岡山大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は岡山大学 2009年度（平成21年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。岡山大学は中国・四国地方を代表する総合大学であり、医学部・理学部・工学部・農学部など理系学部を中心に多くの受験生が挑戦する人気校です。

2009年度の数学入試は、基礎力を問う標準的な問題から思考力・応用力を試す良問までバランスよく出題されており、岡山大学らしい「正確な計算力」と「論理的な記述力」が求められる試験でした。この記事では、実際に出題された問題を忠実に再現し、各問題の解法のポイント、別解、そして効果的な対策法まで余すところなくお伝えします。

岡山大学を志望する受験生の皆さん、そして数学力を高めたいすべての方にとって、この記事が合格への確かな一歩となることを願っています！

試験概要・難易度

試験形式と時間配分

2009年度の全体講評

2009年度の岡山大学数学は、全体的に標準〜やや難のレベルでした。特徴的だったのは以下の点です：

• 確率と図形の融合問題：サイコロを用いた単位円周上の点の移動という、確率と三角関数を組み合わせた斬新な出題がありました。
• 計算力重視：各問題において、最後まで正確に計算を遂行する力が求められました。
• 論理的記述の重要性：「理由を付けて答えよ」という形式の設問があり、単に答えを出すだけでなく、なぜその答えになるのかを説明する力が試されました。
• 数学Ⅲの重要性：理系学部では微分・積分、極限など数学Ⅲの範囲からの出題が合否を分けました。

合格ラインは学部によって異なりますが、理系学部では60〜70%程度の得点が目安となります。部分点を確実に積み上げる戦略が重要です。

大問1：確率と三角関数の融合問題（サイコロと単位円周上の点の回転）

問題

解説・解法のポイント

(1) 回転角の合計が π となる目の出方

【解法の方針】

さいころの目 k が出たとき、回転角は π/k です。回転角の合計が π となるためには：

π/k₁ + π/k₂ + ... + π/kₘ = π

両辺を π で割ると：

1/k₁ + 1/k₂ + ... + 1/kₘ = 1

となります。ここで k₁, k₂, ... は1から6の整数です。

【場合分けと数え上げ】

・1回で合計 π となる場合：

1/k = 1 となるのは k = 1 のときのみ。

→ 1通り

・2回で合計 π となる場合：

1/k₁ + 1/k₂ = 1 を満たす組み合わせを探します。

• 1/2 + 1/2 = 1 → 目の出方：(2, 2) → 1通り
• 1/3 + 1/? = 1 → 1/? = 2/3（不可）

→ 1通り

・3回で合計 π となる場合：

1/k₁ + 1/k₂ + 1/k₃ = 1 を満たす組み合わせ：

• 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 → 目の出方の並べ方：3! = 6通り
• 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1 → 目の出方の並べ方：3!/2! = 3通り
• 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 → 目の出方：(3, 3, 3) → 1通り

→ 6 + 3 + 1 = 10通り

・4回で合計 π となる場合：

• 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/? = 1 → 1/? = 1/12（6を超えるので不可）
• 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 → 目の出方の並べ方：4!/3! = 4通り
• 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1 → 目の出方の並べ方：4!/(2!×2!) = 6通り
• 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 → 目の出方：(4, 4, 4, 4) → 1通り

→ 4 + 6 + 1 = 11通り

・5回以上の場合：

1/6 × 5 = 5/6 < 1 なので、すべて6を出しても π に達しない。

1/5 × 5 = 1 ですが、目は1〜6なので5は含まれる。しかし、

最小の回転角は π/6 なので、6回以上振っても最大で 6 × π/6 = π です。

• 1/6 × 6 = 1 → 目の出方：(6, 6, 6, 6, 6, 6) → 1通り
• 1/4 + 1/6 × 5 = 1/4 + 5/6 = 3/12 + 10/12 = 13/12 > 1（不可）

5回で合計が1となる場合を調べると：

• 1/3 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/3 + 4/6 = 1 → 5!/4! = 5通り
• 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 + 1/2 = 1 → 5!/(2!×3!) = 10通り

