お茶の水女子大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

$S(n, 3n)$ を計算すると：

$S(n, 3n) = logfrac{3n}{n} = log 3$

$S(n, 3n) = log 3$（$n$ によらない定数）

【ポイント】$logdfrac{b}{a}$ という形になることで、$a$ と $b$ の比だけが面積を決めることがわかります。これが「$n$ によらない」ことの本質です。

【(2) の解法】区分求積法の逆利用

まず、$S(n, n+k)$ を計算します。

$S(n, n+k) = logfrac{n+k}{n} = logleft(1 + frac{k}{n}right)$

与えられた極限を変形すると：

$displaystylelim_{n to infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{2n} S(n, n+k) = lim_{n to infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{2n} logleft(1 + frac{k}{n}right)$

ここで、$t = dfrac{k}{n}$ とおくと、$k$ が $1$ から $2n$ まで動くとき、$t$ は $dfrac{1}{n}$ から $2$ まで動きます。

$n to infty$ のとき、これは区分求積法の形になります：

$displaystylelim_{n to infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{2n} logleft(1 + frac{k}{n}right) = int_0^2 log(1+t) , dt$

この定積分を計算します。部分積分を用います。

$displaystyleint_0^2 log(1+t) , dt$

$u = log(1+t)$、$dv = dt$ とおくと、$du = dfrac{1}{1+t}dt$、$v = t$ より：

$= left[t cdot log(1+t)right]_0^2 - int_0^2 frac{t}{1+t} dt$

$= 2log 3 - 0 - int_0^2 frac{t}{1+t} dt$

$dfrac{t}{1+t} = 1 - dfrac{1}{1+t}$ と変形して：

$displaystyleint_0^2 frac{t}{1+t} dt = int_0^2 left(1 - frac{1}{1+t}right) dt$

$= left[t - log(1+t)right]_0^2$

$= (2 - log 3) - (0 - log 1)$

$= 2 - log 3$

よって：

$displaystyleint_0^2 log(1+t) , dt = 2log 3 - (2 - log 3) = 3log 3 - 2$

答：$3log 3 - 2$

別解・発展

【別解】置換積分を用いる方法

$displaystyleint_0^2 log(1+t) , dt$ において、$s = 1 + t$ とおくと $ds = dt$、積分範囲は $1$ から $3$ に変わるので：

$= displaystyleint_1^3 log s , ds = left[slog s - sright]_1^3$

$= (3log 3 - 3) - (1 cdot log 1 - 1)$

$= 3log 3 - 3 - 0 + 1 = 3log 3 - 2$

【発展】区分求積法のパターン認識

区分求積法では、$displaystylelim_{n to infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} fleft(frac{k}{n}right) = int_0^1 f(x) dx$ が基本形です。

今回は $sum_{k=1}^{2n}$ となっているため、積分区間が $[0, 2]$ になることに注意しましょう。

大問3：三角関数と証明（共通問題）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】三角関数の合成

$sintheta + costheta$ を合成します。

$sintheta + costheta = sqrt{2}sinleft(theta + frac{pi}{4}right)$

$0 < theta < dfrac{pi}{2}$ のとき、$dfrac{pi}{4} < theta + dfrac{pi}{4} < dfrac{3pi}{4}$ です。

この範囲で $sinleft(theta + dfrac{pi}{4}right)$ の最大値は、$theta + dfrac{pi}{4} = dfrac{pi}{2}$、すなわち $theta = dfrac{pi}{4}$ のとき $1$ です。

