくと、$c_{n+1} = frac{3}{2}c_n$

これは公比 $frac{3}{2}$ の等比数列。

$c_1 = b_1 + 1 = frac{a_1}{2^1} + 1 = frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}$

$c_n = frac{3}{2} cdot left(frac{3}{2}right)^{n-1} = left(frac{3}{2}right)^n$

$b_n = c_n - 1 = left(frac{3}{2}right)^n - 1$

【答え】$b_n = left(frac{3}{2}right)^n - 1 = frac{3^n - 2^n}{2^n}$

【ステップ3】${a_n}$ の一般項を求める（問3）

$a_n = 2^n b_n = 2^n cdot frac{3^n - 2^n}{2^n} = 3^n - 2^n$

【答え】$a_n = 3^n - 2^n$

【検算】

• $a_1 = 3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1$ ✓
• $a_2 = 3a_1 + 2^1 = 3 cdot 1 + 2 = 5$、$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ ✓
• $a_3 = 3a_2 + 2^2 = 3 cdot 5 + 4 = 19$、$3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$ ✓

【ステップ4】$sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める（問4）

$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$

等比数列の和の公式より：

$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$

$sum_{k=1}^{n} 2^k = frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$

よって、

$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$

$= frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2^{n+1} + 2$

$= frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4}{2}$

$= frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

【答え】$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

別解・発展

【別解：直接法（未定係数法）】

元の漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ を直接解くこともできます。

特殊解として $a_n = k cdot 2^n$ の形を仮定：

$k cdot 2^{n+1} = 3k cdot 2^n + 2^n$

$2k = 3k + 1$

$k = -1$

よって特殊解は $-2^n$

一般解：$a_n = A cdot 3^n - 2^n$

$a_1 = 1$ より $3A - 2 = 1$、$A = 1$

$a_n = 3^n - 2^n$

【発展：階差数列を用いた方法】

漸化式によっては、階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を考えることで見通しがよくなる場合もあります。様々な解法を身につけておくことが重要です。

大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

復元抽出の確率問題は二項分布に従います。香川大学では確率の基本問題が頻出です。

【ステップ1】基本情報の整理

赤玉を取り出す確率 $p = frac{3}{5}$、白玉を取り出す確率 $q = frac{2}{5}$

$n$ 回の試行で赤玉を $k$ 回取り出す確率は：

$P(X = k) = {}_n C_k cdot p^k cdot q^{n-k} = {}_n C_k left(frac{3}{5}right)^k left(frac{2}{5}right)^{n-k}$

【ステップ2】$n = 3$、$X = 2$ の確率（問1）

$P(X = 2) = {}_3 C_2 left(frac{3}{5}right)^2 left(frac{2}{5}right)^1$

$= 3 times frac{9}{25} times frac{2}{5}$

$= 3 times frac{18}{125}$

$= frac{54}{125}$

【答え】$frac{54}{125}$

【ステップ3】$n = 5$ のとき $E(X)$ を求める（問2）

二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $E(X) = np$ です。

$E(X) = 5 times frac{3}{5} = 3$

【答え】$E(X) = 3$

【別解：定義から計算】

$E(X) = sum_{k=0}^{5} k cdot P(X = k)$

この計算は煩雑なので、公式を使うのが効率的です。

【ステップ4】$n = 5$ のとき $P(X geq 3)$ を求める（問3）

$P(X geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$

$P(X = 3)$：

$= {}_5 C_3 left(frac{3}{5}right)^3 left(frac{2}{5}right)^2$

$= 10 times frac{27}{125} times frac{4}{25}$

$= 10 times frac{108}{3125}$

$= frac{1080}{3125}$

$P(X = 4)$：

$= {}_5 C_4 left(frac{3}{5}right)^4 left(frac{2}{5}right)^1$

$= 5 times frac{81}{625} times frac{2}{5}$

$= 5 times frac{162}{3125}$

$= frac{810}{3125}$

$P(X = 5)$：

$= {}_5 C_5 left(frac{3}{5}right)^5 left(frac{2}{5}right)^0$

$= 1 times frac{243}{3125} times 1$

$= frac{243}{3125}$

合計：

$P(X geq 3) = frac{1080 + 810 + 243}{3125} = frac{2133}{3125}$

【答え】$frac{2133}{3125}$

別解・発展

【別解：余事象を利用】

$P(X geq 3) = 1 - P(X leq 2) = 1 - {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}$

