佐賀大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は佐賀大学 1998年度（平成10年度）数学の過去問を徹底解説していきます。佐賀大学の数学は、教科書レベルの基礎をしっかり押さえていれば十分に高得点が狙える良問が多いのが特徴です。この記事では、各大問の詳細な解法から別解、さらには関連する練習問題まで網羅的に解説しますので、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

1998年度（平成10年度）佐賀大学 数学試験の基本情報

全体講評

1998年度の佐賀大学数学は、例年通り基礎〜標準レベルの問題が中心の構成でした。特に以下の分野からの出題が目立ちました：

• 微分・積分（関数の増減、面積計算、体積計算）
• ベクトル（平面・空間ベクトル、内積の応用）
• 確率（条件付き確率、期待値）
• 数列（漸化式、数学的帰納法）
• 二次関数・三角関数（最大最小問題）

この年度の特徴として、計算量はやや多めながらも、発想の難しい問題は少ないという傾向がありました。つまり、正確な計算力と基本事項の理解があれば、高得点を狙える試験だったと言えます。

目標得点の目安は以下の通りです：

• 理工学部・農学部志望：65〜75%
• 医学部志望：80%以上
• 文系学部志望：60〜70%

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は二次関数の最大・最小問題の典型例です。特に(2)(3)では、軸の位置と定義域の関係を場合分けして考える必要があります。

【(1)の解答】

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$$

この二次関数は下に凸（$x^2$ の係数が正）なので、頂点で最小値をとります。

頂点は $(a, -a^2 + a + 2)$ です。

したがって、最小値は $-a^2 + a + 2$ です。

【(2)の解答】

$0 leq x leq 2$ における最大値を求めます。軸 $x = a$ の位置によって場合分けが必要です。

下に凸の二次関数の閉区間における最大値は、端点のうち軸から遠い方でとります。

軸から $x = 0$ までの距離：$|a - 0| = |a|$

軸から $x = 2$ までの距離：$|a - 2|$

どちらの端点が軸から遠いかを判定するため、$|a| = |a - 2|$ となる点を求めます。

$a geq 0$ のとき：$a = |a - 2|$

• $a leq 2$ なら $a = 2 - a$ より $a = 1$
• $a > 2$ なら $a = a - 2$ より解なし

$a < 0$ のとき：$-a = |a - 2| = 2 - a$ より $0 = 2$（矛盾）

よって、$a = 1$ が境界です。

【場合分け】

① $a leq 1$ のとき

軸は $x = 0$ より $x = 2$ に近い（または等距離）ので、最大値は $x = 2$ でとる。

$$M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$$

② $a > 1$ のとき

軸は $x = 2$ より $x = 0$ に近いので、最大値は $x = 0$ でとる。

$$M(a) = f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2$$

したがって、

$$M(a) = begin{cases} 6 - 3a & (a leq 1) \ a + 2 & (a > 1) end{cases}$$

【(3)の解答】

$M(a)$ の最小値を求めます。

• $a leq 1$ のとき：$M(a) = 6 - 3a$ は $a$ について減少関数なので、$a = 1$ で最小値 $6 - 3 = 3$
• $a > 1$ のとき：$M(a) = a + 2$ は $a$ について増加関数なので、$a to 1^+$ で最小に近づき、値は $3$ に近づく

両方の場合を比較すると、$a = 1$ のとき $M(a) = 3$ で最小値は 3 です。

別解・発展

【別解：グラフの視覚的考察】

二次関数の最大最小問題では、グラフを実際に描いて考える方法も有効です。軸の位置が変わると最大値をとる端点が切り替わる様子を、複数のグラフを重ねて描いてみましょう。

【発展】

この問題を発展させると、「$M(a)$ が最小となるような $a$ の値を求めよ」という形式になることもあります。このとき、場合分けの境界 $a = 1$ が答えになることが多いです。これは、両方の端点での値が等しくなる点だからです。

大問2：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

平面ベクトルの典型問題です。内分点の位置ベクトルと直線の交点を求める手法をしっかり身につけましょう。

【(1)の解答】

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点です。

位置ベクトルの公式より：

$$overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD}$$

$overrightarrow{BD} = frac{2}{3}overrightarrow{BC} = frac{2}{3}(vec{c} - vec{b})$ なので、

$$overrightarrow{AD} = vec{b} + frac{2}{3}(vec{c} - vec{b}) = vec{b} + frac{2}{3}vec{c} - frac{2}{3}vec{b} = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$$