最大値：$sqrt{2}$（$theta = dfrac{pi}{4}$ のとき）

【(2) の解法】相加相乗平均の不等式

相加相乗平均の不等式より：

$dfrac{sintheta + costheta}{2} geq sqrt{sintheta costheta}$

両辺を2乗すると：

$dfrac{(sintheta + costheta)^2}{4} geq sintheta costheta$

$(1)$ より $sintheta + costheta leq sqrt{2}$ なので：

$(sintheta + costheta)^2 leq 2$

別の方法として、$(sintheta + costheta)^2 = 1 + 2sinthetacostheta$ を用いると：

$sinthetacostheta = dfrac{(sintheta + costheta)^2 - 1}{2}$

$(sintheta + costheta)^2 leq 2$ より：

$sinthetacostheta leq dfrac{2 - 1}{2} = dfrac{1}{2}$

よって、$sinthetacostheta leq dfrac{1}{2}$（証明終）

【(3) の解法】因数分解と置換

$f(theta) = sin^3theta + cos^3theta$ を因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab)$ を用いて：

$f(theta) = (sintheta + costheta)(sin^2theta - sinthetacostheta + cos^2theta)$

$= (sintheta + costheta)(1 - sinthetacostheta)$

ここで $t = sintheta + costheta$ とおくと、$t^2 = 1 + 2sinthetacostheta$ より：

$sinthetacostheta = dfrac{t^2 - 1}{2}$

したがって：

$f(theta) = tleft(1 - dfrac{t^2 - 1}{2}right) = t cdot dfrac{3 - t^2}{2} = dfrac{t(3 - t^2)}{2} = dfrac{3t - t^3}{2}$

$0 < theta < dfrac{pi}{2}$ のとき、$1 < t leq sqrt{2}$ です（$t = 1$ は $theta = 0$ または $theta = dfrac{pi}{2}$ で、これらは範囲外）。

$g(t) = dfrac{3t - t^3}{2}$ の増減を調べます。

$g'(t) = dfrac{3 - 3t^2}{2} = dfrac{3(1 - t^2)}{2}$

$t > 1$ のとき $g'(t) < 0$ なので、$g(t)$ は減少関数です。

よって：

• $t to 1^+$ のとき $g(t) to dfrac{3 cdot 1 - 1}{2} = 1$（最大値に近づく、ただし達しない）
• $t = sqrt{2}$ のとき $g(sqrt{2}) = dfrac{3sqrt{2} - 2sqrt{2}}{2} = dfrac{sqrt{2}}{2}$

最大値：なし（上限 $1$ に近づくが達しない）
最小値：$dfrac{sqrt{2}}{2}$（$theta = dfrac{pi}{4}$ のとき）

※ 問題の設定によっては、端点を含む閉区間で考える場合があり、その場合は最大値も存在します。

別解・発展

【発展】3乗の和の因数分解の活用

$sin^3theta + cos^3theta$ のような対称式は、$sintheta + costheta = t$ とおいて $t$ の関数に変換するのが定石です。このテクニックは他大学の入試でも頻出です。

大問4：空間ベクトルと体積（理学部数学科専門）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】ベクトルの外積を利用

$vec{AB} = B - A = (-1, 1, 0)$

$vec{AC} = C - A = (-1, 0, 1)$

三角形の面積は $dfrac{1}{2}|vec{AB} times vec{AC}|$ で求められます。

外積を計算：

$vec{AB} times vec{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 end{vmatrix}$

$= vec{i}(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - vec{j}((-1) cdot 1 - 0 cdot (-1)) + vec{k}((-1) cdot 0 - 1 cdot (-1))$

$= vec{i}(1) - vec{j}(-1) + vec{k}(1)$

$= (1, 1, 1)$

$|vec{AB} times vec{AC}| = sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = sqrt{3}$

三角形 $ABC$ の面積 $= dfrac{sqrt{3}}{2}$

【(2) の解法】平面の方程式と垂線の足

平面 $ABC$ の法線ベクトルは $vec{n} = (1, 1, 1)$（外積の結果）です。

平面 $ABC$ の方程式は、点 $A(1, 0, 0)$ を通ることから：</p

平面 $ABC$ の方程式は、点 $A(1, 0, 0)$ を通ることから：

$1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$

$x + y + z = 1$

点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $x + y + z = 1$ に下ろした垂線は、法線ベクトル $(1, 1, 1)$ の方向に進みます。