→ 5 + 10 = 15通り

6回の場合：

• 1/6 × 6 = 1 → 1通り
• 1/4 + 1/6 × 5 > 1（不可）

→ 1通り

【答え】

1 + 1 + 10 + 11 + 15 + 1 = 39通り

(2) P₄ = P₀ となる目の出方

【解法の方針】

P₄ = P₀ となるためには、4回振った後の回転角の合計が 2π の整数倍（0, 2π, 4π, ...）である必要があります。

π/k₁ + π/k₂ + π/k₃ + π/k₄ = 2mπ （mは0以上の整数）

すなわち：

1/k₁ + 1/k₂ + 1/k₃ + 1/k₄ = 2m

各回の最大回転角は π/1 = π、最小は π/6 なので：

4回の合計は 4 × π/6 = 2π/3 ≤ 合計 ≤ 4π

したがって m = 0 は不可（合計が正）、m = 1（合計 = 2）または m = 2（合計 = 4）を考えます。

・合計 = 2 の場合：

1/k₁ + 1/k₂ + 1/k₃ + 1/k₄ = 2

• (1, 1, 1, 1) → 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ≠ 2（不可）
• (1, 1, 2, 2) → 1 + 1 + 1/2 + 1/2 = 3 ≠ 2（不可）
• (1, 2, 2, 2) → 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2.5 ≠ 2（不可）
• (2, 2, 2, 2) → 1/2 × 4 = 2 ✓ → 1通り
• (1, 1, 3, 3) → 1 + 1 + 1/3 + 1/3 = 8/3 ≠ 2（不可）
• (1, 3, 3, 3) → 1 + 1 = 2 ✓ → 4!/3! = 4通り
• (1, 2, 3, 6) → 1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2 ✓ → 4! = 24通り
• (1, 2, 4, 4) → 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 = 2 ✓ → 4!/2! = 12通り
• (2, 2, 3, 6) → 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/2 ≠ 2（不可）
• (1, 1, 2, ?): 1 + 1 + 1/2 + 1/? = 2 → 1/? = -1/2（不可）

さらに詳しく調べると...

• (1, 1, ∞, ∞): 不可能（目は1〜6）
• (2, 3, 3, 6): 1/2 + 1/3 + 1/3 + 1/6 = 4/3 ≠ 2
• (2, 2, 4, 4): 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 = 3/2 ≠ 2

合計 = 2 となる組み合わせ：

• (2, 2, 2, 2): 1通り
• (1, 3, 3, 3): 4通り
• (1, 2, 3, 6): 24通り
• (1, 2, 4, 4): 12通り

【答え】

1 + 4 + 24 + 12 = 41通り

(3) 三角形 P₁P₂P₃ の面積を最大にする目

【解法の方針】

1回目の目が4、2回目の目が3なので：

• P₀ から P₁ への回転角：π/4
• P₁ から P₂ への回転角：π/3
• P₂ から P₃ への回転角：π/k（k は3回目の目、1〜6）

単位円周上の点の位置を偏角で表すと（P₀ の偏角を 0 とする）：

• P₁ の偏角：θ₁ = π/4
• P₂ の偏角：θ₂ = π/4 + π/3 = 7π/12
• P₃ の偏角：θ₃ = 7π/12 + π/k

各点の座標：

• P₁ = (cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)
• P₂ = (cos(7π/12), sin(7π/12))
• P₃ = (cos(7π/12 + π/k), sin(7π/12 + π/k))

【三角形の面積公式】

単位円に内接する三角形の面積は、各頂点の偏角を α, β, γ とすると：

S = (1/2)|sin(β - α) + sin(γ - β) + sin(α - γ)|

または、外接円の半径 R = 1 の三角形において：

S = (1/2) × |sin(θ₂ - θ₁) + sin(θ₃ - θ₂) + sin(θ₁ - θ₃)|

ここで：

• θ₂ - θ₁ = π/3（固定）
• θ₃ - θ₂ = π/k（変数）
• θ₁ - θ₃ = π/4 - 7π/12 - π/k = -π/3 - π/k

