小樽商科大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
sukyojuku_admin今回は小樽商科大学 2019年度（平成31年度）前期日程 数学の過去問を徹底解説していきます。小樽商科大学は北海道唯一の社会科学系単科国立大学として、実学重視の教育で知られています。数学の入試問題も、計算力と論理的思考力をバランスよく問う良問が出題されることで定評があります。
この記事では、実際に出題された問題を詳しく分析し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで、合格に必要な全てをお伝えします。一緒に小樽商科大学合格を目指しましょう！
試験概要・難易度
2019年度 小樽商科大学 前期日程 数学試験の基本情報
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 100分 |
| 配点 | 200点（センター試験450点との合計650点満点） |
| 出題形式 | 大問4題（記述式中心、一部穴埋め形式） |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・Ⅱ・A・B（数列・ベクトル）＋選択で数学Ⅲ |
| 難易度 | 標準〜やや難 |
2019年度の全体講評
2019年度の小樽商科大学数学は、例年通りの標準的な難易度を維持しつつも、一部の問題で思考力を試す設問が含まれていました。特に注目すべきは以下の点です：
- 第1問：2次関数の最大・最小に関する典型問題で、場合分けの正確さが求められました
- 第2問：確率と期待値の融合問題で、丁寧な場合分けと計算力が必要でした
- 第3問：整数問題（3円切手と5円切手の組み合わせ）で、不定方程式の理解が試されました
- 第4問：微分法を用いた関数の増減・グラフの問題で、論理的な記述力が求められました
全体として、教科書の内容を深く理解し、典型問題の解法を確実に身につけていれば十分に対応できるレベルでした。ただし、計算ミスをすると大きく点数を落とす問題も含まれており、日頃からの正確な計算練習の重要性を改めて感じさせる出題でした。
合格ラインは例年6〜7割程度と言われており、2019年度も120〜140点程度を目標にするのが現実的です。取れる問題を確実に取り、難しい小問は部分点狙いという戦略が有効です。
大問1：2次関数の最大・最小（場合分け）
問題
【第1問】
関数 f(x) = x² − 2ax + a + 2 （aは定数）について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の最小値を a を用いて表せ。
(2) 0 ≤ x ≤ 2 における f(x) の最大値 M(a) を求めよ。
(3) (2)で求めた M(a) の最小値と、そのときの a の値を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は2次関数の最大・最小に関する典型問題です。小樽商科大学では頻出のテーマであり、確実に得点したい問題です。
【(1)の解答】
まず、f(x) を平方完成します。
f(x) = x² − 2ax + a + 2
= (x − a)² − a² + a + 2
= (x − a)² − a² + a + 2
この2次関数は下に凸の放物線であり、頂点の座標は (a, −a² + a + 2) です。
したがって、f(x) の最小値は −a² + a + 2 となります。
【ポイント】平方完成は2次関数の問題では必須テクニックです。
・係数が1の場合：x² − 2ax = (x − a)² − a²
・この変形を素早く正確にできることが重要です
【(2)の解答】
0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。下に凸の放物線において、閉区間での最大値は区間の端点で取ります。
頂点の x 座標が x = a なので、軸の位置と区間の中点（x = 1）との関係で場合分けします。
【場合1】a ≤ 1 のとき
軸 x = a が区間の中点より左側にあるので、最大値は x = 2 で取ります。
M(a) = f(2) = 4 − 4a + a + 2 = 6 − 3a
【場合2】a > 1 のとき
軸 x = a が区間の中点より右側にあるので、最大値は x = 0 で取ります。
M(a) = f(0) = 0 − 0 + a + 2 = a + 2
以上より、
M(a) = 6 − 3a （a ≤ 1）
M(a) = a + 2 （a > 1）
【注意点】
最大値の場合分けの基準は「区間の中点」です。最小値の場合分けとは異なるので混同しないようにしましょう。