$P(X = 0) = left(frac{2}{5}right)^5 = frac{32}{3125}$

$P(X = 1) = {}_5 C_1 left(frac{3}{5}right)^1 left(frac{2}{5}right)^4 = 5 times frac{3}{5} times frac{16}{625} = frac{240}{3125}$

$P(X = 2) = {}_5 C_2 left(frac{3}{5}right)^2 left(frac{2}{5}right)^3 = 10 times frac{9}{25} times frac{8}{125} = frac{720}{3125}$

$P(X leq 2) = frac{32 + 240 + 720}{3125} = frac{992}{3125}$

$P(X geq 3) = 1 - frac{992}{3125} = frac{2133}{3125}$ ✓

【発展：分散の計算】

二項分布の分散は $V(X) = npq = 5 times frac{3}{5} times frac{2}{5} = frac{6}{5}$

標準偏差は $sigma = sqrt{frac{6}{5}} = frac{sqrt{30}}{5}$

大問6：積分法と面積（理系）

問題

解説・解法のポイント

指数関数と直線の関係、および回転体の体積は理系数学の重要テーマです。

【ステップ1】共有点を求める（問1）

$e^x = ex$ より、$e^x - ex = 0$

$x = 0$ のとき：$e^0 = 1$、$e cdot 0 = 0$　→　一致しない

$x = 1$ のとき：$e^1 = e$、$e cdot 1 = e$　→　一致する！

$f(x) = e^x - ex$ とおくと、$f'(x) = e^x - e$

$f'(x) = 0$ のとき $x = 1$

$f(1) = e - e = 0$ なので、$x = 1$ は接点でもあります。

つまり、直線 $y = ex$ は曲線 $y = e^x$ の $x = 1$ における接線です。

【答え】共有点 $(1, e)$（接点）

【ステップ2】面積を求める（問2）

$0 leq x leq 1$ の範囲で、$e^x geq ex$（等号は $x = 1$ のみ）

これは $f(x) = e^x - ex$ の増減を調べることで確認できます。

$f(0) = 1 - 0 = 1 > 0$、$f(1) = 0$

面積 $S$ は：

$S = int_0^1 (e^x - ex) dx$

$= left[e^x - frac{e}{2}x^2right]_0^1$

$= left(e - frac{e}{2}right) - (1 - 0)$

$= frac{e}{2} - 1$

【答え】$S = frac{e}{2} - 1 = frac{e - 2}{2}$

【ステップ3】回転体の体積を求める（問3）

$x$ 軸まわりの回転体の体積は：

$V = pi int_0^1 {(e^x)^2 - (ex)^2} dx = pi int_0^1 (e^{2x} - e^2 x^2) dx$

各項を積分：

$int_0^1 e^{2x} dx = left[frac{1}{2}e^{2x}right]_0^1 = frac{1}{2}(e^2 - 1)$

$int_0^1 e^2 x^2 dx = e^2 left[frac{x^3}{3}right]_0^1 = frac{e^2}{3}$

よって、

$V = pi left{frac{1}{2}(e^2 - 1) - frac{e^2}{3}right}$

$= pi left{frac{e^2}{2} - frac{1}{2} - frac{e^2}{3}right}$

$= pi left{frac{3e^2 - 2e^2}{6} - frac{1}{2}right}$

$= pi left{frac{e^2}{6} - frac{1}{2}right}$

$= pi cdot frac{e^2 - 3}{6}$

【答え】$V = frac{pi(e^2 - 3)}{6}$

別解・発展

【発展：$y$ 軸まわりの回転】

$y$ 軸まわりの回転体の体積を求める場合は、バウムクーヘン積分（殻積分）を使います：

$V = 2pi int_0^1 x(e^x - ex) dx$

部分積分を用いて計算します。

【発展：パラメータを含む場合】

「曲線 $y = e^x$ と直線 $y = ax$ が接するとき、$a$ の値と接点を求めよ」という問題も頻出です。この場合、$e^x = ax$ と $e^x = a$（微分係数の一致）を連立します。

