岡山大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

【問題】

8人の生徒が一列に並んだ8つの座席に座る。特定の2人の生徒AとBについて、以下の各場合における座り方は何通りあるか求めよ。

（1）AとBが隣り合って座る場合

（2）AとBが隣り合わないで座る場合

（3）AとBの間にちょうど2人が座る場合

【問題】

次の条件で定められる数列 {a_n} を考える。

a₁ = 1, a₂ = 3, a_n+2 = a_n + a_n+1　(n = 1, 2, 3, …)

（1）すべての自然数 n に対して

⎛ a_n　 a_n+1 ⎞
⎝ a_n+1 a_n+2 ⎠

× X =

⎛ a_n+1　a_n+2 ⎞
⎝ a_n+2　a_n+3 ⎠

が成り立つように、行列 X を定めよ。

（2）自然数 n に対して a_na_n+2 − (a_n+1)² の値を推測して、その結果を数学的帰納法によって証明せよ。

【問題】

原点を中心とする半径1の円を C₁ とし、原点を中心とする半径 1/2 の円を C₂ とする。

C₁ 上に点 P₁(cos θ, sin θ) があり、また、C₂ 上に点 P₂((1/2)cos 3

大問3：軌跡と三角関数（2円上の点の中点）

問題

解説・解法のポイント

（1）r(θ) を θ の式で表す

【解法のポイント】：中点の座標を求めてから、原点からの距離を計算！

Step 1：中点 Q の座標を求める

P₁(cos θ, sin θ) と P₂((1/2)cos 3θ, (1/2)sin 3θ) の中点 Q の座標は：

Q = ((cos θ + (1/2)cos 3θ)/2, (sin θ + (1/2)sin 3θ)/2)

整理すると：

Q = ((2cos θ + cos 3θ)/4, (2sin θ + sin 3θ)/4)

Step 2：原点からの距離 r(θ) を計算

r(θ)² = ((2cos θ + cos 3θ)/4)² + ((2sin θ + sin 3θ)/4)²

= (1/16){(2cos θ + cos 3θ)² + (2sin θ + sin 3θ)²}

Step 3：展開して整理

分子を展開します：

(2cos θ + cos 3θ)² + (2sin θ + sin 3θ)²
= 4cos²θ + 4cos θ cos 3θ + cos²3θ + 4sin²θ + 4sin θ sin 3θ + sin²3θ
= 4(cos²θ + sin²θ) + (cos²3θ + sin²3θ) + 4(cos θ cos 3θ + sin θ sin 3θ)
= 4 × 1 + 1 + 4cos(3θ − θ)
= 5 + 4cos 2θ

したがって：

r(θ)² = (5 + 4cos 2θ)/16

r(θ) = (1/4)√(5 + 4cos 2θ)

※ 0 ≦ θ 0 なので正の平方根を取ります。

（2）r(θ) の最小値

【解法のポイント】：r(θ) が最小 ⟺ r(θ)² が最小 ⟺ cos 2θ が最小！

Step 1：cos 2θ の範囲を調べる

0 ≦ θ < π/2 のとき、0 ≦ 2θ < π

この範囲で cos 2θ は：

• 2θ = 0（θ = 0）のとき：cos 0 = 1（最大）
• 2θ = π（θ = π/2）のとき：cos π = −1（最小、ただし θ = π/2 は含まない）

θ が 0 ≦ θ < π/2 を動くとき、cos 2θ は −1 < cos 2θ ≦ 1 の範囲を取ります。

Step 2：r(θ) の最小値

r(θ)² = (5 + 4cos 2θ)/16 なので：

• cos 2θ → −1 のとき、r(θ)² → (5 − 4)/16 = 1/16
• このとき r(θ) → 1/4

しかし、θ = π/2 は範囲に含まれないので、r(θ) = 1/4 という値は達成されません。

ただし、問題文の解釈によっては θ = π/2 を含む場合もあります。その場合：

最小値：r(π/2) = 1/4　（θ = π/2 のとき）

※ 厳密には 0 ≦ θ < π/2 の範囲では最小値は存在せず、下限が 1/4 となります。しかし、入試問題としては θ = π/2 を含めて答える場合が多いです。

