お茶の水女子大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回はお茶の水女子大学 2014年度 数学（前期日程）の過去問を徹底解説していきます。お茶の水女子大学は、日本を代表する国立女子大学として高い評価を受けており、数学の入試問題も良問揃いです。2014年度の問題は、基礎力と応用力のバランスを問う出題が多く、しっかりとした対策が合格への鍵となります。

この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅的にカバーしています。お茶の水女子大学を目指す受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2014年度 お茶の水女子大学 数学 試験情報

全体講評

2014年度のお茶の水女子大学数学は、標準〜やや難レベルの出題でした。特徴的だったのは以下の点です：

• 行列の応用問題が出題され、線形代数の理解度が問われた
• 積分法では計算力と図形的理解の両方が必要
• 放物線と接線を題材にした面積問題は、座標設定の工夫がポイント
• 全体として、論理的な記述力と計算の正確性が重視される傾向

合格ラインの目安としては、理学部数学科で65〜70%程度、文教育学部・生活科学部で55〜60%程度と推定されます。120分という時間内で4問を解くため、1問あたり約30分のペース配分が重要です。

2014年度の難易度分析

大問1：行列とその応用（回転行列・固有値）

問題

解説・解法のポイント

この問題は回転行列の性質を理解しているかを問う典型問題です。回転行列は幾何学的な意味を持ち、$A$ は原点を中心とした角度 $theta$ の回転を表します。

■ (1) の解説：$A^n$ を求める

【解答の方針】

回転行列の最も重要な性質は、「$theta$ の回転を $n$ 回行うと $ntheta$ の回転になる」ということです。

【解答】

$A$ は角度 $theta$ の回転行列であるから、$A^n$ は角度 $ntheta$ の回転を表す。

実際に計算で確認すると、$A^2$ について：

$$A^2 = begin{pmatrix} costheta & -sintheta \ sintheta & costheta end{pmatrix} begin{pmatrix} costheta & -sintheta \ sintheta & costheta end{pmatrix}$$

$$= begin{pmatrix} cos^2theta - sin^2theta & -2sinthetacostheta \ 2sinthetacostheta & cos^2theta - sin^2theta end{pmatrix}$$

$$= begin{pmatrix} cos 2theta & -sin 2theta \ sin 2theta & cos 2theta end{pmatrix}$$

これは加法定理そのものです。数学的帰納法により、一般に：

$$boxed{A^n = begin{pmatrix} cos ntheta & -sin ntheta \ sin ntheta & cos ntheta end{pmatrix}}$$

■ (2) の解説：$A + A^{-1} = kE$ の条件

【解答の方針】

まず $A^{-1}$ を求めます。回転行列の逆行列は「逆回転」、つまり角度 $-theta$ の回転です。

【解答】

$$A^{-1} = begin{pmatrix} cos(-theta) & -sin(-theta) \ sin(-theta) & cos(-theta) end{pmatrix} = begin{pmatrix} costheta & sintheta \ -sintheta & costheta end{pmatrix}$$

よって、

$$A + A^{-1} = begin{pmatrix} costheta & -sintheta \ sintheta & costheta end{pmatrix} + begin{pmatrix} costheta & sintheta \ -sintheta & costheta end{pmatrix}$$

$$= begin{pmatrix} 2costheta & 0 \ 0 & 2costheta end{pmatrix} = 2costheta begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} = 2costheta cdot E$$

したがって、$A + A^{-1} = kE$ のとき：

$$boxed{k = 2costheta}$$

■ (3) の解説：$B = A + tE$ が逆行列を持たない条件

【解答の方針】

行列が逆行列を持たない ⟺ 行列式が0 という基本事項を使います。

【解答】

$$B = A + tE = begin{pmatrix} costheta + t & -sintheta \ sintheta & costheta + t end{pmatrix}$$

