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青山学院大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読む前に

青山学院大学 2015年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介が、2015年度の全大問を丁寧に・やさしく・徹底的に解説します。

この記事で得られる3つの価値：

• ✅ 各大問の「なぜその解法を使うのか」という本質的な理解
• ✅ 青山学院大学の数学の傾向・対策・合格戦略
• ✅ 段階的なステップ解説で、試験本番でも再現できる解法パターン

👨‍🏫 藤原先生より：「青山学院大学の数学は、特別な難問よりも『基礎をしっかり理解しているか』が問われる問題ばかりです。焦らず、一問一問を丁寧に解き切る力を一緒につけていきましょう！大丈夫、必ずできるようになりますよ！」

セクション2：青山学院大学の数学 入試の全体像

試験形式・基本情報

青山学院大学の数学入試は、学部・方式によって問題が異なりますが、共通して以下の特徴があります。

偏差値帯と求められる数学レベル

青山学院大学（理工系・経済系）の数学偏差値は概ね 55〜65 の範囲。難関私立大（早慶）ほど高度な発想は不要ですが、「基礎を確実に」「計算を正確に」が絶対条件です。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

他大学との違い・特徴

• 東大・京大：高度な論述力・発想力重視
• 早慶：計算量が多く、スピード勝負の側面あり
• 青山学院大学：標準的な解法を確実に使いこなせるかが重視。マーク式と記述式が混在するため、「答えを出す力」と「論述する力」の両方が必要

会話①

🧑 生徒：「青山学院大学の数学って、具体的にどんな単元が多く出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「一番よく出るのは確率だね。場合の数の数え上げから始まって、余事象の確率、条件付き確率まで幅広く出る。次にベクトル。位置ベクトルを使って図形の性質を調べる問題が定番だよ。それから微積分も頻出。$\int_a^b f(x)\,dx$ を使った面積計算は毎年のように登場するね。この3分野を固めるだけで、かなり得点が安定してくるよ！」

青山学院大学の数学は「広く浅く」ではなく「基礎を深く」が合格への近道です！

セクション3：2015年度 出題テーマ速報と分析

2015年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と合格ライン

2015年度は確率・ベクトル・積分・不等式証明と、定番分野が幅広く出題されました。特に大問[4]の対数不等式とはさみうちの原理は、論述力も問われる最難関問題です。

合格ライン目安：全体の65〜70%程度の得点を目指しましょう。マーク式の[1][2]を確実に取り、記述式の[3]で部分点を積み重ねるのが現実的な戦略です。

2015年度は前年度と比べて確率の問題が充実しており、ベクトルの計算量も増えた印象があります。計算力を日頃から鍛えておくことが重要です！

セクション4：全大問 問題・解説

大問1（その1）[1]：多項式の割り算・共通解（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a$ を定数とし、$f(x)$、$g(x)$ を次の多項式とする。

(1) $g(x)$ を $f(x)$ で割った商と余りを求めよ。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ に共通の解が存在する $a$ の値をすべて求めよ。

(3) (2) で求めた各 $a$ の値に対して、共通の解を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $g(x)$ を $f(x)$ で実際に割り算する

$f(x) = x^2 - (a-1)x + a$ で $g(x) = x^3 - (a+1)x^2 + (5a-8)x - 5a$ を割る。

商の最高次の項は $\frac{x^3}{x^2} = x$ なので、商の第1項は $x$。

これを引くと：

次に、$\frac{-2x^2}{x^2} = -2$ なので商の第2項は $-2$。

これを引くと：

この次数は1次で $f(x)$ の次数（2次）より小さいので終了。

結果：商 $= x - 2$、余り $= (2a-6)x - 3a$

ステップ② 共通解を $p$ として条件を立てる

$f(p) = 0$ かつ $g(p) = 0$ であれば、①に $x = p$ を代入すると：

また $f(p) = 0$ より：

ステップ③ ③を②に代入して $a$ を求める

③より $(2a-6)p = 3a$。

②の両辺に $(2a-6)^2$ をかけると：

$(2a-6)p = 3a$ を代入（$(2a-6)^2 p^2 = (3a)^2$、$(2a-6)^2 p = 3a(2a-6)$）：

$a$ でくくる：

括弧内を展開・整理：

ステップ④ 各 $a$ に対して共通解 $p$ を求める

• $a = -\dfrac{3}{2}$ のとき：③より $\left(2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 6\right)p = 3 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)$、すなわち $-9p = -\dfrac{9}{2}$、よって $p = \dfrac{1}{2}$
• $a = 0$ のとき：③より $-6p = 0$、よって $p = 0$
• $a = 6$ のとき：③より $(12-6)p = 18$、すなわち $6p = 18$、よって $p = 3$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「共通解は余りを0にする」という発想です。料理で例えるなら、$g(x)$ をレシピ全体とすると、$f(x)$ という型で作った料理の「余った材料」が余り $(2a-6)x - 3a$。共通解 $p$ はその「型にもぴったりはまる材料」なので、余りも0になるわけです。この発想が持てれば、あとは代入計算だけです！