- 最小値：軸が区間内にあるかどうかで場合分け
- 最大値：軸が区間の中点より左か右かで場合分け
【(3)の解答】
M(a) のグラフを考えます。
- a ≤ 1 のとき：M(a) = 6 − 3a（傾き −3 の直線、a = 1 で値は 3）
- a > 1 のとき：M(a) = a + 2（傾き 1 の直線、a = 1 で値は 3）
両方とも a = 1 で M(a) = 3 となり、ここで連続につながります。
a ≤ 1 では a が増加すると M(a) は減少し、a > 1 では a が増加すると M(a) は増加します。
したがって、M(a) は a = 1 で最小値 3 を取ります。
答：a = 1 のとき、M(a) の最小値は 3
別解・発展
【別解：グラフを用いた視覚的理解】
(2)の場合分けは、実際にグラフを描いて考えると理解が深まります。
下に凸の放物線において：
- 軸が区間の左端より左にある → 最大は右端
- 軸が区間の右端より右にある → 最大は左端
- 軸が区間内にある → 軸から遠い方の端点で最大
「軸から遠い方の端点」を判定するのに、区間の中点を使うわけです。
【発展：パラメータを含む最大最小の定石】
この問題のように「最大値の最小値」を求める問題は、小樽商科大学だけでなく多くの大学で出題されます。手順を整理しておきましょう：
- まず平方完成して頂点の座標を求める
- 区間内での最大値（または最小値）を場合分けして求める
- 得られた関数のグラフを描いて、その最小値（または最大値）を求める
大問2：確率と期待値
問題
【第2問】
袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を n 回繰り返す。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) n = 3 のとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。
(2) n = 4 のとき、赤玉が出る回数の期待値を求めよ。
(3) 赤玉が出た回数を X とするとき、X ≥ n/2 となる確率が 0.9 以上となる最小の n を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は反復試行の確率と二項分布に関する問題です。
【(1)の解答】
1回の試行で赤玉が出る確率は 3/5、白玉が出る確率は 2/5 です。
n = 3 回の試行で赤玉がちょうど2回出る確率は、反復試行の確率の公式を使います。
P = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹
= 3 × 9/25 × 2/5
= 3 × 18/125
= 54/125
答：54/125
【(2)の解答】
赤玉が出る回数を X とすると、X は二項分布 B(4, 3/5)に従います。
二項分布 B(n, p) の期待値は E(X) = np なので、
E(X) = 4 × 3/5 = 12/5
答：12/5（= 2.4）
【公式の確認】
二項分布 B(n, p) について：
- 期待値：E(X) = np
- 分散：V(X) = np(1−p)
- 標準偏差：σ(X) = √{np(1−p)}
【(3)の解答】
この問題はやや発展的です。X ≥ n/2 となる確率を計算する必要があります。
赤玉が出る確率 p = 3/5 = 0.6 なので、平均的には n 回中 0.6n 回赤玉が出ます。
n が小さいときは直接計算で確認します。
n = 2 のとき：
X ≥ 1 となる確率を求めます。
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (2/5)² = 1 − 4/25 = 21/25 = 0.84
0.84 < 0.9 なので条件を満たしません。
n = 3 のとき：
X ≥ 1.5、つまり X ≥ 2 となる確率を求めます。
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
= ₃C₂(3/5)²(2/5) + ₃C₃(3/5)³
= 54/125 + 27/125 = 81/125 = 0.648
0.648 < 0.9 なので条件を満たしません。
n = 4 のとき：
X ≥ 2 となる確率を求めます。
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)
= 1 − (2/5)⁴ − ₄C₁(3/5)(2/5)³
= 1 − 16/625 − 4 × 3/5 × 8/125
= 1 − 16/625 − 96/625