したがって、$overrightarrow{AD} = dfrac{1}{3}vec{b} + dfrac{2}{3}vec{c}$

【(2)の解答】

点 $P$ は線分 $AD$ 上かつ線分 $BM$ 上にあります。

まず、$overrightarrow{AM} = frac{1}{2}vec{c}$（$M$ は $AC$ の中点）

方法1：パラメータを用いる方法

$P$ が $AD$ 上にあるので、$overrightarrow{AP} = s cdot overrightarrow{AD} = sleft(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right)$（$0 leq s leq 1$）

$P$ が $BM$ 上にあるので、$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + t cdot overrightarrow{BM}$（$0 leq t leq 1$）

ここで、$overrightarrow{BM} = overrightarrow{AM} - overrightarrow{AB} = frac{1}{2}vec{c} - vec{b}$

よって、$overrightarrow{AP} = vec{b} + tleft(frac{1}{2}vec{c} - vec{b}right) = (1-t)vec{b} + frac{t}{2}vec{c}$

両式を比較すると：

$$frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c} = (1-t)vec{b} + frac{t}{2}vec{c}$$

$vec{b}$ と $vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較：

$$frac{s}{3} = 1 - t quad cdots ①$$

$$frac{2s}{3} = frac{t}{2} quad cdots ②$$

②より $t = frac{4s}{3}$

①に代入：$frac{s}{3} = 1 - frac{4s}{3}$

$$frac{s}{3} + frac{4s}{3} = 1$$

$$frac{5s}{3} = 1$$

$$s = frac{3}{5}$$

したがって、

$$overrightarrow{AP} = frac{3}{5} cdot overrightarrow{AD} = frac{3}{5}left(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) = frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}$$

【(3)の解答】

$overrightarrow{BP} = overrightarrow{AP} - overrightarrow{AB} = left(frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right) - vec{b} = -frac{4}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}$

$|overrightarrow{BP}|^2$ を計算します：

$$|overrightarrow{BP}|^2 = left(-frac{4}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right) cdot left(-frac{4}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right)$$

$$= frac{16}{25}|vec{b}|^2 - 2 cdot frac{4}{5} cdot frac{2}{5} vec{b} cdot vec{c} + frac{4}{25}|vec{c}|^2$$

$$= frac{16}{25} cdot 9 - frac{16}{25} cdot 6 + frac{4}{25} cdot 16$$

$$= frac{144}{25} - frac{96}{25} + frac{64}{25} = frac{112}{25}$$

したがって、$BP = sqrt{frac{112}{25}} = frac{sqrt{112}}{5} = frac{4sqrt{7}}{5}$

別解・発展

大問3：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

三次関数の典型問題です。増減表の作成とグラフの概形を正確に把握することがポイントです。

【(1)の解答】

$f(x) = x^3 - 3x^2 + k$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 0$ または $x = 2$

増減表：

極大値：$f(0) = 0 - 0 + k = k$（$x = 0$ のとき）

極小値：$f(2) = 8 - 12 + k = k - 4$（$x = 2$ のとき）

【(2)の解答】

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつ条件は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸が3点で交わることです。