会話②

🧑 生徒：「③の式 $(2a-6)p = 3a$ を②に代入するとき、どうして $(2a-6)^2$ をかけるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！③の式は $p = \dfrac{3a}{2a-6}$ という形にもなるけど、分母が0になる場合（$a=3$）を別処理しなきゃいけなくなるよね。だから代わりに、②の両辺に $(2a-6)^2$ をかけて $(2a-6)p = 3a$ を直接代入できる形 に変形するんだ。こうすると場合分けなしに一気に計算できるよ！これは恒等式変形の常套手段だから覚えておこう。」

【この大問で身につく力】

多項式除法の正確な計算力と、「共通解 → 余りの条件」という代数的思考力が身につきます。

大問1（その1）[2]：サイコロの最大値・最小値と確率（難易度★★★☆☆）

【問題文】

サイコロを3回ふるとき、目の最大値を $M$、最小値を $m$ とする（3回とも同じ目なら $M = m$）。

をそれぞれ求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 全事象を確認する

3回のサイコロの目の出方は $6^3 = 216$ 通り（同様に確からしい）。

ステップ② $M - m = 0$ の場合

3回とも同じ目が出る場合：目の選び方が6通り。

ステップ③ $M - m = 1$ の場合

$(m, M)$ の組み合わせ：$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)$ の 5通り

各組み合わせに対して、3回の目の並べ方：

• $(m, m, M)$ の並び替え：$\dfrac{3!}{2!} = 3$ 通り
• $(m, M, M)$ の並び替え：$\dfrac{3!}{2!} = 3$ 通り
• 合計：$3 + 3 = 6$ 通り

ステップ④ $M - m = 2$ の場合

$(m, M)$ の組み合わせ：$(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)$ の 4通り

3回の目の並べ方：

• $(m, m, M)$：3通り
• $(m, M, M)$：3通り
• $(m, m+1, M)$（3つとも異なる）：$3! = 6$ 通り
• 合計：$3 + 3 + 6 = 12$ 通り

ステップ⑤ $M - m = 3$ の場合

$(m, M)$ の組み合わせ：$(1,4), (2,5), (3,6)$ の 3通り

3回の目の並べ方（$m$ と $M$ の間に取りうる値は $m+1, m+2$ の2つ）：

• $(m, m, M)$：3通り
• $(m, M, M)$：3通り
• $(m, m+1, M)$：$3! = 6$ 通り
• $(m, m+2, M)$：$3! = 6$ 通り
• 合計：$3 + 3 + 6 + 6 = 18$ 通り

検算：$\dfrac{1}{36} + \dfrac{5}{36} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1+5+8+9}{36} = \dfrac{23}{36}$

$M - m \geq 4$ も考慮すると全体で1になるはずなので、$M-m=4,5$ も含めて合計が1になることを確認します（この問題では $M-m=0,1,2,3$ のみ問われています）。

【藤原先生の解説】

確率の問題では「場合を漏れなく・重なりなく数える」のが鉄則。この問題は $(m, M)$ の組み合わせを先に固定して、その後で中身の並べ方を数えるという二段階の数え方がポイント。スポーツで言えば「チームを先に決めて、次に選手の並びを決める」イメージです。青チャートや1対1対応の演習で確率の場合の数を徹底的に練習しておきましょう！

【この大問で身につく力】

場合分けの系統的な整理と、重複がない数え方の技術が身につきます。

大問2（S②）[1]：ベクトル・鋭角三角形の図形（難易度★★★★☆）

【問題文】

鋭角三角形 $OAB$ の辺 $AB$ の中点 $M$ から辺 $OA$, $OB$ に垂線を下ろし、交点をそれぞれ $C$, $D$ とする。条件

が成り立つとき、

(1) $\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{MD}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ で表せ。
(2) $|\overrightarrow{OA}|$, $|\overrightarrow{OB}|$, $|\overrightarrow{AB}|$ を求めよ。
(3) 四角形 $OCMD$ の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OM}$ を求める

$2\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{CA}$ より $OC : CA = 3 : 2$（ただし方向に注意）

$\overrightarrow{OC} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{OA}$ ... これは $OA$ を $2:3$ に内分する点

（$OC : OA = 2 : 5$ なので $\overrightarrow{OC} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{OA}$）

$\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{DB}$ より $OD : DB = 2 : 1$

$M$ は $AB$ の中点：

ステップ② $\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{MD}$ を求める

ステップ③ 垂直条件から $|\overrightarrow{OA}|$, $|\overrightarrow{OB}|$ を求める

$MC \perp OA$（$MC$ は $OA$ への垂線）なので $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{MC} = 0$：

$MD \perp OB$（$MD$ は $OB$ への垂線）なので $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{MD} = 0$：

ステップ④ 四角形 $OCMD$ の面積を求める

$OC \perp MC$ かつ $OD \perp MD$ より、四角形 $OCMD$ は $\triangle OCM + \triangle ODM$ に分割できます（それぞれ直角三角形）。

$$S_{\triangle ODM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{7}{6}} = \frac{1}{3

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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