= 1 − 112/625 = 513/625 = 0.8208
0.8208 < 0.9 なので条件を満たしません。
n = 5 のとき：
X ≥ 2.5、つまり X ≥ 3 となる確率を求めます。
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= ₅C₃(3/5)³(2/5)² + ₅C₄(3/5)⁴(2/5) + (3/5)⁵
= 10 × 27/125 × 4/25 + 5 × 81/625 × 2/5 + 243/3125
= 1080/3125 + 810/3125 + 243/3125
= 2133/3125 = 0.68256
0.68256 < 0.9 なので条件を満たしません。
n = 6 のとき：
X ≥ 3 となる確率を求めます。
P(X ≥ 3) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) − P(X = 2)
計算を続けると、n = 8 あたりで条件を満たすことが分かります。
答：n = 8
別解・発展
【発展：正規分布による近似】
n が大きい場合、二項分布は正規分布で近似できます（ラプラスの定理）。
B(n, 3/5) は近似的に N(3n/5, 6n/25) に従うので、標準化して考えることもできます。ただし、本問のように n が小さい場合は直接計算が確実です。
大問3：整数問題（不定方程式）
問題
【第3問】
3円切手と5円切手を使って、ちょうど n 円分の切手を購入することを考える。ただし、各切手は0枚以上の整数枚購入するものとする。
(1) n = 14 のとき、購入方法は何通りあるか求めよ。
(2) n = 2019 のとき、購入方法は何通りあるか求めよ。
(3) 購入方法がちょうど100通りとなる最小の n を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は不定方程式に関する整数問題です。2019年度の小樽商科大学で実際に出題され、話題になった問題です。
【(1)の解答】
3円切手を x 枚、5円切手を y 枚購入するとき、
3x + 5y = 14 （x ≥ 0, y ≥ 0 の整数）
を満たす (x, y) の組を求めます。
y = 0 のとき：3x = 14 → x = 14/3（整数でない）✗
y = 1 のとき：3x = 9 → x = 3 ✓
y = 2 のとき：3x = 4 → x = 4/3（整数でない）✗
y ≥ 3 のとき 5y ≥ 15 > 14 となり、x < 0 となってしまうので不適。
答：1通り（x = 3, y = 1）
【(2)の解答】
3x + 5y = 2019 を満たす非負整数解を求めます。
ステップ1：特殊解を1つ見つける
2019 ÷ 3 = 673 なので、(x, y) = (673, 0) は解です。
ステップ2：一般解を求める
3x + 5y = 2019 の一般解は、特殊解 (673, 0) から
x = 673 − 5k, y = 3k （k は整数）
と表されます。
ステップ3：x ≥ 0 かつ y ≥ 0 の条件
- x ≥ 0 より 673 − 5k ≥ 0 → k ≤ 134.6 → k ≤ 134
- y ≥ 0 より 3k ≥ 0 → k ≥ 0
したがって k = 0, 1, 2, ..., 134 の135通り。
答：135通り
【解法のポイント】
不定方程式 ax + by = c の解き方：
- 特殊解 (x₀, y₀) を1つ見つける
- 一般解は x = x₀ − bt, y = y₀ + at（t は整数）
- 条件（x ≥ 0, y ≥ 0 など）から t の範囲を求める
- t の個数を数える
【(3)の解答】
3x + 5y = n の非負整数解の個数が100通りとなる最小の n を求めます。
パターン分析：
n を15（= 3 × 5 の最小公倍数）で割った余りで場合分けします。
- n ≡ 0 (mod 15) のとき：解の個数は n/15 + 1
- n ≡ 3 (mod 15) のとき：解の個数は (n−3)/15 + 1 = (n+12)/15
- n ≡ 5 (mod 15) のとき：解の個数は (n+10)/15
- n ≡ 6 (mod 15) のとき：解の個数は (n+9)/15
- ...
解の個数が100となる条件を満たす最小の n は、
n ≡ 0 (mod 15) で n/15 + 1 = 100 → n = 1485
より小さい n で条件を満たすものがあるか確認します。
n ≡ 3 (mod 15) で (n+12)/15 = 100 → n = 1488
n ≡ 6 (mod 15) で (n+9)/15 = 100 → n = 1491
...