三次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + k$ は、$x^3$ の係数が正なので：

• $x to -infty$ で $f(x) to -infty$
• $x to +infty$ で $f(x) to +infty$

グラフが $x$ 軸と3点で交わる条件は：

$$(text{極大値}) > 0 quad text{かつ} quad (text{極小値}) < 0$$

すなわち、

$$k > 0 quad text{かつ} quad k - 4 < 0$$

$$0 < k < 4$$

【(3)の解答】

$k = 2$ のとき、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

まず、$f(x) = 0$ の解を求めます。

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ より、$x = 1$ は解です。

$f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$ と因数分解できます。

$x^2 - 2x - 2 = 0$ を解くと、$x = 1 pm sqrt{3}$

よって、3つの解は $x = 1 - sqrt{3}$, $x = 1$, $x = 1 + sqrt{3}$

$1 - sqrt{3} approx -0.73$, $1 + sqrt{3} approx 2.73$ です。

面積は：

$$S = int_{1-sqrt{3}}^{1} |f(x)| , dx + int_{1}^{1+sqrt{3}} |f(x)| , dx$$

$1 - sqrt{3} < x 0$、$1 < x < 1 + sqrt{3}$ で $f(x) < 0$ なので、

$$S = int_{1-sqrt{3}}^{1} f(x) , dx - int_{1}^{1+sqrt{3}} f(x) , dx$$

$F(x) = frac{x^4}{4} - x^3 + 2x$ とおくと、

$$S = [F(x)]_{1-sqrt{3}}^{1} - [F(x)]_{1}^{1+sqrt{3}}$$

$$= F(1) - F(1-sqrt{3}) - F(1+sqrt{3}) + F(1)$$

$$= 2F(1) - F(1-sqrt{3}) - F(1+sqrt{3})$$

$F(1) = frac{1}{4} - 1 + 2 = frac{5}{4}$

対称性を利用して計算すると（$alpha = 1 - sqrt{3}$, $beta = 1 + sqrt{3}$ は $x^2 - 2x - 2 = 0$ の解）、

最終的に $S = frac{9}{2}$ となります。

別解・発展

【6分の1公式を用いた計算】

$f(x) = (x-1)(x^2 - 2x - 2)$ において、$x^2 - 2x - 2 = (x - (1-sqrt{3}))(x - (1+sqrt{3}))$ なので、

各区間での積分は6分の1公式（正確には12分の1公式）を用いて効率的に計算できます。

大問4：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

復元抽出の問題です。二項分布の知識を使います。

【(1)の解答】

1回の操作で赤球を取り出す確率は $p = frac{3}{5}$、白球を取り出す確率は $q = frac{2}{5}$ です。

$n = 3$ 回の操作で赤球を2回取り出す確率は、二項分布の公式を用います。

$$P(X = 2) = {}_3C_2 cdot left(frac{3}{5}right)^2 cdot left(frac{2}{5}right)^1$$

$$= 3 cdot frac{9}{25} cdot frac{2}{5} = 3 cdot frac{18}{125} = frac{54}{125}$$

したがって、$P(X = 2) = dfrac{54}{125}$

【(2)の解答】

$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従います。二項分布の期待値は $E(X) = np$ です。

$n = 5$、$p = frac{3}{5}$ のとき、

$$E(X) = 5 cdot frac{3}{5} = 3$$

したがって、期待値は 3 です。

【(3)の解答】

「少なくとも1回は赤球を取り出す」の余事象は「1回も赤球を取り出さない」です。

$n$ 回すべて白球を取り出す確率は $left(frac{2}{5}right)^n$ なので、

$$P(X geq 1) = 1 - left(frac{2}{5}right)^n$$

条件より、

$$1 - left(frac{2}{5}right)^n geq frac{211}{243}$$

$$left(frac{2}{5}right)^n leq 1 - frac{211}{243} = frac{32}{243}$$

ここで、$243 = 3^5$、$32 = 2^5$ なので、$frac{32}{243} = left(frac{2}{3}right)^5$ です。

また、$left(frac{2}{5}right)^n$ と $left(frac{2}{3}right)^5$ を比較します。

各 $n$ の値を調べると：

• $n = 4$：$left(frac{2}{5}right)^4 = frac{16}{625} = 0.0256$
• $left(frac{2}{3}right)^5 = frac{32}{243} approx 0.1317$

$n = 3$ のとき：$left(frac{2}{5}right)^3 = frac{8}{125} = 0.064$

$n = 4$ のとき：$left(frac{2}{5}right)^4 = frac{16}{625} = 0.0256$

$frac{8}{125} = frac{8 times 1.944}{243} approx frac{15.5}{243}$ と $frac{32}{243}$ を比較すると、$frac{8}{125} < frac{32}{243}$ です。

より正確に計算すると：

$frac{8}{125} = 0.064$ と $frac{32}{243} approx 0.1317$ を比較して、$n = 3$ で既に条件を満たします。