垂線の媒介変数表示：$(x, y, z) = (t, t, t)$（$t$ は実数）

これが平面 $x + y + z = 1$ 上にあるとき：

$t + t + t = 1$
$3t = 1$
$t = dfrac{1}{3}$

垂線の足 $H$ の座標：$left(dfrac{1}{3}, dfrac{1}{3}, dfrac{1}{3}right)$

【(3) の解法】四面体の体積公式

四面体の体積は $dfrac{1}{3} times text{底面積} times text{高さ}$ で求められます。

底面を三角形 $ABC$ とすると、面積は $(1)$ より $dfrac{sqrt{3}}{2}$ です。

高さは点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離、すなわち $|OH|$ です。

$|OH| = sqrt{left(dfrac{1}{3}right)^2 + left(dfrac{1}{3}right)^2 + left(dfrac{1}{3}right)^2} = sqrt{dfrac{3}{9}} = dfrac{1}{sqrt{3}}$

よって、四面体の体積は：

$V = dfrac{1}{3} times dfrac{sqrt{3}}{2} times dfrac{1}{sqrt{3}} = dfrac{1}{3} times dfrac{1}{2} = dfrac{1}{6}$

四面体 $OABC$ の体積 $= dfrac{1}{6}$

別解・発展

【別解】スカラー三重積を用いる方法

四面体の体積は、3つのベクトル $vec{OA}$、$vec{OB}$、$vec{OC}$ を用いて次のように計算できます：

$V = dfrac{1}{6}|vec{OA} cdot (vec{OB} times vec{OC})|$

$vec{OA} = (1, 0, 0)$、$vec{OB} = (0, 1, 0)$、$vec{OC} = (0, 0, 1)$ より：

$vec{OB} times vec{OC} = (1, 0, 0)$

$vec{OA} cdot (vec{OB} times vec{OC}) = (1, 0, 0) cdot (1, 0, 0) = 1$

$V = dfrac{1}{6} times |1| = dfrac{1}{6}$

【発展】単位立方体との関係

この四面体は、1辺1の立方体の8分の1を切り取った形になっています。立方体の体積1に対して、四面体の体積が $dfrac{1}{6}$ であることは、立方体を6つの合同な四面体に分割できることを意味しています。

大問5：数列と漸化式（共通問題）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】特性方程式による変換

$a_{n+1} = 2a_n + 3$ の形の漸化式では、特性方程式 $alpha = 2alpha + 3$ を解きます。

$alpha = 2alpha + 3$
$-alpha = 3$
$alpha = -3$

よって、$a_{n+1} - (-3) = 2(a_n - (-3))$、すなわち $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ となります。

$b_n = a_n + 3$ とおくと：

$b_{n+1} = 2b_n$

これは公比2の等比数列です。$b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$ より：

$b_n = 4 cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

【(2) の解法】置換を戻す

$b_n = a_n + 3 = 2^{n+1}$ より：

$a_n = 2^{n+1} - 3$

【検算】

• $a_1 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ ✓
• $a_2 = 2 cdot 1 + 3 = 5$、また $a_2 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓
• $a_3 = 2 cdot 5 + 3 = 13$、また $a_3 = 2^4 - 3 = 16 - 3 = 13$ ✓

【(3) の解法】等比数列の和

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 3)$

$= displaystylesum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - sum_{k=1}^{n} 3$

$= displaystylesum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3n$

$displaystylesum_{k=1}^{n} 2^{k+1} = 2^2 + 2^3 + cdots + 2^{n+1}$

これは初項 $4$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和なので：

$= 4 cdot dfrac{2^n - 1}{2 - 1} = 4(2^n - 1) = 2^{n+2} - 4$

よって：

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = 2^{n+2} - 4 - 3n = 2^{n+2} - 3n - 4$

別解・発展

【別解】階差を利用する方法

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を繰り返し代入して一般項を求めることもできます。

$a_2 = 2a_1 + 3 = 2 cdot 1 + 3 = 5$
$a_3 = 2a_2 + 3 = 2 cdot 5 + 3 = 13$
$a_4 = 2a_3 + 3 = 2 cdot 13 + 3 = 29$