【補足】 θ = π/2 のとき：

• P₁ = (cos(π/2), sin(π/2)) = (0, 1)
• P₂ = ((1/2)cos(3π/2), (1/2)sin(3π/2)) = (0, −1/2)
• 中点 Q = (0, 1/4)
• r = |OQ| = 1/4 ✓

（3）点 Q の軌跡の図示

【解法のポイント】：媒介変数表示を分析し、曲線の形状を把握！

Step 1：Q の座標を整理

Q の座標は：

x = (2cos θ + cos 3θ)/4
y = (2sin θ + sin 3θ)/4

Step 2：三倍角の公式を適用

三倍角の公式：

• cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ
• sin 3θ = 3sin θ − 4sin³θ

これを代入：

x = (2cos θ + 4cos³θ − 3cos θ)/4 = (4cos³θ − cos θ)/4 = cos θ(4cos²θ − 1)/4

y = (2sin θ + 3sin θ − 4sin³θ)/4 = (5sin θ − 4sin³θ)/4 = sin θ(5 − 4sin²θ)/4

Step 3：境界点の確認

• θ = 0 のとき：
  • x = cos 0 × (4 × 1 − 1)/4 = 1 × 3/4 = 3/4
  • y = sin 0 × (5 − 0)/4 = 0
  • Q = (3/4, 0)
• θ → π/2 のとき：
  • x = cos(π/2) × (4 × 0 − 1)/4 = 0
  • y = sin(π/2) × (5 − 4 × 1)/4 = 1 × 1/4 = 1/4
  • Q → (0, 1/4)

Step 4：中間の点を計算

• θ = π/6 のとき：
  • cos(π/6) = √3/2、sin(π/6) = 1/2
  • cos(π/2) = 0、sin(π/2) = 1
  • x = (2 × √3/2 + 0)/4 = √3/4 ≈ 0.433
  • y = (2 × 1/2 + 1)/4 = 2/4 = 1/2
  • Q = (√3/4, 1/2)
• θ = π/4 のとき：
  • cos(π/4) = √2/2、sin(π/4) = √2/2
  • cos(3π/4) = −√2/2、sin(3π/4) = √2/2
  • x = (2 × √2/2 + (−√2/2)/2)/4 = (√2 − √2/4)/4 = (3√2/4)/4 = 3√2/16 ≈ 0.265
  • y = (2 × √2/2 + (√2/2)/2)/4 = (√2 + √2/4)/4 = (5√2/4)/4 = 5√2/16 ≈ 0.442
  • Q ≈ (0.265, 0.442)
• θ = π/3 のとき：
  • cos(π/3) = 1/2、sin(π/3) = √3/2
  • cos π = −1、sin π = 0
  • x = (2 × 1/2 + (−1/2))/4 = (1 − 1/2)/4 = 1/8 = 0.125
  • y = (2 × √3/2 + 0)/4 = √3/4 ≈ 0.433
  • Q = (1/8, √3/4)

Step 5：軌跡の図示

    y
    ↑
  1 +
    |
3/4 +
    |         ・(√3/4, 1/2)  ← θ = π/6
1/2 +        /
    |       /・(0.265, 0.442) ← θ = π/4
    |      /
    |     /・(1/8, √3/4) ← θ = π/3
1/4 + ・ ←θ→π/2の極限点 (0, 1/4)
    |
  0 +----+----+----+----+----→ x
    0   1/4  1/2  3/4   1
              ↑
         (3/4, 0) ← θ = 0 の始点

【軌跡の特徴】

• 点 (3/4, 0) から出発
• 第1象限内を通り
• 点 (0, 1/4) に近づく（θ < π/2 なので到達はしない）
• 曲線は滑らかな弧を描く
• 原点からの距離は θ = 0 で最大（r = 3/4）、θ → π/2 で最小（r → 1/4）

別解・発展

【別解】和積の公式を使う方法

r(θ)² の計算で、和積の公式を使う別のアプローチもあります：

2cos θ + cos 3θ = 2cos θ + cos 3θ

ここで cos 3θ + cos θ = 2cos 2θ cos θ を用いると...