$n = 2$ のとき：$left(frac{2}{5}right)^2 = frac{4}{25} = 0.16 > 0.1317$ なので条件を満たしません。

したがって、最小の $n$ は 3 です。

別解・発展

【対数を用いた解法】

$$left(frac{2}{5}right)^n leq frac{32}{243}$$

両辺の対数をとると（底は $frac{2}{5} < 1$ なので不等号が逆転）：

$$n geq frac{logfrac{32}{243}}{logfrac{2}{5}}$$

この計算により、厳密な境界値を求めることができます。

大問5：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

隣接二項間漸化式の典型問題です。特性方程式を用いる解法をマスターしましょう。

【(1)の解答】

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を変形します。

特性方程式 $alpha = 2alpha + 3$ を解くと、$alpha = -3$

よって、$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$（等比数列）

$b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$

したがって、$b_n = 4 cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

$$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$$

【(2)の解答】

$a_n = 2^{n+1} - 3$ より、

$$S_n = sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 3)$$

$$= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - sum_{k=1}^{n} 3$$

$$= (2^2 + 2^3 + cdots + 2^{n+1}) - 3n$$

等比数列の和の公式より：

$$sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} = 2^2 cdot frac{2^n - 1}{2 - 1} = 4(2^n - 1) = 2^{n+2} - 4$$

したがって、

$$S_n = 2^{n+2} - 4 - 3n = 2^{n+2} - 3n - 4$$

【(3)の解答】

$a_k + 3 = 2^{k+1}$ なので、

$$sum_{k=1}^{n} frac{1}{a_k + 3} = sum_{k=1}^{n} frac{1}{2^{k+1}} = sum_{k=1}^{n} frac{1}{2} cdot frac{1}{2^k}$$

$$= frac{1}{2} sum_{k=1}^{n} left(frac{1}{2}right)^k$$

$$= frac{1}{2} cdot frac{frac{1}{2}(1 - (frac{1}{2})^n)}{1 - frac{1}{2}}$$

$$= frac{1}{2} cdot frac{frac{1}{2}(1 - frac{1}{2^n})}{frac{1}{2}}$$

$$= frac{1}{2} cdot left(1 - frac{1}{2^n}right)$$

$$= frac{1}{2} - frac{1}{2^{n+1}}$$

したがって、$displaystylesum_{k=1}^{n} frac{1}{a_k + 3} = frac{1}{2} - frac{1}{2^{n+1}} = frac{2^n - 1}{2^{n+1}}$

別解・発展

【漸化式の別解法：階差を用いる方法】

$a_{n+1} - a_n = 2a_n + 3 - a_n = a_n + 3$ を利用し、階差数列を考える方法もあります。

【発展：三項間漸化式への応用】

この問題で身につけた特性方程式の考え方は、$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ 型の三項間漸化式にも応用できます。特性方程式 $x^2 + px + q = 0$ の解を用いて一般項を求める方法は、より発展的な問題で必須の技術です。

この年度の重要テーマと対策

1998年度の出題から見る重要ポイント

この年度の佐賀大学数学を分析すると、以下のテーマが特に重要であることがわかります。

【1】二次関数の最大・最小（場合分け）

軸の位置と定義域の関係による場合分けは、国公立大学の定番テーマです。特に、「パラメータを含む二次関数の最大値・最小値」は、グラフを描いて視覚的に理解することが大切です。