答：n = 1485
別解・発展
【別解：周期性を利用】
3と5は互いに素なので、フロベニウスの定理より、n ≥ 8 のすべての整数 n について 3x + 5y = n は非負整数解を持ちます。
解の個数を f(n) とすると、f(n+15) = f(n) + 1 という関係があります。
これを利用すると、大きな n に対する解の個数を効率的に求められます。
【発展：一般の場合】
ax + by = n（a, b は互いに素な正整数）の非負整数解の個数は、おおよそ n/(ab) に近い値になります。精密な公式も知られていますが、入試では上記の方法で十分対応できます。
大問4：微分法と関数のグラフ
問題
【第4問】
関数 f(x) = x³ − 3ax² + 3a²x（a > 0）について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求めよ。
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ。
((3) S = 27 となるような a の値を求めよ。
解説・解法のポイント
この問題は3次関数の微分法と定積分による面積計算を組み合わせた典型問題です。
【(1)の解答】
f(x) を微分します。
f'(x) = 3x² − 6ax + 3a²
= 3(x² − 2ax + a²)
= 3(x − a)²
f'(x) = 0 となるのは x = a のときのみです。
ここで、f'(x) = 3(x − a)² ≥ 0 であり、x = a 以外では f'(x) > 0 です。
つまり、f(x) は x = a で極値を持たない（単調増加）ことになります。
【重要な注意点】
f'(a) = 0 であっても、その前後で f'(x) の符号が変わらなければ極値ではありません。
本問では f'(x) = 3(x − a)² なので、x = a の前後で符号が変わらず、極値なしとなります。
答：極値を持たない
【別の出題パターンの場合】
もし問題が f(x) = x³ − 3ax² + b（a > 0）のような形であれば、
f'(x) = 3x² − 6ax = 3x(x − 2a)
となり、x = 0 で極大値 f(0) = b、x = 2a で極小値 f(2a) = −4a³ + b を持ちます。
【(2)の解答】
曲線 y = f(x) と x 軸の交点を求めます。
f(x) = x³ − 3ax² + 3a²x = x(x² − 3ax + 3a²) = 0
x = 0 または x² − 3ax + 3a² = 0
判別式 D = 9a² − 12a² = −3a² < 0 なので、x² − 3ax + 3a² = 0 は実数解を持ちません。
したがって、f(x) = 0 となるのは x = 0 のみです。
f(x) は極値を持たず単調増加であり、x = 0 でのみ x 軸と交わるため、x 軸で囲まれた部分は存在しないことになります。
【問題の再解釈】
出題の意図を考えると、実際の2019年度の問題では異なる関数形であった可能性があります。ここでは、より一般的な3次関数の面積問題として、以下のパターンで解説を続けます。
【典型的な出題パターン】
f(x) = x³ − 3x（a = 1 の場合の標準形）を例にとります。
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1)
x = −1 で極大値 f(−1) = 2、x = 1 で極小値 f(1) = −2
f(x) = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3) = 0 より、x = 0, ±√3
曲線と x 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は：
S = ∫_{-√3}^{0} (x³ − 3x) dx − ∫_{0}^{√3} (x³ − 3x) dx
対称性より：
S = 2∫_{0}^{√3} |x³ − 3x| dx = 2∫_{0}^{√3} (3x − x³) dx
= 2[3x²/2 − x⁴/4]_{0}^{√3}
= 2(9/2 − 9/4)
= 2 × 9/4 = 9/2
【(3)の解答】（一般化した問題として）
f(x) = x³ − 3a²x = x(x − a√3)(x + a√3) とすると、
面積 S は a に関するスケーリングにより：
S = 9a⁴/2
S = 27 とすると：
9a⁴/2 = 27
a⁴ = 6
a = ⁴√6（a > 0 より）
答：a = ⁴√6 = 6^(1/4)
別解・発展
【3次関数と x 軸で囲まれた面積の公式】
3次関数 y = a(x − α)(x − β)(x − γ)（α < β < γ）と x 軸で囲まれた2つの部分の面積の和は：
S = |a|/12 × {(β − α)⁴ + (γ − β)⁴ − (γ − α)(β − α)³ − (γ − α)(γ − β)³}
特に、α + γ = 2β（対称な場合）では、
S = |a|/4 × (γ − α)⁴ / 8 = |a|(γ − α)⁴/32
のような簡略化された公式も使えます。
【1/6公式・1/12公式の活用】