規則性を見つけると、$a_n = 2^{n+1} - 3$ と推測でき、数学的帰納法で証明できます。

【発展】一般の1次漸化式

$a_{n+1} = pa_n + q$（$p neq 1$）の形の漸化式は、特性方程式 $alpha = palpha + q$ を解いて $alpha = dfrac{q}{1-p}$ を求め、$b_n = a_n - alpha$ とおくと等比数列に帰着できます。

大問6：確率と期待値（理学部選択問題）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】場合分けと確率計算

「ちょうど3回目で終了する」とは、「1回目と2回目のうち、ちょうど1回が赤玉で、3回目が赤玉」ということです。

パターン1：1回目が赤、2回目が白、3回目が赤

$P_1 = dfrac{3}{5} times dfrac{2}{4} times dfrac{2}{3} = dfrac{12}{60} = dfrac{1}{5}$

パターン2：1回目が白、2回目が赤、3回目が赤

$P_2 = dfrac{2}{5} times dfrac{3}{4} times dfrac{2}{3} = dfrac{12}{60} = dfrac{1}{5}$

よって、ちょうど3回目で終了する確率は：

$P_1 + P_2 = dfrac{1}{5} + dfrac{1}{5} = dfrac{2}{5}$

【(2) の解法】すべての場合を列挙

終了するまでの回数として考えられるのは、2回、3回、4回のいずれかです。

2回で終了する確率（赤、赤）

$P(X=2) = dfrac{3}{5} times dfrac{2}{4} = dfrac{6}{20} = dfrac{3}{10}$

3回で終了する確率

$(1)$ より：

$P(X=3) = dfrac{2}{5}$

4回で終了する確率

4回目で終了するのは、1〜3回目のうち赤が1回、白が2回のパターンです。

パターン：赤白白赤、白赤白赤、白白赤赤

赤白白赤：$dfrac{3}{5} times dfrac{2}{4} times dfrac{1}{3} times dfrac{2}{2} = dfrac{6}{60} = dfrac{1}{10}$

白赤白赤：$dfrac{2}{5} times dfrac{3}{4} times dfrac{1}{3} times dfrac{2}{2} = dfrac{6}{60} = dfrac{1}{10}$

白白赤赤：$dfrac{2}{5} times dfrac{1}{4} times dfrac{3}{3} times dfrac{2}{2} = dfrac{2}{20} = dfrac{1}{10}$

$P(X=4) = dfrac{1}{10} + dfrac{1}{10} + dfrac{1}{10} = dfrac{3}{10}$

【検算】確率の総和

$P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = dfrac{3}{10} + dfrac{2}{5} + dfrac{3}{10} = dfrac{3}{10} + dfrac{4}{10} + dfrac{3}{10} = 1$ ✓

期待値の計算

$E[X] = 2 times dfrac{3}{10} + 3 times dfrac{2}{5} + 4 times dfrac{3}{10}$

$= dfrac{6}{10} + dfrac{6}{5} + dfrac{12}{10}$

$= dfrac{6}{10} + dfrac{12}{10} + dfrac{12}{10}$

$= dfrac{30}{10} = 3$

期待値 $= 3$

別解・発展

【発展】負の二項分布との関連

この問題は「r回目の成功が起こるまでの試行回数」を求める問題で、負の二項分布の考え方が応用できます。ただし、本問は非復元抽出なので、超幾何分布の要素も含んでいます。

この年度の重要テーマと対策

2015年度に出題された重要テーマ

お茶の水女子大学 数学の傾向と対策

1. 計算力の強化が必須

お茶大の数学は、計算量が多めです。特に積分計算、対数計算は素早く正確にできるよう訓練しましょう。2015年度の第2問のように、対数の性質を駆使する問題が頻出です。