面積を計算すると：

S = (1/2)|sin(π/3) + sin(π/k) + sin(-π/3 - π/k)|

= (1/2)|√3/2 + sin(π/k) - sin(π/3 + π/k)|

【k = 1〜6 での面積の計算】

k = 1: θ₃ - θ₂ = π → P₃ は P₂ の正反対

k = 2: θ₃ - θ₂ = π/2

k = 3: θ₃ - θ₂ = π/3

k = 4: θ₃ - θ₂ = π/4

k = 5: θ₃ - θ₂ = π/5

k = 6: θ₃ - θ₂ = π/6

三角形の面積を最大にするには、3点が単位円周上でなるべく均等に配置される（正三角形に近い）ほうが良いです。

P₁ と P₂ の間の弧の長さに対応する中心角は π/3 です。

正三角形なら各中心角が 2π/3 = 120° になるはずです。

現状：P₀ から P₁ が π/4、P₁ から P₂ が π/3 = 4π/12 なので、

P₂ から P₃ へは、全体の対称性から考えて π が良い選択です。

k = 1 のとき（回転角 π）、三角形の頂点間の角度分布を計算すると：

• ∠P₁OP₂ = π/3
• ∠P₂OP₃ = π
• ∠P₃OP₁ = 2π - π/3 - π = 2π/3

これは P₃ が P₂ の反対側に来るので、三角形が大きく広がります。

【答え】

3回目のさいころの目は 1

【理由】
3回目に1の目が出ると、点 P₂ から点 P₃ への回転角が π となり、P₃ は P₂ と原点に関して正反対の位置に移動する。このとき、三角形 P₁P₂P₃ の3頂点が単位円周上で最も広く分布し、P₂P₃ が直径となるため、三角形の面積が最大となる。直径を一辺とする円に内接する三角形は、残りの頂点が円周上にある限り、直径に対する円周角は 90° となり、面積は最大化される。

別解・発展

【別解：座標計算による厳密な検証】

各点の座標を直接計算し、k = 1〜6 のそれぞれで面積を求めて比較する方法もあります。

P₁ = (cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)
P₂ = (cos(7π/12), sin(7π/12))

cos(7π/12) = cos(π/4 + π/3) = cos(π/4)cos(π/3) - sin(π/4)sin(π/3)
           = (√2/2)(1/2) - (√2/2)(√3/2) = (√2 - √6)/4

sin(7π/12) = sin(π/4 + π/3) = sin(π/4)cos(π/3) + cos(π/4)sin(π/3)
           = (√2/2)(1/2) + (√2/2)(√3/2) = (√2 + √6)/4

P₂ = ((√2 - √6)/4, (√2 + √6)/4)

三角形の面積公式：

S = (1/2)|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

この公式を使い、k = 1〜6 の各場合で面積を計算すると、k = 1 のとき最大となることが確認できます。

【発展】

この問題は、確率・場合の数と三角関数・図形を融合させた良問です。類題として、「正多角形の頂点上をランダムウォークする」問題や、「回転行列を用いた点の移動」問題があります。

大問2：定積分と面積

問題

解説・解法のポイント

(1) 交点の座標

【解法】

f(x) = g(x) を解きます：

x² - 2x = -x² + 4x

2x² - 6x = 0

2x(x - 3) = 0

x = 0, 3

それぞれの y 座標：

• x = 0 のとき：y = f(0) = 0
• x = 3 のとき：y = f(3) = 9 - 6 = 3

【答え】

交点の座標：(0, 0) と (3, 3)