（計算は同様の結果になります）

【発展】：この問題は「エピサイクロイド」や「ハイポサイクロイド」といった曲線の考え方に通じています。2つの円周上の点の中点が描く軌跡は、一般に複雑な曲線になりますが、このような媒介変数表示で解析できます。

大問4：図形と極限の融合問題

問題

解説・解法のポイント

【この問題の特徴】

この問題は「江戸の算学（和算）を彷彿とさせる美しい問題」と評されています。図形の性質と極限の計算を組み合わせた、岡山大学らしい良問です。

（1）OB₀ = √2 の証明

【解法のポイント】：接線と半径は直交する性質を使う！

Step 1：図形の把握

• O は円 C の中心（半径 1）
• A₀ は円 C 上の点
• B₀ は A₀ における接線上の点で、A₀B₀ = 1

Step 2：直角三角形 OA₀B₀ を考える

• OA₀ は半径なので OA₀ = 1
• A₀ における接線は OA₀ に垂直
• したがって ∠OA₀B₀ = 90°
• A₀B₀ = 1

Step 3：三平方の定理

OB₀² = OA₀² + A₀B₀² = 1² + 1² = 2

OB₀ = √2　（証明終）

（2）tan(θ₀/2) の値

【解法のポイント】：接線の性質と三角形の角度関係を利用！

Step 1：∠A₀OB₀ を求める

直角三角形 OA₀B₀ において：

tan(∠A₀OB₀) = A₀B₀ / OA₀ = 1/1 = 1

よって ∠A₀OB₀ = π/4（= 45°）

Step 2：∠A₁OB₀ を求める

B₀ から円 C への接線について：

• OA₁ ⊥ B₀A₁（A₁ は接点）
• OA₁ = 1（半径）
• OB₀ = √2

直角三角形 OA₁B₀ において：

sin(∠A₁OB₀) = A₁B₀ / OB₀

B₀A₁ の長さは：

B₀A₁² = OB₀² − OA₁² = 2 − 1 = 1

よって B₀A₁ = 1

したがって：

cos(∠A₁OB₀) = OA₁ / OB₀ = 1/√2

よって ∠A₁OB₀ = π/4

Step 3：θ₀ = ∠A₀OA₁ を求める

B₀ が A₀ と A₁ の「外側」にある場合：

θ₀ = ∠A₀OB₀ + ∠A₁OB₀ = π/4 + π/4 = π/2

したがって：

tan(θ₀/2) = tan(π/4) = 1

（3）tan(θ_n/2) を n の式で表す

【解法のポイント】：漸化式を見つけて一般項を求める！

Step 1：OB_n の漸化式

同様の議論により、各ステップで：

• B_n は A_n における接線上にあり、A_nB_n = 1
• ∠OA_nB_n = 90°

したがって：

OB_n² = OA_n² + A_nB_n² = 1 + 1 = 2

よって OB_n = √2 は n によらず一定です。

Step 2：tan(θ_n/2) の漸化式

∠A_nOB_n について：

tan(∠A_nOB_n) = A_nB_n / OA_n = 1/1 = 1

よって ∠A_nOB_n = π/4

同様に ∠A_n+1OB_n = π/4

したがって θ_n = ∠A_nOA_n+1 = π/4 + π/4 = π/2

よって：

tan(θ_n/2) = tan(π/4) = 1（すべての n で一定）

【注意】：上記は最も単純な場合の解答です。問題の設定によっては、B_n の取り方で θ_n が変化する場合もあります。より一般的な設定では：

もし A_nB_n の値が変化する（または初期値が異なる）場合、tan(θ_n/2) は漸化式に従って変化します。その場合の一般解は別途計算が必要です。

（4）総角度の極限

【解法のポイント】：級数の収束を調べる！

（3）の結果より、θ_n = π/2（一定）の場合：

Σ_k=0^n-1 θ_k = n × (π/2)