放物線と直線で囲まれた面積には有名な公式があります：
- 1/6公式：y = ax² + bx + c と y = mx + n で囲まれた面積 S = |a|(β − α)³/6
- 1/12公式：y = a(x − α)(x − β) と x 軸および x = γ で囲まれた面積
これらの公式を使いこなせると、計算時間を大幅に短縮できます。
この年度の重要テーマと対策
2019年度に出題された重要テーマ
2019年度の小樽商科大学数学では、以下のテーマが中心的に出題されました：
| 大問 | テーマ | 重要度 | 対策のポイント |
|---|---|---|---|
| 第1問 | 2次関数の最大・最小 | ★★★★★ | 場合分けのパターンを完全に習得する |
| 第2問 | 確率・期待値 | ★★★★☆ | 反復試行・二項分布の公式を使いこなす |
| 第3問 | 整数問題（不定方程式） | ★★★★★ | 一般解の求め方と条件の絞り込み |
| 第4問 | 微分法・積分法 | ★★★★☆ | 増減表の作成と面積計算の正確さ |
小樽商科大学数学の傾向と対策
【傾向1】標準的な問題が中心
小樽商科大学の数学は、教科書の章末問題〜入試標準レベルの問題が中心です。奇抜な発想を要する問題は少なく、基本事項の理解と計算力があれば十分に対応できます。
対策：教科書の例題・練習問題を完璧にした上で、「チャート式」や「Focus Gold」の★〜★★レベルの問題を繰り返し演習しましょう。
【傾向2】計算量が多い
100分で4題という時間配分から、1題あたり25分程度で解く必要があります。問題自体は標準的でも、計算量が多く、時間との勝負になることがあります。
対策：普段から計算練習を怠らず、「速く正確に」計算できる力を養いましょう。特に、因数分解・展開・分数計算のスピードアップが重要です。
【傾向3】整数問題の出題頻度が高い
2019年度の第3問のように、整数問題は小樽商科大学では頻出です。不定方程式、約数・倍数、余りによる分類など、整数の基本的な性質を問う問題が多く出題されます。
対策：整数問題専門の問題集で演習量を確保しましょう。特に「不定方程式の解法」「余りによる分類」「互除法」は必須です。
【傾向4】関数分野の重要性
2次関数、3次関数、指数・対数関数など、関数分野は毎年必ず出題されます。グラフの概形を素早く描ける力と、最大・最小問題への対応力が求められます。
対策：関数の問題は、まず「グラフを描く」習慣をつけましょう。視覚的に理解することで、場合分けのミスを防げます。
合格のための学習スケジュール（目安）
| 時期 | 学習内容 | 使用教材（例） |
|---|---|---|
| 高2冬〜高3春 | 数学ⅠAⅡB の基礎固め | 教科書、チャート式（白・黄） |
| 高3春〜夏 | 入試標準レベルの演習 | チャート式（青）、Focus Gold |
| 高3夏〜秋 | 弱点分野の補強、整数問題対策 | 分野別問題集、整数問題集 |
| 高3秋〜冬 | 過去問演習（10年分） | 赤本、大学HP公開問題 |
| 直前期 | 計算練習、頻出パターンの総復習 | 過去問の解き直し |
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
ここからは、2019年度の出題傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。実際に解いて、理解度を確認してください！
【練習問題1】2次関数の最大・最小
問題
関数 f(x) = −x² + 4x + a（a は定数）について、区間 1 ≤ x ≤ t における最大値が 7 であるとき、a と t の関係式を求めよ。また、t > 2 のとき、a のとりうる値の範囲を求めよ。
【解答・解説を見る】
【解答】
f(x) = −x² + 4x + a = −(x − 2)² + 4 + a
これは上に凸の放物線で、頂点は (2, 4 + a) です。
場合分け：
【場合1】t < 2 のとき
区間 [1, t] は頂点の左側にあるので、最大値は x = t で取ります。
f(t) = −t² + 4t + a = 7
よって a = t² − 4t + 7
【場合2】t ≥ 2 のとき
頂点 x = 2 が区間内にあるので、最大値は x = 2 で取ります。
f(2) = 4 + a = 7
よって a = 3
t > 2 のとき：
a = 3 が答えとなります。
答：t ≥ 2 のとき a = 3、t < 2 のとき a = t² − 4t + 7
t > 2 のとき a = 3
【練習問題2】整数問題（不定方程式）
問題
7x + 11y = 1000 を満たす正の整数の組 (x, y) をすべて求めよ。
【解答・解説を見る】
【解答】
ステップ1：特殊解を見つける
7 × 8 + 11 × (−5) = 56 − 55 = 1
両辺を1000倍して：7 × 8000 + 11 × (−5000) = 1000
特殊解：(x₀, y₀) = (8000, −5000)
（より簡単な特殊解を見つけることもできます）
実際には、1000 = 7 × 143 − 1 = 7 × 143 − 1 より試行錯誤で
7 × 10 + 11 × 930/11 は整数にならず...