(2) 囲まれた部分の面積

【解法】

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で g(x) ≥ f(x) なので：

S = ∫₀³ {g(x) - f(x)} dx

= ∫₀³ {(-x² + 4x) - (x² - 2x)} dx

= ∫₀³ (-2x² + 6x) dx

= [-⅔x³ + 3x²]₀³

= -⅔(27) + 3(9) - 0

= -18 + 27 = 9

【別解：1/6公式の利用】

2つの2次関数 y = ax² + ... と y = bx² + ... が x = α, β で交わるとき、囲まれる面積は：

S = |a - b|/6 × (β - α)³

本問では：

• a = 1（f(x) の x² の係数）
• b = -1（g(x) の x² の係数）
• α = 0, β = 3

<p style="text-align

S = |1 - (-1)|/6 × (3 - 0)³ = 2/6 × 27 = 9

【答え】

S = 9

(3) 面積を二等分する直線 y = k

【解法の方針】

直線 y = k が2つの放物線と交わる点を求め、y = k より下の部分の面積が S/2 = 9/2 となる k を求めます。

【y = k と各放物線の交点】

y = f(x) = x² - 2x と y = k の交点：

x² - 2x = k

x² - 2x - k = 0

x = 1 ± √(1 + k)

y = g(x) = -x² + 4x と y = k の交点：

-x² + 4x = k

x² - 4x + k = 0

x = 2 ± √(4 - k)

【k の範囲の確認】

f(x) の最小値：f(1) = 1 - 2 = -1

g(x) の最大値：g(2) = -4 + 8 = 4

囲まれた領域内で y = k が両方の放物線と交わるためには -1 ≤ k ≤ 3 が必要です。

【面積の計算】

y = k より下の部分の面積を T(k) とすると、複雑な積分になります。ここでは、y 軸方向の積分を考えます。

領域を y で積分する方法：

T(k) = ∫₋₁ᵏ (右端の x - 左端の x) dy

しかし、この問題では k の値によって積分区間が変わるため、場合分けが必要です。

【0 ≤ k ≤ 3 の場合の面積計算】

y = k より下で、2つの放物線で囲まれた部分の面積は：

まず、g(x) - f(x) = -2x² + 6x = -2x(x - 3) において、

g(x) = k を満たす x を x₁, x₂ (x₁ < x₂)、

f(x) = k を満たす x を x₃, x₄ (x₃ < x₄) とします。

0 ≤ k ≤ 3 のとき：

• x₁ = 2 - √(4 - k), x₂ = 2 + √(4 - k)
• x₃ = 1 - √(1 + k), x₄ = 1 + √(1 + k)

y = k より下の面積 T(k) は、全体の面積 S から y ≥ k の部分を引いて求めます。

対称性と積分計算を進めると、T(k) = S/2 = 9/2 となる k を求める方程式は：

∫₀^(x座標) {g(x) - k} dx + ∫_(x座標)^3 {k - f(x)} dx = 9/2

計算を簡略化するため、面積の関係式を立てます。

y = k と y = g(x) で囲まれる面積（上側）：

S₁ = ∫_{2-√(4-k)}^{2+√(4-k)} {g(x) - k} dx = (4/3)(4-k)^(3/2)

（∵ 1/6公式より、|−1|/6 × (2√(4-k))³ = (1/6) × 8(4-k)^(3/2) = (4/3)(4-k)^(3/2)）

y = k と y = f(x) で囲まれる面積（下側）：

S₂ = ∫_{1-√(1+k)}^{1+√(1+k)} {k - f(x)} dx = (4/3)(1+k)^(3/2)

よって、y ≥ k の部分の面積は：

（上側の三日月形の面積）= S - S₂ - （下側の三日月の外側）

直接的に、y = k より下の面積 = S₂ + （中間部分）と計算するのは複雑なので、

条件 T(k) = 9/2 を数値的に解くか、対称性を利用します。

【対称性からのアプローチ】

2つの放物線の交点 (0, 0) と (3, 3) を結ぶ直線は y = x です。

この領域は直線 y = x に関して対称ではありませんが、中点 (3/2, 3/2) を通る水平線 y = 3/2 で面積が二等分されるかを確認します。

k = 3/2 のとき：

• S₁ = (4/3)(4 - 3/2)^(3/2) = (4/3)(5/2)^(3/2) = (4/3) × (5√5)/(2√2) × (1/2) = (4/3) × 5√10/8
• S₂ = (4/3)(1 + 3/2)^(3/2) = (4/3)(5/2)^(3/2)

S₁ = S₂ となるので、対称性から k = 3/2 で面積が二等分されることが分かります。

【答え】

k = 3/2

別解・発展

【別解】

変数変換 u = x - 3/2 を行うと、2つの放物線は原点対称な形に変換され、面積を二等分する直線が y = 3/2（変換後は y = 0）であることが直接的に分かります。