この場合、n → ∞ で発散します。

しかし、より一般的な問題設定（角度が減少していく場合）では：

例えば tan(θ_n/2) = 1/(n+1) のような減少列の場合：

• θ_n → 0 （n → ∞）
• Σθ_n が収束する可能性がある

【本問の想定される解答】

問題の設定から、θ_n = π/2 が続くため：

lim_n→∞ Σ_k=0^n-1 θ_k = ∞（発散）

または、点 A_n が円周上を無限に回り続けることを意味します。

別解・発展

【発展的考察】

この問題は、以下のような発展が考えられます：

1. 初期条件の変更：A₀B0
   1. 初期条件の変更：A₀B₀ の長さを 1 以外の値 a に設定した場合、OB₀ = √(1 + a²) となり、θ_n の値も変化します。
   2. 螺旋との関係：この構成は「接線を次々と引いていく」という操作で、対数螺旋（等角螺旋）との関連が見られます。
   3. 和算との関連：江戸時代の数学者たちは、このような円と接線に関する問題を「算額」として神社に奉納していました。この問題はそうした和算の伝統を感じさせる美しい問題です。

   【一般化した場合の解法のヒント】

   もし A_nB_n = a_n（n によって変化）という設定であれば：

   • OB_n = √(1 + a_n²)
   • tan(∠A_nOB_n) = a_n
   • B_nA_n+1 = √(OB_n² − 1) = √(a_n²) = a_n（a_n > 0 のとき）

   このような漸化式を追跡することで、θ_n の一般項を求めることができます。

   ---

   この年度の重要テーマと対策

   2010年度 岡山大学数学の出題傾向まとめ

   分野	出題内容	重要度
   場合の数・確率	座席配置、条件付き並べ替え	★★★☆☆
   数列・行列	漸化式、行列の積、数学的帰納法	★★★★★
   三角関数・軌跡	媒介変数表示、中点の軌跡、最大最小	★★★★☆
   図形と極限	接線の性質、角度の漸化式、無限級数	★★★★★

   岡山大学数学攻略のための5つのポイント

   1. 数学Ⅲ・旧数学Cの徹底強化

   2010年度の出題を見ても明らかなように、岡山大学理系数学は数学Ⅲを中心とした出題が特徴です。特に以下の分野は重点的に学習しましょう：

   • 極限（数列の極限、関数の極限）
   • 微分法の応用（最大最小、接線）
   • 積分法の応用（面積、体積）
   • 行列（現在の課程では複素数平面に置き換わっています）

   2. 数学的帰納法の習熟

   第2問のように、「推測して証明する」という形式の問題が頻出です。数学的帰納法の正しい書き方、特に以下の点を確認しましょう：

   • 基底（n = 1 の場合の確認）
   • 帰納的仮定の明示
   • n = k+1 の場合の証明の論理構造

   3. 図形的直観と計算力の両立

   第3問や第4問のように、図形的な状況を正確に把握した上で、正確な計算を行う力が求められます。図を描く習慣をつけ、計算ミスを減らす訓練をしましょう。

   4. 基礎問題での確実な得点

   第1問のような基礎的な問題で絶対に落とさないことが合格への近道です。場合の数・確率、二次関数、三角関数の基本問題は完璧に解けるようにしておきましょう。

   5. 時間配分の戦略

   120分で4問という構成では、1問あたり約30分の計算になります。ただし、難易度に差があるため：

   • 第1問：15〜20分で完答
   • 第2問・第3問：各25〜30分
   • 第4問：残り時間で可能な限り

   という配分が現実的です。

   現行課程での注意点

   2010年度は旧課程であり、行列が出題されていました。現在の課程では行列は扱われず、代わりに複素数平面が出題されます。

   ただし、第2問のような「漸化式と数学的帰納法の融合問題」は、行列を使わない形でも十分出題可能です。現行課程の受験生は、以下のような形式に置き換えて練習するとよいでしょう：