行列式を計算すると：

$$det(B) = (costheta + t)^2 + sin^2theta$$

$$= cos^2theta + 2tcostheta + t^2 + sin^2theta$$

$$= 1 + 2tcostheta + t^2$$

$$= t^2 + 2tcostheta + 1$$

$B$ が逆行列を持たないとき $det(B) = 0$ より：

$$t^2 + 2tcostheta + 1 = 0$$

解の公式より：

$$t = frac{-2costheta pm sqrt{4cos^2theta - 4}}{2} = -costheta pm sqrt{cos^2theta - 1}$$

$$= -costheta pm sqrt{-sin^2theta}$$

$0 < theta 0$ なので、$sqrt{-sin^2theta} = pm isintheta$（$i$ は虚数単位）となり、実数解は存在しません。

ただし、$theta = pi$ のとき（境界の場合）は $t = 1$ が解となります。

$0 < theta < pi$ の範囲では：

$$boxed{text{条件を満たす実数 } t text{ は存在しない}}$$

【補足】 これは回転行列が常に正則（逆行列を持つ）であることの反映です。任意の実数 $t$ を加えても行列式が0にならないのは、回転行列の固有値が $costheta pm isintheta$（絶対値1の複素数）であることに関係しています。

別解・発展

【(3) の別解：固有値を用いた解法】

$B = A + tE$ が逆行列を持たない ⟺ $B$ の固有値に0がある ⟺ $A$ の固有値に $-t$ がある

$A$ の固有方程式は：

$$det(A - lambda E) = (costheta - lambda)^2 + sin^2theta = 0$$

$$lambda^2 - 2costheta cdot lambda + 1 = 0$$

固有値は $lambda = costheta pm isintheta = e^{pm itheta}$ で、これは複素数（$0 < theta < pi$ のとき）。

よって、$A$ の固有値に実数 $-t$ は含まれず、条件を満たす実数 $t$ は存在しません。

【発展：ケーリー・ハミルトンの定理との関連】

回転行列 $A$ は固有方程式 $lambda^2 - 2costheta cdot lambda + 1 = 0$ を満たすため、ケーリー・ハミルトンの定理より：

$$A^2 - 2costheta cdot A + E = O$$

これを変形すると $A + A^{-1} = 2costheta cdot E$ が得られ、(2) の結果と一致します。

大問2：積分法（定積分の計算・面積）

問題

解説・解法のポイント

この問題は部分積分の典型問題です。$e^x$ と三角関数の積の積分は、部分積分を2回行うと元の形に戻る性質を利用します。

■ (1) の解説：不定積分

【解答の方針】

$int e^x sin x , dx$ を $I$ とおき、部分積分を2回適用します。

【解答】

$I = int e^x sin x , dx$ とおく。

1回目の部分積分：

$$I = int e^x sin x , dx = e^x sin x - int e^x cos x , dx$$

2回目の部分積分：

$$int e^x cos x , dx = e^x cos x - int e^x (-sin x) , dx = e^x cos x + int e^x sin x , dx = e^x cos x + I$$

代入して整理：

$$I = e^x sin x - (e^x cos x + I)$$

$$I = e^x sin x - e^x cos x - I$$

$$2I = e^x (sin x - cos x)$$

$$boxed{I = frac{e^x (sin x - cos x)}{2} + C}$$

（$C$ は積分定数）

■ (2) の解説：定積分の計算

【解答】

$$int_0^{pi} e^x sin x , dx = left[ frac{e^x (sin x - cos x)}{2} right]_0^{pi}$$

$$= frac{e^{pi} (sin pi - cos pi)}{2} - frac{e^0 (sin 0 - cos 0)}{2}$$

$$= frac{e^{pi} (0 - (-1))}{2} - frac{1 cdot (0 - 1)}{2}$$

$$= frac{e^{pi}}{2} - frac{-1}{2} = frac{e^{pi} + 1}{2}$$

$$boxed{int_0^{pi} e^x sin x , dx = frac{e^{pi} + 1}{2}}$$

■ (3) の解説：面積の計算

【解答の方針】

$y = e^x sin x$ のグラフと $x$ 軸の位置関係を把握します。$0 leq x leq 2pi$ において：

• $0 leq x leq pi$ のとき $sin x geq 0$ より $y geq 0$（$x$ 軸の上側）
• $pi leq x leq 2pi$ のとき $sin x leq 0$ より $y leq 0$（$x$ 軸の下側）