【発展】

この問題の発展として、「面積を 1:2 に分ける直線」「x 軸に平行でない直線で面積を二等分する」などの問題が考えられます。

大問3：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

(1) bₙ₊₁ を bₙ で表す

【解法】

bₙ = aₙ/3ⁿ より aₙ = bₙ · 3ⁿ

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ に代入：

bₙ₊₁ · 3ⁿ⁺¹ = 2bₙ · 3ⁿ + 3ⁿ

両辺を 3ⁿ⁺¹ で割る：

bₙ₊₁ = (2bₙ · 3ⁿ + 3ⁿ)/3ⁿ⁺¹

bₙ₊₁ = (2bₙ + 1)/3

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3

【答え】

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3

(2) 一般項 aₙ を求める

【解法】

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3 を変形します。

特性方程式：α = (2/3)α + 1/3

α - (2/3)α = 1/3

(1/3)α = 1/3

α = 1

よって bₙ₊₁ - 1 = (2/3)(bₙ - 1) となります。

cₙ = bₙ - 1 とおくと：

cₙ₊₁ = (2/3)cₙ

これは公比 2/3 の等比数列です。

初項：c₁ = b₁ - 1 = a₁/3¹ - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

よって：

cₙ = c₁ · (2/3)ⁿ⁻¹ = (-2/3) · (2/3)ⁿ⁻¹ = -2ⁿ⁻¹/3 · (1/3)ⁿ⁻¹ = -2ⁿ⁻¹/3ⁿ⁻¹ · (1/3)

整理すると：

cₙ = (-2/3) · (2/3)ⁿ⁻¹ = -(2/3)ⁿ = -2ⁿ/3ⁿ

したがって：

bₙ = cₙ + 1 = 1 - 2ⁿ/3ⁿ = (3ⁿ - 2ⁿ)/3ⁿ

aₙ = bₙ · 3ⁿ より：

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】

• a₁ = 3¹ - 2¹ = 3 - 2 = 1 ✓
• a₂ = 2a₁ + 3¹ = 2(1) + 3 = 5、また 3² - 2² = 9 - 4 = 5 ✓
• a₃ = 2a₂ + 3² = 2(5) + 9 = 19、また 3³ - 2³ = 27 - 8 = 19 ✓

【答え】

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

(3) Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ を求める

【解法】

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ - 2ᵏ) = Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ - Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ

等比数列の和の公式より：

Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ = 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2

Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 2ⁿ⁺¹ - 2

したがって：

Sₙ = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - 2ⁿ⁺¹ + 2

= (3ⁿ⁺¹ - 3 - 2ⁿ⁺² + 4)/2

= (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

【答え】

Sₙ = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解：直接法】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ を直接解く方法もあります。

aₙ = α · 2ⁿ + β · 3ⁿ の形を仮定し、漸化式に代入して係数を決定します。

【発展】

同様の漸化式 aₙ₊₁ = paₙ + qⁿ（p ≠ q）の一般的な解法を身につけておくと、様々な応用問題に対応できます。

大問4：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

(1) OM を a, b, c で表す

【解法】

M は辺 BC の中点なので：

OM = (OB + OC)/2 = (b + c)/2

【答え】

OM = (b + c)/2

(2) PM を a, b, c で表す

【解法】

P は辺 OA を 2:1 に内分するので：

OP = (2/3)a

よって：

PM = OM - OP = (b + c)/2 - (2/3)a

= -(2/3)a + (1/2)b + (1/2)c

【答え】

PM = -(2/3)a + (1/2)b + (1/2)c

(3) |PM| を求める

【解法】

|PM|² = PM · PM を計算します。

PM = -(2/3)a + (1/2)b + (1/2)c

|PM|² = (4/9)|a|² + (1/4)|b|² + (1/4)|c|² + 2·(-2/3)·(1/2)(a·b) + 2·(1/2)·(1/2)(b·c) + 2·(-2/3)·(1/2)(c·a)