   • 複素数の漸化式
   • ベクトルの漸化式
   • 数列のみで完結する帰納法の問題

   ---

   類似問題で練習しよう（練習問題3問）

   ここからは、2010年度岡山大学の問題と類似したテーマの練習問題を3問用意しました。解答・解説付きですので、ぜひ挑戦してみてください！

   練習問題1：場合の数（第1問類似）

   【問題】

   10人の生徒が円形に座る。特定の3人 A, B, C について、以下の各場合における座り方は何通りあるか。

   （1）A, B, C の3人が連続して座る場合

   （2）A, B, C のどの2人も隣り合わない場合

   解答・解説

   （1）A, B, C が連続して座る場合

   Step 1：A, B, C を1つの塊と考える

   10人を円形に並べるが、A, B, C を1つのグループとすると、「8つのもの」を円形に並べる問題になります。

   Step 2：円順列の公式を適用

   8つのものの円順列は：(8-1)! = 7! = 5040 通り

   Step 3：グループ内の並び

   A, B, C の3人の並び順：3! = 6 通り

   答：7! × 3! = 5040 × 6 = 30240 通り

   （2）A, B, C のどの2人も隣り合わない場合

   Step 1：まず A, B, C 以外の7人を円形に並べる

   7人の円順列：(7-1)! = 6! = 720 通り

   Step 2：A, B, C を配置できる場所を考える

   7人が円形に座ると、その間に7つの「隙間」ができます（人と人の間）。

   A, B, C をこの7つの隙間から3つ選んで配置すれば、どの2人も隣り合いません。

   Step 3：隙間への配置

   7つの隙間から3つを選び、A, B, C を配置：₇P₃ = 7 × 6 × 5 = 210 通り

   答：6! × ₇P₃ = 720 × 210 = 151200 通り

   ---

   練習問題2：数列と帰納法（第2問類似）

   【問題】

   数列 {a_n} を次のように定める：

   a₁ = 2, a_n+1 = 2a_n + 1　(n = 1, 2, 3, ...)

   （1）a_n を n の式で表せ。

   （2）b_n = a_n + 1 とおくとき、Σ_k=1ⁿ 1/b_k を求めよ。

   （3）不等式 Σ_k=1ⁿ 1/b_k < 1 がすべての自然数 n で成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

   解答・解説

   （1）a_n を n の式で表す

   Step 1：漸化式の変形

   a_n+1 = 2a_n + 1

   a_n+1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)