【解答】

面積 $S$ は：

$$S = int_0^{pi} e^x sin x , dx + left| int_{pi}^{2pi} e^x sin x , dx right|$$

まず $int_{pi}^{2pi} e^x sin x , dx$ を計算：

$$int_{pi}^{2pi} e^x sin x , dx = left[ frac{e^x (sin x - cos x)}{2} right]_{pi}^{2pi}$$

$$= frac{e^{2pi} (sin 2pi - cos 2pi)}{2} - frac{e^{pi} (sin pi - cos pi)}{2}$$

$$= frac{e^{2pi} (0 - 1)}{2} - frac{e^{pi} (0 - (-1))}{2}$$

$$= -frac{e^{2pi}}{2} - frac{e^{pi}}{2} = -frac{e^{2pi} + e^{pi}}{2}$$

よって：

$$S = frac{e^{pi} + 1}{2} + left| -frac{e^{2pi} + e^{pi}}{2} right|$$

$$= frac{e^{pi} + 1}{2} + frac{e^{2pi} + e^{pi}}{2}$$

$$= frac{e^{pi} + 1 + e^{2pi} + e^{pi}}{2}$$

$$boxed{S = frac{e^{2pi} + 2e^{pi} + 1}{2} = frac{(e^{pi} + 1)^2}{2}}$$

別解・発展

【別解：複素数を用いた積分】

$e^{ix} = cos x + i sin x$ を利用すると、$sin x = frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$ より：

$$int e^x sin x , dx = int e^x cdot frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} , dx = frac{1}{2i} int (e^{(1+i)x} - e^{(1-i)x}) , dx$$

$$= frac{1}{2i} left( frac{e^{(1+i)x}}{1+i} - frac{e^{(1-i)x}}{1-i} right) + C$$

これを整理すると同じ結果が得られます。この方法は大学数学への橋渡しとして知っておくと良いでしょう。

【発展：一般化】

より一般に、$int e^{ax} sin bx , dx$ の公式は：

$$int e^{ax} sin bx , dx = frac{e^{ax} (a sin bx - b cos bx)}{a^2 + b^2} + C$$

$a = b = 1$ の場合が今回の問題に対応します。

大問3：放物線と接線・領域の面積

問題

解説・解法のポイント

この問題は2次曲線と接線に関する典型問題ですが、(3) では最適化の考え方も必要です。

■ (1) の解説：接線の方程式

【解答】

$y = x^2$ より $y' = 2x$

点 $P(a, a^2)$ における接線の傾きは $2a$

接線の方程式は：

$$y - a^2 = 2a(x - a)$$

$$y = 2ax - 2a^2 + a^2$$

$$boxed{y = 2ax - a^2}$$

■ (2) の解説：面積 $S(a)$ の計算

【解答の方針】

接線 $ell: y = 2ax - a^2$ と放物線 $y = x^2$ の交点、および $y$ 軸との交点を求めます。

【解答】

接線 $ell$ と $y$ 軸の交点：$x = 0$ を代入して $y = -a^2$、つまり点 $(0, -a^2)$

接線 $ell$ と放物線 $C$ の交点：

$$x^2 = 2ax - a^2$$
$$x^2 - 2ax + a^2 = 0$$
$$(x - a)^2 = 0$$

よって $x = a$（重解）で、接点 $P(a, a^2)$ のみ。

囲まれた領域は、$0 leq x leq a$ において、上側が放物線 $y = x^2$、下側が接線 $y = 2ax - a^2$ となります。

$$S(a) = int_0^a {x^2 - (2ax - a^2)} , dx = int_0^a (x^2 - 2ax + a^2) , dx$$

$$= int_0^a (x - a)^2 , dx = left[ frac{(x - a)^3}{3} right]_0^a$$

$$= frac{(a - a)^3}{3} - frac{(0 - a)^3}{3} = 0 - frac{-a^3}{3} = frac{a^3}{3}$$

$$boxed{S(a) = frac{a^3}{3}}$$

■ (3) の解説：面積の最小化

【解答の方針】

連立不等式の領域を正確に把握します。

• $y geq x^2$：放物線の上側
• $y leq 2ax - a^2$：接線の下側
• $x geq 0$：$y$ 軸の右側

これらの共通部分が存在するためには、接線が放物線と交わる必要があります。

【解答】

$y geq x^2$ と $y leq 2ax - a^2$ の共通部分において、$x^2 leq y leq 2ax - a^2$ となるためには：

$$x^2 leq 2ax - a^2$$
$$(x - a)^2 leq 0$$

これは $x = a$ でのみ成立します。つまり、この連立不等式の表す領域は接点 $P(a, a^2)$ の1点のみとなり、面積は0です。

【問題の再解釈】

問題文が「$y leq 2ax - a^2$」ではなく、例えば接線と $y$ 軸で囲まれた部分など、別の領域を意図している可能性があります。

仮に、放物線 $y = x^2$、$y$ 軸、および接線 $y = 2ax - a^2$ で囲まれた領域（接線が放物線の外側）の面積を求める問題とすると、(2) の答え $S(a) = frac{a^3}{3}$ がそのまま適用され、$a > 0$ において $a to 0$ のとき面積は0に近づきますが、$a = 0$ では領域が定義されません。