= (4/9)|a|² + (1/4)|b|² + (1/4)|c|² - (2/3)(a·b) + (1/2)(b·c) - (2/3)(c·a)

与えられた値を代入：

• |a|² = 9, |b|² = 4, |c|² = 4
• a·b = 2, b·c = 1, c·a = 3

|PM|² = (4/9)·9 + (1/4)·4 + (1/4)·4 - (2/3)·2 + (1/2)·1 - (2/3)·3

= 4 + 1 + 1 - 4/3 + 1/2 - 2

= 4 - 4/3 + 1/2

= 24/6 - 8/6 + 3/6

= 19/6

【答え】

|PM| = √(19/6) = √114/6

(4) 直線 PM と平面 OBC のなす角

【解法】

平面 OBC の法線ベクトルを n とすると、n ⊥ b かつ n ⊥ c です。

n = b × c（外積）を求めますが、成分が与えられていないので、別のアプローチを取ります。

直線 PM と平面 OBC のなす角を θ とすると：

sin θ = |PM · n| / (|PM| · |n|)

ここで、PM を平面 OBC への正射影ベクトルと、平面に垂直な成分に分解します。

PM = -(2/3)a + (1/2)b + (1/2)c において、(1/2)b + (1/2)c は平面 OBC 上のベクトルです。

よって、PM の平面 OBC に垂直な成分は、a の平面 OBC に垂直な成分に -(2/3) を掛けたものです。

a を b, c の張る平面への正射影 a' と、垂直成分 a⊥ に分解：

a = a' + a⊥ （a' は平面 OBC 上、a⊥ ⊥ 平面 OBC）

a' = sb + tc とおくと：

• a · b = s|b|² + t(b·c) → 2 = 4s + t
• a · c = s(b·c) + t|c|² → 3 = s + 4t

連立方程式を解く：

第1式より t = 2 - 4s、第2式に代入：

3 = s + 4(2 - 4s) = s + 8 - 16s = -15s + 8

15s = 5, s = 1/3

t = 2 - 4/3 = 2/3

よって a' = (1/3)b + (2/3)c

|a'|² = (1/9)|b|² + (4/9)|c|² + (4/9)(b·c)

= (1/9)·4 + (4/9)·4 + (4/9)·1 = 4/9 + 16/9 + 4/9 = 24/9 = 8/3

|a⊥|² = |a|² - |a'|² = 9 - 8/3 = 19/3

PM の垂直成分 = -(2/3)a⊥ なので：

|垂直成分|² = (4/9)|a⊥|² = (4/9)·(19/3) = 76/27

sin²θ = |垂直成分|²/|PM|² = (76/27)/(19/6) = (76/27)·(6/19) = (76·6)/(27·19) = 456/513 = 8/9

sin θ = 2√2/3

【答え】

sin θ = 2√2/3 より、θ = arcsin(2√2/3)

別解・発展

【発展】

空間ベクトルの問題では、座標を設定して解く方法も有効です。O を原点とし、適切な座標系を設定することで、外積を用いた法線ベクトルの計算なども可能になります。

大問5：微分法と関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

(1) f(x) の増減と極値

【解法】

f(x) = xe^(-x²) を微分します。

積の微分法より：

f'(x) = e^(-x²) + x · (-2x)e^(-x²)

= e^(-x²)(1 - 2x²)

e^(-x²) > 0 なので、f'(x) の符号は (1 - 2x²) の符号で決まります。

1 - 2x² = 0 のとき x² = 1/2、つまり x = ±1/√2 = ±√2/2

【増減表】

【極値の計算】

x = √

x = √2/2 のとき：

f(√2/2) = (√2/2) · e^(-(1/2)) = (√2/2) · e^(-1/2) = √2/(2√e) = √(2/e)/2 = 1/√(2e)

x = -√2/2 のとき：

f(-√2/2) = (-√2/2) · e^(-1/2) = -1/√(2e)

【答え】

極大値：x = √2/2 で f(√2/2) = 1/√(2e)（= √(2e)/2e）
極小値：x = -√2/2 で f(-√2/2) = -1/√(2e)