この年度の重要テーマと対策

2009年度の出題テーマ総まとめ

香川大学数学攻略のための5つの鉄則

【鉄則1】基礎を完璧にする

香川大学の数学は、教科書レベルの基礎がしっかりしていれば解ける問題がほとんどです。まずは教科書の例題・練習問題を完璧にマスターしましょう。

【鉄則2】場合分けを正確に行う

二次関数の最大・最小、絶対値を含む問題など、場合分けが必要な問題が多く出題されます。図を描きながら、漏れのない場合分けを心がけましょう。

【鉄則3】計算力を鍛える

香川大学の数学は計算量がやや多めです。日頃から計算練習を怠らず、検算の習慣をつけることが大切です。

【鉄則4】典型問題のパターンを覚える

漸化式の解法、ベクトルの内積計算、確率の公式など、典型的なパターンは反射的に解けるようになるまで練習しましょう。

【鉄則5】時間配分を意識する

90分で4〜6問を解く必要があります。1問あたり15〜20分を目安に、解けない問題は後回しにする判断力も重要です。

おすすめの参考書・問題集

• 『チャート式 基礎からの数学（青チャート）』：基礎固めに最適
• 『数学 標準問題精講』：標準レベルの問題演習に
• 『大学への数学 1対1対応の演習』：典型問題のパターン習得に
• 『香川大学の過去問（赤本）』：実践演習に必須

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数の最大・

練習問題1：二次関数の最大・最小

【解答・解説】

(1) 最大値を求める

まず、$f(x) = -x^2 + 4ax - 2$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 4ax) - 2$

$= -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - 2$

$= -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 2$

頂点：$(2a, 4a^2 - 2)$、軸：$x = 2a$、上に凸の放物線

上に凸なので、軸が定義域内にあれば頂点で最大、なければ軸に近い端点で最大となります。

【Case 1】$2a < -1$（すなわち $a < -frac{1}{2}$）のとき

軸が定義域の左側にあるため、$f(x)$ は $-1 leq x leq 2$ で単調減少。

最大値は $x = -1$ で、$f(-1) = -1 - 4a - 2 = -4a - 3$

【Case 2】$-1 leq 2a leq 2$（すなわち $-frac{1}{2} leq a leq 1$）のとき

軸が定義域内にあるため、頂点で最大値をとる。

最大値は $f(2a) = 4a^2 - 2$

【Case 3】$2a > 2$（すなわち $a > 1$）のとき

軸が定義域の右側にあるため、$f(x)$ は $-1 leq x leq 2$ で単調増加。

最大値は $x = 2$ で、$f(2) = -4 + 8a - 2 = 8a - 6$

【答え】

• $a < -frac{1}{2}$ のとき：最大値 $= -4a - 3$
• $-frac{1}{2} leq a leq 1$ のとき：最大値 $= 4a^2 - 2$
• $a > 1$ のとき：最大値 $= 8a - 6$

(2) 最大値が $6$ となる $a$ の値

【Case 1】$a < -frac{1}{2}$ のとき

$-4a - 3 = 6$ より $-4a = 9$、$a = -frac{9}{4}$

$-frac{9}{4} < -frac{1}{2}$ を満たすので、$a = -frac{9}{4}$ は適する。

【Case 2】$-frac{1}{2} leq a leq 1$ のとき

$4a^2 - 2 = 6$ より $4a^2 = 8$、$a^2 = 2$、$a = pmsqrt{2}$

$sqrt{2} approx 1.41 > 1$ なので、$a = sqrt{2}$ は範囲外

$-sqrt{2} approx -1.41 < -frac{1}{2}$ なので、$a = -sqrt{2}$ も範囲外

この範囲に該当する解なし。

【Case 3】$a > 1$ のとき

$8a - 6 = 6$ より $8a = 12$、$a = frac{3}{2}$

$frac{3}{2} > 1$ を満たすので、$a = frac{3}{2}$ は適する。

【答え】$a = -frac{9}{4}, frac{3}{2}$

練習問題2：数列と漸化式

【解答・解説】

(1) 一般項を求める

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ は「$a_{n+1} = pa_n + q^n$」型です。