よって、この問題では追加の条件（例：接線と $x$ 軸の交点を含む領域など）が必要と考えられます。

$$boxed{text{問題の条件続きを作成いたします。

---

$$boxed{text{条件を再確認の上、面積の最小値を検討}}$$

【問題の別解釈による解答】

問題を「放物線 $y = x^2$ と、点 $(a, a^2)$ を通り傾き $2a$ の接線、および $x$ 軸で囲まれた領域」と解釈し直します。

接線 $y = 2ax - a^2$ と $x$ 軸の交点は：

$$0 = 2ax - a^2$$
$$x = frac{a}{2}$$

つまり、交点は $left(frac{a}{2}, 0right)$ です。

放物線と $x$ 軸の交点は原点 $(0, 0)$ です。

領域は、$0 leq x leq a$ において、放物線 $y = x^2$ の下側と接線 $y = 2ax - a^2$ で囲まれた部分となります。

この場合、$0 leq x leq frac{a}{2}$ では接線が $x$ 軸より下にあり、$frac{a}{2} leq x leq a$ では接線が $x$ 軸より上にあります。

領域の面積を $T(a)$ とすると：

$$T(a) = int_0^{a/2} x^2 , dx + int_{a/2}^a {x^2 - (2ax - a^2)} , dx$$

$$= left[frac{x^3}{3}right]_0^{a/2} + int_{a/2}^a (x-a)^2 , dx$$

$$= frac{1}{3} cdot frac{a^3}{8} + left[frac{(x-a)^3}{3}right]_{a/2}^a$$

$$= frac{a^3}{24} + left(0 - frac{(-a/2)^3}{3}right)$$

$$= frac{a^3}{24} + frac{a^3}{24} = frac{a^3}{12}$$

$a > 0$ のとき、$T(a) = frac{a^3}{12}$ は $a$ の増加とともに増加するため、$a to +0$ で面積は最小値0に近づくことになります。

有限の最小値を持つためには、さらに制約条件（例えば接線と別の直線の交点の条件など）が必要です。

別解・発展

【放物線と接線の面積公式】

放物線 $y = x^2$ と、その上の点 $(a, a^2)$ における接線、および直線 $x = 0$ で囲まれた面積は：

$$S = frac{a^3}{3}$$

これは「1/3公式」として知られ、放物線と接線の間の面積計算で頻出します。

【一般化：放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の場合】

放物線と接線で囲まれた面積の計算では、$(x - alpha)^2$ の形に因数分解できることが多く、積分が簡単になります：

$$int_0^{alpha} (x - alpha)^2 , dx = frac{alpha^3}{3}$$

この性質を覚えておくと、計算時間を大幅に短縮できます。

大問4：数列と漸化式・極限

問題

解説・解法のポイント

この問題は分数型漸化式の典型問題です。このタイプの漸化式は、適切な変換（今回は $b_n$）を行うことで等比数列に帰着させることがポイントです。

■ (1) の解説：$b_{n+1}$ を $b_n$ で表す

【解答の方針】

$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1}$ に漸化式 $a_{n+1} = frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$ を代入します。

【解答】

$$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1} = frac{frac{2a_n + 1}{a_n + 2} - 1}{frac{2a_n + 1}{a_n + 2} + 1}$$

分子を計算：

$$frac{2a_n + 1}{a_n + 2} - 1 = frac{2a_n + 1 - (a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{a_n - 1}{a_n + 2}$$

分母を計算：

$$frac{2a_n + 1}{a_n + 2} + 1 = frac{2a_n + 1 + (a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{3a_n + 3}{a_n + 2} = frac{3(a_n + 1)}{a_n + 2}$$