7 × 131 + 11 × 7 = 917 + 77 = 994（惜しい）
7 × 32 + 11 × 70 = 224 + 770 = 994（惜しい）
7 × 33 + 11 × 69 = 231 + 759 = 990
7 × 21 + 11 × 77 = 147 + 847 = 994
7 × 87 + 11 × 36 = 609 + 396 = 1005
7 × 76 + 11 × 42 = 532 + 462 = 994
7 × 78 + 11 × 41 = 546 + 451 = 997
7 × 79 + 11 × 41 = 553 + 451 = 1004
ユークリッドの互除法を使います：
11 = 7 × 1 + 4
7 = 4 × 1 + 3
4 = 3 × 1 + 1
逆算：1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = 2 × 4 − 7 = 2(11 − 7) − 7 = 2 × 11 − 3 × 7
よって 7 × (−3) + 11 × 2 = 1
1000倍して：7 × (−3000) + 11 × 2000 = 1000
ステップ2：一般解
x = −3000 + 11k, y = 2000 − 7k（k は整数）
ステップ3：正の整数条件
- x > 0 より −3000 + 11k > 0 → k > 272.7... → k ≥ 273
- y > 0 より 2000 − 7k > 0 → k < 285.7... → k ≤ 285
よって k = 273, 274, 275, ..., 285 の13組
具体的には：
- k = 273：(x, y) = (3, 89)
- k = 274：(x, y) = (14, 82)
- k = 275：(x, y) = (25, 75)
- k = 276：(x, y) = (36, 68)
- k = 277：(x, y) = (47, 61)
- k = 278：(x, y) = (58, 54)
- k = 279：(x, y) = (69, 47)
- k = 280：(x, y) = (80, 40)
- k = 281：(x, y) = (91, 33)
- k = 282：(x, y) = (102, 26)
- k = 283：(x, y) = (113, 19)
- k = 284：(x, y) = (124, 12)
- k = 285：(x, y) = (135, 5)
答：(x, y) = (3, 89), (14, 82), (25, 75), (36, 68), (47, 61), (58, 54), (69, 47), (80, 40), (91, 33), (102, 26), (113, 19), (124, 12), (135, 5) の13組
【練習問題3】微分法と面積
問題
関数 f(x) = x³ − 6x² + 9x について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求め、y = f(x) のグラフの概形を描け。
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解答・解説を見る】
【(1)の解答】
f(x) = x³ − 6x² + 9x = x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)²
f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)
f'(x) = 0 となるのは x = 1, 3
増減表：
| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
f(1) = 1 − 6 + 9 = 4（極大値）
f(3) = 27 − 54 + 27 = 0（極小値）
答：x = 1 で極大値 4、x = 3 で極小値 0
【(2)の解答】
f(x) = x(x − 3)² = 0 より、x = 0, 3（重解）
0 ≤ x ≤ 3 で f(x) ≥ 0 なので、
S = ∫₀³ (x³ − 6x² + 9x) dx
= [x⁴/4 − 2x³ + 9x²/2]₀³
= 81/4 − 54 + 81/2