(2) y = f(x) のグラフの概形

【解法】

①　定義域と値域

f(x) = xe^(-x²) は全ての実数で定義されます。

②　対称性

f(-x) = (-x)e^(-(-x)²) = -xe^(-x²) = -f(x)

よって f(x) は奇関数であり、グラフは原点対称です。

③　極限

x → +∞ のとき：

lim_{x→+∞} xe^(-x²) = lim_{x→+∞} x/e^(x²) = 0

（指数関数の増加が多項式より速いため）

同様に x → -∞ のとき：f(x) → 0

④　変曲点（第2次導関数）

f'(x) = e^(-x²)(1 - 2x²) を微分：

f''(x) = -2xe^(-x²)(1 - 2x²) + e^(-x²)(-4x)

= e^(-x²)[-2x(1 - 2x²) - 4x]

= e^(-x²)[-2x + 4x³ - 4x]

= e^(-x²)[4x³ - 6x]

= 2xe^(-x²)(2x² - 3)

f''(x) = 0 となるのは x = 0, ±√(3/2) = ±√6/2

⑤　グラフの概形

        y
        ↑
   1/√(2e) ┼ ─ ─ ─ ─ ・ ─ ─ ─
        │          /
        │         /  
        │        /    
────────┼───────/────────────→ x
       -√2/2    O      √2/2
        │            /
        │           /
        │          /
  -1/√(2e)┼ ─ ─ ・ ─ ─ ─ ─ ─ ─
        │

【グラフの特徴】

• 原点を通り、原点対称（奇関数）
• x = √2/2 で極大値 1/√(2e) ≈ 0.43
• x = -√2/2 で極小値 -1/√(2e) ≈ -0.43
• x → ±∞ で y → 0（x軸が漸近線）
• x = 0, ±√6/2 で変曲点

(3) x ≥ 0 の部分で x 軸と囲まれた面積

【解法】

x ≥ 0 において f(x) = xe^(-x²) ≥ 0 なので：

S = ∫₀^∞ xe^(-x²) dx

【置換積分】

t = x² とおくと dt = 2x dx、つまり x dx = dt/2

x: 0 → ∞ のとき t: 0 → ∞

S = ∫₀^∞ e^(-t) · (1/2) dt

= (1/2) ∫₀^∞ e^(-t) dt

= (1/2) [-e^(-t)]₀^∞

= (1/2) [0 - (-1)]

= 1/2

【答え】

S = 1/2

別解・発展

【別解：部分積分】

直接計算する場合：

∫ xe^(-x²) dx

において、(e^(-x²))' = -2xe^(-x²) より xe^(-x²) = -(1/2)(e^(-x²))' なので：

∫ xe^(-x²) dx = -(1/2)e^(-x²) + C

よって：

S = [-(1/2)e^(-x²)]₀^∞ = 0 - (-(1/2)) = 1/2

【発展：ガウス積分との関連】

この問題で登場した e^(-x²) は正規分布（ガウス分布）の確率密度関数の核となる関数です。有名なガウス積分：

∫_{-∞}^{∞} e^(-x²) dx = √π

と関連しており、確率・統計への応用もあります。

この年度の重要テーマと対策

2009年度に特に重要だったテーマ

1. 確率と他分野の融合

大問1では、サイコロの目と単位円上の点の回転という、確率・場合の数と三角関数を融合させた問題が出題されました。このような融合問題は、各分野の基礎をしっかり理解した上で、問題の本質を見抜く力が求められます。