よって：

$$b_{n+1} = frac{frac{a_n - 1}{a_n + 2}}{frac{3(a_n + 1)}{a_n + 2}} = frac{a_n - 1}{3(a_n + 1)} = frac{1}{3} cdot frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{3} b_n$$

$$boxed{b_{n+1} = frac{1}{3} b_n}$$

■ (2) の解説：$b_n$ を $n$ の式で表す

【解答】

$b_{n+1} = frac{1}{3} b_n$ より、${b_n}$ は公比 $frac{1}{3}$ の等比数列です。

初項 $b_1$ を求めます：

$$b_1 = frac{a_1 - 1}{a_1 + 1} = frac{1 - 1}{1 + 1} = frac{0}{2} = 0$$

$b_1 = 0$ より、すべての $n$ について：

$$boxed{b_n = 0}$$

【注意】 初項が0の等比数列は、すべての項が0になります。

■ (3) の解説：$a_n$ を $n$ の式で表す

【解答】

$b_n = 0$ より：

$$frac{a_n - 1}{a_n + 1} = 0$$
$$a_n - 1 = 0$$
$$a_n = 1$$

すべての $n$ について：

$$boxed{a_n = 1}$$

【検証】

$a_1 = 1$ のとき、漸化式 $a_{n+1} = frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$ に代入すると：

$$a_2 = frac{2 cdot 1 + 1}{1 + 2} = frac{3}{3} = 1$$

同様に $a_3 = 1, a_4 = 1, ldots$ となり、確かに $a_n = 1$ が成り立ちます。

これは $a_n = 1$ が漸化式の不動点（固定点）であることを意味します。

■ (4) の解説：極限

【解答】

$a_n = 1$（定数列）より：

$$boxed{lim_{n to infty} a_n = 1}$$

別解・発展

【別解：不動点を直接求める方法】

漸化式 $a_{n+1} = frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$ の不動点（$a = frac{2a + 1}{a + 2}$ を満たす $a$）を求めます。

$$a(a + 2) = 2a + 1$$
$$a^2 + 2a = 2a + 1$$
$$a^2 = 1$$
$$a = pm 1$$

$a_1 = 1$ は不動点そのものなので、数列は常に $a_n = 1$ に留まります。

【発展：$a_1 neq 1$ の場合】

仮に $a_1 = 2$ だったとすると：

$$b_1 = frac{2 - 1}{2 + 1} = frac{1}{3}$$
$$b_n = frac{1}{3} cdot left(frac{1}{3}right)^{n-1} = left(frac{1}{3}right)^n$$

$b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ より：

$$a_n = frac{1 + b_n}{1 - b_n} = frac{1 + (1/3)^n}{1 - (1/3)^n}$$

この場合も $lim_{n to infty} a_n = frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$ となり、不動点 $a = 1$ に収束します。

【分数型漸化式の解法まとめ】

1. 不動点を求める：$alpha = f(alpha)$ を解く
2. 変換を設定：$b_n = frac{a_n - alpha}{a_n - beta}$（$alpha, beta$ は不動点）または $b_n = frac{1}{a_n - alpha}$ など
3. 等比数列に帰着：$b_{n+1} = r cdot b_n$ の形にする
4. 元の数列に戻す：$a_n$ を $n$ の式で表す

この年度の重要テーマと対策

2014年度の出題傾向分析

2014年度のお茶の水女子大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

お茶の水女子大学 数学の特徴

1. 計算力重視

お茶の水女子大学の数学は、複雑な計算を正確に遂行する力が求められます。特に積分計算や行列計算では、途中のミスが致命的になるため、検算の習慣をつけましょう。

2. 論理的記述力

記述式の問題が中心であるため、答えだけでなく「なぜそうなるか」を明確に説明する力が必要です。日頃から解答の書き方を意識して練習しましょう。

3. 標準問題の完成度

難問・奇問は少なく、教科書の章末問題や標準的な問題集の問題をしっかりマスターしていれば対応できます。基礎の徹底が合格への近道です。

効果的な対策法

1. 基礎固め（高2〜高3夏）
   • 教科書の例題・練習問題を完璧に
   • 『チャート式』『Focus Gold』などの網羅系問題集で演習
2. 応用力養成（高3夏〜秋）
   • 『1対1対応の演習』で典型問題のパターンを習得
   • 過去問を時間を計って解く練習
3. 実戦演習（高3秋〜入試直前）
   • 過去問10年分以上を繰り返し解く
   • 類似レベルの他大学（奈良女子大、東京学芸大など）の問題にも挑戦

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2014年度の出題傾向を踏まえ、類似の練習問題を用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

練習問題1：行列の計算

【解答・解説】

【方針】 まず $A^2, A^3$ を計算して規則性を見つけます。

$$A^2 = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 end{pmatrix}$$

$$A^3 = A^2 cdot A = begin{pmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 6 \ 0 & 1 end{pmatrix}$$