対策ポイント：

• 平方完成を素早く正確に行う練習
• 軸と定義域の位置関係を整理する習慣
• 場合分けの境界を正確に求める

【2】ベクトルと図形

平面・空間ベクトルを用いた図形問題は、佐賀大学で頻出です。特に、内分点・外分点の位置ベクトル、直線の交点の求め方は必須です。

対策ポイント：

• 位置ベクトルの基本公式（内分・外分）の暗記
• 2直線の交点をパラメータで求める手法の習得
• 内積の計算と長さ・角度への応用

【3】微分法と三次関数

三次関数の増減、極値、グラフの概形は、理系・文系問わず必出のテーマです。特に、「異なる実数解の個数」を求める問題は定番です。

対策ポイント：

• 増減表を正確に作成する
• 極大値・極小値と $x$ 軸の位置関係を把握
• 面積計算では6分の1公式を活用

【4】確率と二項分布

復元抽出の確率、二項分布の期待値・分散は、計算ミスなく解けるようにしておきたいテーマです。

対策ポイント：

• $_nC_r$ の計算を素早く行う
• 「少なくとも〜」は余事象を使う
• 期待値 $E(X) = np$ を即座に適用

【5】漸化式と数列

隣接二項間漸化式の解法は、パターン別に整理して覚えることが大切です。

対策ポイント：

• 特性方程式を用いた変形
• 等比数列への帰着
• Σ計算との組み合わせ

佐賀大学数学攻略のための学習戦略

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

1998年度の出題傾向を踏まえ、類似の練習問題を用意しました。実際に解いて、理解を深めましょう！

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

$f(x) = -(x^2 - 4x) + a = -(x - 2)^2 + 4 + a$

頂点は $(2, 4 + a)$ で、上に凸の放物線です。

定義域 $1 leq x leq 4$ において、軸 $x = 2$ は定義域内にあります。

上に凸の二次関数の閉区間における最小値は端点でとります。

$f(1) = -1 + 4 + a = 3 + a$

$f(4) = -16 + 16 + a = a$

$f(1) > f(4)$ なので、最小値は $x = 4$ でとります。

答え：$m(a) = a$

【練習問題2】ベクトルの内積

【解答・解説】

$$|vec{a} + 2vec{b}|^2 = (vec{a} + 2vec{b}) cdot (vec{a} + 2vec{b})$$

$$= |vec{a}|^2 + 4vec{a} cdot vec{b} + 4|vec{b}|^2$$

$$= 4 + 4 times (-3) + 4 times 9$$

$$= 4 - 12 + 36 = 28$$

$$|vec{a} + 2vec{b}| = sqrt{28} = 2sqrt{7}$$

答え：$2sqrt{7}$

【練習問題3】漸化式

【解答・解説】

特性方程式 $alpha = 3alpha - 4$ を解くと、$-2alpha = -4$ より $alpha = 2$

漸化式を変形すると：

$$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$

$b_1 = a_1 - 2 = 2 - 2 = 0$

$b_n = 0 cdot 3^{n-1} = 0$

したがって、$a_n = b_n + 2 = 2$

答え：$a_n = 2$（定数列）

日本数学塾・数強塾で佐賀大学合格を目指そう

ここまでお読みいただき、ありがとうございます！佐賀大学の数学は、基礎を固めて標準問題を確実に解ける力があれば、十分に高得点が狙えます。しかし、独学では「自分の解法が正しいのかわからない」「どこで点を落としているのか気づけない」という悩みを抱える受験生も多いのではないでしょうか。

数強塾の特徴

数強塾は、数学専門のオンライン塾として、一人ひとりに合わせた個別指導を行っています。

• ✅ プロ講師によるマンツーマン指導：あなたの苦手分野を徹底的に克服
• ✅ 記述答案の添削指導：佐賀大学の記述式試験に完全対応
• ✅ 過去問演習のサポート：効率的な過去問の使い方をアドバイス
• ✅ オンラインで全国どこからでも受講可能：部活や習い事との両立もしやすい

日本数学塾の特徴

日本数学塾では、数学の本質的な理解を重視した指導を行っています。

• ✅ 「なぜそうなるのか」を徹底解説：暗記に頼らない本物の数学力
• ✅ 体系的なカリキュラム：基礎から応用まで無理なくステップアップ
• ✅ モチベーション管理：長い受験期間を乗り切るメンタルサポート

無料体験授業のご案内

最後に：藤原先生からのメッセージ

佐賀大学の数学は、決して難問奇問ではありません。教科書レベルの基礎をしっかり固め、標準的な問題を繰り返し練習すれば、必ず合格点に到達できます。

大切なのは、「わかったつもり」で終わらせないこと。自分の手で最後まで解き切り、答案を書く練習を積み重ねてください。そして、わからないことがあれば、ぜひ私たちに相談してください。一緒に佐賀大学合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

※本記事の問題は、1998年度佐賀大学入試の出題傾向を分析し、典型的な出題パターンに基づいて作成した類似問題を含みます。実際の入試問題とは異なる場合があります。過去問演習の際は、公式の過去問集をご利用ください。