対策ポイント：

• 分数の和を用いた場合分けの練習
• 単位円と三角関数の関係を図でイメージする訓練
• 「〇〇を最大にする条件」を求める際の論理的説明力

2. 定積分と面積

大問2のような2つの曲線で囲まれた面積の問題は、岡山大学の定番です。1/6公式などの計算テクニックを身につけておくと効率的に解けます。

対策ポイント：

• 1/6公式、1/12公式の理解と適用練習
• 面積を二等分する直線を求める典型問題の演習
• 積分計算の正確性向上

3. 漸化式と数列

大問3のような漸化式から一般項を求める問題は、解法パターンを身につけることが重要です。

対策ポイント：

• 特性方程式を用いた漸化式の解法
• aₙ₊₁ = paₙ + f(n) 型の漸化式への対応
• 等比数列・等差数列の和の公式の確実な運用

4. 空間ベクトル

大問4のベクトル問題では、基本的な演算に加えて、直線と平面のなす角を求める応用力が試されました。

対策ポイント：

• 内積の計算を正確に行う練習
• 正射影ベクトルの概念理解
• 空間図形を座標で扱う方法の習得

5. 微分法の応用

大問5では、指数関数を含む関数の増減・極値・グラフの問題が出題されました。

対策ポイント：

• 積の微分法、合成関数の微分の徹底
• 増減表の作成とグラフの概形描画
• 広義積分（無限区間の積分）への慣れ

岡山大学数学の出題傾向と全体的な対策

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：確率と図形の融合

【解答】

(1) の解答

時計回りの移動を +1、反時計回りの移動を -1 とする。

3回後に A に戻るには、移動の合計が 0 または ±6 である必要がある。

3回で合計が 0 になるのは不可能（+1 と -1 の個数が等しくならない）。

3回で合計が ±6 になるのも不可能（最大でも +3 または -3）。

答え：0

(2) の解答

6回後に A に戻るには、移動の合計が 0 または ±6 である必要がある。

・合計 0 の場合：表3回、裏3回 → ₆C₃ = 20 通り

・合計 +6 の場合：表6回、裏0回 → 1 通り

・合計 -6 の場合：表0回、裏6回 → 1 通り

全事象：2⁶ = 64 通り

確率 = (20 + 1 + 1)/64 = 22/64 = 11/32

答え：11/32

練習問題2：漸化式と一般項

【解答】

漸化式の両辺を 2ⁿ⁺¹ で割る：

aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = (3aₙ + 2ⁿ)/2ⁿ⁺¹ = (3/2) · (aₙ/2ⁿ) + 1/2

bₙ = aₙ/2ⁿ とおくと：

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

特性方程式：α = (3/2)α + 1/2 より α = -1

bₙ₊₁ + 1 = (3/2)(bₙ + 1)

cₙ = bₙ + 1 とおくと cₙ₊₁ = (3/2)cₙ

c₁ = b₁ + 1 = a₁/2 + 1 = 1 + 1 = 2

cₙ = 2 · (3/2)ⁿ⁻¹ = 2 · 3ⁿ⁻¹/2ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹/2ⁿ⁻²

bₙ = cₙ - 1 = 3ⁿ⁻¹/2ⁿ⁻² - 1

aₙ = bₙ · 2ⁿ = 3ⁿ⁻¹ · 2² - 2ⁿ = 4 · 3ⁿ⁻¹ - 2ⁿ

答え：aₙ = 4 · 3ⁿ⁻¹ - 2ⁿ = (4/3) · 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】a₁ = 4 · 1 - 2 = 2 ✓、a₂ = 3a₁ + 2 = 6 + 2 = 8、4 · 3 - 4 = 8 ✓

練習問題3：微分と最大・最小

【解答】

(1) の解答

f'(x) = 2xe^(-x) + x²(-e^(-x)) = xe^(-x)(2 - x)

x ≥ 0 で f'(x) = 0 となるのは x = 0, 2

増減表より x = 2 で最大値をとる。

f(2) = 4e^(-2) = 4/e²

答え：最大値 4/e²（x = 2 のとき）

(2) の解答

部分積分を2回適用する。

∫₀^∞ x²e^(-x) dx = [-x²e^(-x)]₀^∞ + 2∫₀^∞ xe^(-x) dx

= 0 + 2∫₀^∞ xe^(-x) dx

∫₀^∞ xe^(-x) dx = [-xe^(-x)]₀^∞ + ∫₀^∞ e^(-x) dx = 0 + [-e^(-x)]₀^∞ = 1

よって ∫₀^∞ x²e^(-x) dx = 2 · 1 = 2

答え：2

【補足】この積分は Γ(3) = 2! = 2 というガンマ関数の値に対応しています。

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