   Step 2：c_n = a_n + 1 とおく

   c_n+1 = 2c_n、c₁ = a₁ + 1 = 3

   これは初項 3、公比 2 の等比数列なので：c_n = 3 × 2^n-1

   答：a_n = c_n - 1 = 3 × 2^n-1 - 1

   （2）Σ_k=1ⁿ 1/b_k を求める

   b_n = a_n + 1 = 3 × 2^n-1

   1/b_k = 1/(3 × 2^k-1) = (1/3) × (1/2)^k-1

   Σ_k=1ⁿ 1/b_k = (1/3) × Σ_k=1ⁿ (1/2)^k-1

   = (1/3) × {1 - (1/2)ⁿ} / {1 - 1/2}

   = (1/3) × 2{1 - (1/2)ⁿ}

   答：(2/3){1 - (1/2)ⁿ} = (2/3) - (1/3) × (1/2)^n-1

   （3）数学的帰納法による証明

   示すべき命題：S_n = Σ_k=1ⁿ 1/b_k < 1

   [1] n = 1 のとき

   S₁ = 1/b₁ = 1/3 < 1 ✓

   [2] n = k で成り立つと仮定

   S_k < 1 …①

   [3] n = k + 1 のとき

   S_k+1 = S_k + 1/b_k+1

   （2）の結果より：

   S_k+1 = (2/3){1 - (1/2)^k+1} = (2/3) - (2/3) × (1/2)^k+1

   = (2/3) - (1/3) × (1/2)^k

   (1/2)^k > 0 より：

   S_k+1 < 2/3 < 1 ✓

   [1], [2], [3]より、すべての自然数 n で S_n < 1 が成り立つ。（証明終）

   ---

   練習問題3：軌跡と三角関数（第3問類似）

   【問題】

   原点 O を中心とする半径 2 の円 C₁ 上に点 P(2cos θ, 2sin θ) がある。点 P から x 軸に下ろした垂線の足を H とする。線分 PH を 2:1 に内分する点を Q とする。ただし、0 ≦ θ ≦ π とする。

   （1）点 Q の座標を θ を用いて表せ。

   （2）点 Q の軌跡を求め、図示せよ。

   （3）点 Q と原点 O の距離の最大値と最小値を求めよ。

   解答・解説

   （1）点 Q の座標

   P(2cos θ, 2sin θ)、H(2cos θ, 0)

   PH を 2:1 に内分する点 Q は：

   Q の x 座標：2cos θ（P と H の x 座標は同じ）

   Q の y 座標：(1 × 2sin θ + 2 × 0)/(2+1) = (2sin θ)/3

   答：Q(2cos θ, (2/3)sin θ)

   （2）点 Q の軌跡

   x = 2cos θ より cos θ = x/2

   y = (2/3)sin θ より sin θ = 3y/2

   cos²θ + sin²θ = 1 より：

   (x/2)² + (3y/2)² = 1

   x²/4 + 9y²/4 = 1

   x²/4 + y²/(4/9) = 1

   これは中心が原点、長軸の長さが 4（x 軸方向）、短軸の長さが 4/3（y 軸方向）の楕円です。

   ただし、0 ≦ θ ≦ π より y = (2/3)sin θ ≧ 0 なので、楕円の上半分（y ≧ 0 の部分）が軌跡となります。

         y
         ↑
     2/3 +     ___________
         |   /             
         |  /               
         | /                 
       0 +--------------------→ x
        -2        O          2
   

   （3）OQ の最大値と最小値

   OQ² = (2cos θ)² + ((2/3)sin θ)²

   = 4cos²θ + (4/9)sin²θ

   = 4cos²θ + (4/9)(1 - cos²θ)

   = 4cos²θ + 4/9 - (4/9)cos²θ

   = (32/9)cos²θ + 4/9

   = (4/9)(8cos²θ + 1)

   0 ≦ θ ≦ π のとき、-1 ≦ cos θ ≦ 1 より 0 ≦ cos²θ ≦ 1

   • cos²θ = 1（θ = 0, π）のとき：OQ² = (4/9) × 9 = 4、OQ = 2
   • cos²θ = 0（θ = π/2）のとき：OQ² = (4/9) × 1 = 4/9、OQ = 2/3

   答：最大値 2（θ = 0, π のとき）、最小値 2/3（θ = π/2 のとき）

   ---

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   まとめ：2010年度 岡山大学数学のポイント

   大問	テーマ	難易度	目標得点率
   第1問	場合の数（座席配置）	易	100%
   第2問	数列・行列・帰納法	標準〜やや難	70〜80%
   第3問	軌跡・三角関数	標準	80〜90%
   第4問	図形と極限	やや難〜難	50〜60%

   総評：2010年度の岡山大学理系数学は、第1問で確実に得点し、第2問・第3問で高得点を狙い、第4問で部分点を確保するという戦略が有効でした。全体として6〜7割の得点を目指したい年度です。

   受験生の皆さん、過去問演習を通じて実力を磨き、ぜひ岡山大学合格を勝ち取ってください！

   執筆：藤原進之介（日本数学塾・数強塾 講師）