方法1：特殊解を求める

特殊解として $a_n = k cdot 3^n$ の形を仮定します。

$k cdot 3^{n+1} = 2 cdot k cdot 3^n + 3^n$

$3k cdot 3^n = 2k cdot 3^n + 3^n$

$3k = 2k + 1$

$k = 1$

よって、特殊解は $3^n$

$a_n - 3^n = b_n$ とおくと、

$a_{n+1} - 3^{n+1} = 2a_n + 3^n - 3^{n+1}$

$= 2a_n + 3^n - 3 cdot 3^n$

$= 2a_n - 2 cdot 3^n$

$= 2(a_n - 3^n)$

したがって、$b_{n+1} = 2b_n$

$b_1 = a_1 - 3^1 = 2 - 3 = -1$

${b_n}$ は初項 $-1$、公比 $2$ の等比数列なので、

$b_n = -1 cdot 2^{n-1} = -2^{n-1}$

$a_n = b_n + 3^n = 3^n - 2^{n-1}$

【答え】$a_n = 3^n - 2^{n-1}$

【検算】

• $a_1 = 3 - 1 = 2$ ✓
• $a_2 = 2a_1 + 3 = 4 + 3 = 7$、$3^2 - 2^1 = 9 - 2 = 7$ ✓
• $a_3 = 2a_2 + 9 = 14 + 9 = 23$、$3^3 - 2^2 = 27 - 4 = 23$ ✓

(2) $sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める

$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^{k-1})$

$= sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$

$sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = sum_{j=0}^{n-1} 2^j = frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$

よって、

$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^n - 1)$

$= frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2^n + 1$

$= frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+1} + 2}{2}$

$= frac{3^{n+1} - 2^{n+1} - 1}{2}$

【答え】$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 2^{n+1} - 1}{2}$

練習問題3：ベクトルと内積

【解答・解説】

(1) $overrightarrow{PQ}$ を求める

点 $P$ は辺 $OA$ を $2:1$ に内分するので、

$overrightarrow{OP} = frac{2}{3}vec{a}$

点 $Q$ は辺 $OB$ を $1:3$ に内分するので、

$overrightarrow{OQ} = frac{1}{4}vec{b}$

$overrightarrow{PQ} = overrightarrow{OQ} - overrightarrow{OP} = frac{1}{4}vec{b} - frac{2}{3}vec{a}$

【答え】$overrightarrow{PQ} = -frac{2}{3}vec{a} + frac{1}{4}vec{b}$

(2) $|overrightarrow{PQ}|$ を求める

$|overrightarrow{PQ}|^2 = left|-frac{2}{3}vec{a} + frac{1}{4}vec{b}right|^2$

$= frac{4}{9}|vec{a}|^2 - 2 cdot frac{2}{3} cdot frac{1}{4} cdot vec{a} cdot vec{b} + frac{1}{16}|vec{b}|^2$

$= frac{4}{9} cdot 9 - frac{1}{3} cdot 6 + frac{1}{16} cdot 16$

$= 4 - 2 + 1$

$= 3$

【答え】$|overrightarrow{PQ}| = sqrt{3}$

(3) なす角 $theta$ を求める

$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{PQ} = vec{a} cdot left(-frac{2}{3}vec{a} + frac{1}{4}vec{b}right)$