2. 証明問題への対応力

「〜を示せ」「〜を証明せよ」という形式の問題が必ず出題されます。論理的な答案の書き方を練習し、飛躍のない証明ができるようにしましょう。

3. 典型問題の完全習得

お茶大の問題は、標準的な典型問題の組み合わせで構成されることが多いです。教科書レベルの問題を確実に解けるようにした上で、過去問演習を積みましょう。

4. 時間配分の練習

100分で3題を解く必要があるため、1題あたり約30分が目安です。難しい問題に時間をかけすぎず、取れる問題を確実に取る戦略が重要です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：積分と面積

【解答・解説】

(1) の解答

$T(a) = displaystyleint_0^a e^x dx = left[e^xright]_0^a = e^a - 1$

答：$T(a) = e^a - 1$

(2) の解答

$displaystylelim_{n to infty} dfrac{1}{n} sum_{k=1}^{n} Tleft(dfrac{k}{n}right) = lim_{n to infty} dfrac{1}{n} sum_{k=1}^{n} left(e^{k/n} - 1right)$

区分求積法より：

$= displaystyleint_0^1 (e^x - 1) dx = left[e^x - xright]_0^1 = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$

答：$e - 2$

練習問題2：三角関数の最大最小

【解答・解説】

$t = sintheta + costheta$ とおくと、$t = sqrt{2}sinleft(theta + dfrac{pi}{4}right)$ より、$0 leq theta leq dfrac{pi}{2}$ のとき $1 leq t leq sqrt{2}$ です。

また、$t^2 = 1 + 2sinthetacostheta$ より $sinthetacostheta = dfrac{t^2 - 1}{2}$ です。

$f(theta) = t + dfrac{t^2 - 1}{2} = dfrac{t^2 + 2t - 1}{2}$

$g(t) = dfrac{t^2 + 2t - 1}{2}$ は $t$ について単調増加（$g'(t) = t + 1 > 0$ for $t geq 1$）なので：

• $t = 1$ のとき最小値：$g(1) = dfrac{1 + 2 - 1}{2} = 1$
• $t = sqrt{2}$ のとき最大値：$g(sqrt{2}) = dfrac{2 + 2sqrt{2} - 1}{2} = dfrac{1 + 2sqrt{2}}{2}$

最大値：$dfrac{1 + 2sqrt{2}}{2}$（$theta = dfrac{pi}{4}$ のとき）
最小値：$1$（$theta = 0$ または $theta = dfrac{pi}{2}$ のとき）

練習問題3：漸化式と和

【解答・解説】

(1) の解答

特性方程式 $alpha = 3alpha - 4$ より $alpha = 2$ です。

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ とおくと、$b_n = a_n - 2$ は公比3の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 2 = 0$ より、$b_n = 0$ for all $n$。

答：$a_n = 2$（定数列）

(2) の解答

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

答：$2n$

【ポイント】特性方程式の解と初項が一致する場合、定数列になります。このパターンも覚えておきましょう。

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お茶の水女子大学の数学は、基礎力と計算力の両方が問われる良問が多いのが特徴です。しかし、独学では「自分の弱点がわからない」「効率的な勉強法がわからない」といった壁にぶつかることも多いでしょう。

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まとめ：2015年度 お茶の水女子大学 数学のポイント

今回は、お茶の水女子大学 2015年度の数学入試問題を詳しく解説しました。最後に、この年度のポイントをまとめておきましょう。

今後の学習に向けて

お茶の水女子大学の数学は、奇問・難問は少なく、標準的な問題を確実に解く力が求められます。そのため、以下の学習方針をおすすめします：

1. 基礎の徹底：教科書レベルの問題を完璧にする
2. 典型問題の習得：チャート式やFocus Goldなどの網羅系問題集で典型パターンを身につける
3. 計算力の強化：毎日の計算練習で、ミスなく素早く計算できるようにする
4. 過去問演習：最低10年分は解き、出題傾向を把握する
5. 時間を計って演習：本番を想定した時間配分の練習を積む

数学は正しい方法で継続的に学習すれば、必ず成績は上がります。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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