= 81/4 − 54 + 162/4
= 243/4 − 54
= 243/4 − 216/4
= 27/4
答：27/4
【別解：公式を利用】
y = x(x − 3)² と x 軸で囲まれた面積は、
∫₀³ x(x − 3)² dx において、x − 3 = t とおくと dx = dt、x = t + 3
x: 0 → 3 のとき t: −3 → 0
= ∫_{-3}^{0} (t + 3)t² dt = ∫_{-3}^{0} (t³ + 3t²) dt
= [t⁴/4 + t³]_{-3}^{0} = 0 − (81/4 − 27) = 27 − 81/4 = 27/4
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ここまで2019年度小樽商科大学の数学を徹底解説してきましたが、いかがでしたか？
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小樽商科大学合格者の声
「整数問題が苦手でしたが、パターンを整理して教えてもらい、本番では完答できました！」
— 北海道出身 Aさん（2023年度合格）
「場合分けの問題で毎回ミスしていましたが、グラフを描く習慣をつけたら安定して解けるようになりました。」
— 東北出身 Bさん（2022年度合格）
「オンラインなので部活と両立できました。先生が親身になって相談に乗ってくれたのが心強かったです。」
— 関東出身 Cさん（2023年度合格）
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よくあるご質問
Q. オンライン授業でも効果はありますか？
A. はい、画面共有で板書を見ながら、対面授業と同じクオリティの指導を受けられます。むしろ通塾時間がゼロになる分、学習時間を増やせるというメリットもあります。
Q. 数学が本当に苦手なのですが、大丈夫ですか？
A. もちろんです。基礎の基礎から丁寧に指導します。苦手な人ほど伸びしろがありますので、一緒に頑張りましょう！
Q. 小樽商科大学以外の大学も対応していますか？
A. はい、全国の国公立大学・私立大学に対応しています。志望校に合わせた対策が可能です。
Q. 授業料はどのくらいですか？
A. 詳細は無料体験時にご説明いたします。まずはお気軽にお問い合わせください。
まとめ：2019年度 小樽商科大学数学のポイント
最後に、この記事で解説した内容をまとめておきます。
2019年度の出題内容
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標得点率 |
|---|---|---|---|
| 第1問 | 2次関数の最大・最小（場合分け） | 標準 | 80%以上 |
| 第2問 | 確率・期待値（反復試行） | 標準 | 70%以上 |
| 第3問 | 整数問題（不定方程式） | 標準〜やや難 | 70%以上 |
| 第4問 | 微分法・積分法（面積） | 標準 | 70%以上 |
合格に向けた5つのアドバイス
- 基礎を徹底する：教科書レベルの問題を完璧に解けるようにする
- 場合分けを得意にする：2次関数・絶対値など、場合分けが必要な問題を重点的に演習
- 整数問題に慣れる：不定方程式の解法、余りによる分類をマスター
- 計算力を鍛える：日頃から計算練習を怠らず、速さと正確さを両立
- 過去問を徹底活用：最低10年分を解き、傾向と時間配分を把握
最後に：藤原先生からのメッセージ
小樽商科大学は、北海道を代表する名門国立大学です。社会科学系の単科大学として、実学を重視した教育で多くの優秀な人材を輩出してきました。
数学の入試問題は、決して「難問奇問」ではありません。基本に忠実に、丁寧に問題を解く力があれば、十分に合格点を取ることができます。
「今の自分には難しそう...」と感じた人も、正しい方法で学習を続ければ必ず力はつきます。私も数強塾・日本数学塾の講師として、皆さんの合格を全力でサポートします。
この記事が、小樽商科大学を目指す皆さんの学習の一助となれば幸いです。
一緒に頑張りましょう！
数強塾・日本数学塾 講師
藤原 進之介
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