$= -frac{2}{3}|vec{a}|^2 + frac{1}{4}vec{a} cdot vec{b}$

$= -frac{2}{3} cdot 9 + frac{1}{4} cdot 6$

$= -6 + frac{3}{2}$

$= -frac{9}{2}$

$costheta = frac{overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{PQ}}{|overrightarrow{OA}||overrightarrow{PQ}|} = frac{-frac{9}{2}}{3 cdot sqrt{3}} = frac{-frac{9}{2}}{3sqrt{3}} = frac{-9}{6sqrt{3}} = frac{-3}{2sqrt{3}} = frac{-3sqrt{3}}{6} = -frac{sqrt{3}}{2}$

$0 leq theta leq pi$ で $costheta = -frac{sqrt{3}}{2}$ より、

【答え】$theta = frac{5pi}{6}$（または $150°$）

香川大学合格に向けた学習スケジュール

【高3・4月〜7月】基礎固め期間

• 教科書の例題・練習問題を完璧にする
• 青チャートのレベル1〜3を反復
• 苦手分野の克服に重点を置く

【高3・8月〜10月】標準問題演習期間

• 標準問題精講または1対1対応の演習で典型問題をマスター
• 模試の復習を徹底する
• 共通テスト対策も並行して行う

【高3・11月〜12月】過去問演習期間

• 香川大学の過去問を10年分解く
• 時間を計って本番形式で演習
• 間違えた問題は類題で復習

【高3・1月〜入試直前】仕上げ期間

• 共通テスト後は二次対策に全集中
• 苦手分野の最終チェック
• 過去問の再演習で感覚を維持

よくある質問（FAQ）

Q1. 香川大学の数学は難しいですか？

A. 香川大学の数学は、国公立大学の中では標準〜やや易しめのレベルです。教科書の内容をしっかり理解し、標準的な問題集で演習を積めば、十分に高得点を狙えます。ただし、計算量がやや多い傾向があるので、計算力の強化は必須です。

Q2. 数学が苦手でも香川大学に合格できますか？

A. 数学が苦手でも、基礎からしっかり固めれば合格は十分可能です。香川大学の数学は基本問題の割合が高いので、「難問を解く力」よりも「基本問題を確実に解く力」が重要です。苦手意識を持たず、コツコツ取り組みましょう。

Q3. 過去問はいつから始めるべきですか？

A. 理想的には高3の11月頃から本格的に取り組むのがおすすめです。それまでは基礎固めと標準問題の演習に集中しましょう。ただし、高3の夏頃に1〜2年分だけ解いて傾向を把握しておくのも効果的です。

Q4. 共通テストと二次試験の対策バランスは？

A. 香川大学は共通テストの配点も高いので、バランスよく対策することが大切です。目安として、11月までは二次対策7：共通テスト対策3、12月〜共通テストまでは共通テスト対策に8割の時間を充てましょう。共通テスト後は二次対策に全集中です。

Q5. 計算ミスが多いのですが、どうすればいいですか？

A. 計算ミスを減らすには、以下の方法が効果的です：

• 途中式を丁寧に書く習慣をつける
• 検算の時間を確保する（特に最後の5分）
• 日頃から手を動かして計算練習をする
• よくあるミスパターンを記録し、意識して避ける

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ここまで読んでいただき、ありがとうございました！香川大学の数学対策、いかがでしたでしょうか？

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まとめ

2009年度の香川大学数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心で、しっかりとした準備をすれば高得点が狙える内容でした。

今回のポイントをおさらい：

1. 二次関数の最大・最小：軸と定義域の位置関係で場合分け
2. 微分法：増減表を正確に書き、グラフの概形を把握
3. ベクトル：内積の計算と、垂線の足の求め方をマスター
4. 数列・漸化式：典型的な解法パターンを覚える
5. 確率：二項分布の公式を正しく使う
6. 積分法：面積・体積の計算を素早く正確に

香川大学合格を目指す皆さん、基礎を大切に、コツコツ努力を続けてください。数学は努力が必ず報われる科目です。この記事で学んだことを活かして、ぜひ合格をつかみ取ってください！

質問や相談があれば、日本数学塾・数強塾でいつでもお待ちしています。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介