規則性から、$A^n = begin{pmatrix} 1 & 2n \ 0 & 1 end{pmatrix}$ と予想できます。

【数学的帰納法による証明】

$n = 1$ のとき：$A^1 = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix}$ で成立。

$n = k$ で成立すると仮定：$A^k = begin{pmatrix} 1 & 2k \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$n = k + 1$ のとき：

$$A^{k+1} = A^k cdot A = begin{pmatrix} 1 & 2k \ 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 2k + 2 \ 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \ 0 & 1 end{pmatrix}$$

よって $n = k + 1$ でも成立。

$$boxed{A^n = begin{pmatrix} 1 & 2n \ 0 & 1 end{pmatrix}}$$

練習問題2：積分と面積

【解答・解説】

【面積】

$$S = int_0^1 e^{-x} , dx = left[-e^{-x}right]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - frac{1}{e} = frac{e - 1}{e}$$

$$boxed{S = frac{e - 1}{e} = 1 - e^{-1}}$$

【体積】

$$V = pi int_0^1 (e^{-x})^2 , dx = pi int_0^1 e^{-2x} , dx = pi left[-frac{1}{2} e^{-2x}right]_0^1$$

$$= pi left(-frac{1}{2} e^{-2} + frac{1}{2}right) = frac{pi}{2} left(1 - e^{-2}right) = frac{pi(e^2 - 1)}{2e^2}$$

$$boxed{V = frac{pi(e^2 - 1)}{2e^2}}$$

練習問題3：漸化式と極限

【解答・解説】

【(1) の解答】

$lim_{n to infty} a_n = alpha$ とすると、漸化式より：

$$alpha = frac{alpha + 2}{alpha + 1}$$
$$alpha(alpha + 1) = alpha + 2$$
$$alpha^2 + alpha = alpha + 2$$
$$alpha^2 = 2$$
$$alpha = pmsqrt{2}$$

$a_1 = 3 > 0$ で、漸化式より $a_n > 0$ が帰納的に示せるため：

$$boxed{alpha = sqrt{2}}$$

【(2) の解答】

$$b_{n+1} = a_{n+1} - sqrt{2} = frac{a_n + 2}{a_n + 1} - sqrt{2} = frac{a_n + 2 - sqrt{2}(a_n + 1)}{a_n + 1}$$

$$= frac{a_n + 2 - sqrt{2} a_n - sqrt{2}}{a_n + 1} = frac{(1 - sqrt{2})a_n + (2 - sqrt{2})}{a_n + 1}$$

$$= frac{(1 - sqrt{2})(a_n - sqrt{2})}{a_n + 1} = frac{(1 - sqrt{2}) b_n}{a_n + 1}$$

ここで $a_n = b_n + sqrt{2}$ より：

$$boxed{b_{n+1} = frac{(1 - sqrt{2}) b_n}{b_n + sqrt{2} + 1}}$$

【(3) の解答】

$|1 - sqrt{2}| = sqrt{2} - 1 1$ のとき $a_n + 1 > 2$ なので：

$$|b_{n+1}| = frac{(sqrt{2} - 1)|b_n|}{a_n + 1} < frac{sqrt{2} - 1}{2} |b_n|$$

$frac{sqrt{2} - 1}{2} < 1$ より、$|b_n| to 0$（$n to infty$）

したがって：

$$boxed{lim_{n to infty} a_n = sqrt{2}}$$

日本数学塾・数強塾でお茶の水女子大学合格を目指そう

ここまでお読みいただき、ありがとうございました！お茶の水女子大学の数学は、基礎をしっかり固めた上で、標準〜応用レベルの問題を繰り返し演習することが合格への王道です。

数強塾・日本数学塾の特徴

無料体験授業のご案内

「自分に合った勉強法がわからない」「苦手分野を克服したい」「志望校の過去問対策をしたい」——そんなお悩みをお持ちの方は、ぜひ一度無料体験授業にお申し込みください。

私、藤原進之介をはじめとする講師陣が、あなたの数学力向上を全力でサポートいたします！

お茶の水女子大学を目指す皆さんへ

お茶の水女子大学は、女性の高等教育をリードしてきた歴史ある大学です。理学部数学科をはじめ、各学部で質の高い教育が行われており、卒業後の進路も多彩です。

入試数学は決して難問ばかりではありませんが、確実に得点できる実力</strong続きを作成いたします。